1、課時作業67數學歸納法一、選擇題1用數學歸納法證明12(2n1)(n1)(2n1)時，在驗證n1成立時，左邊所得的代數式是()a1 b13c123 d12342用數學歸納法證明不等式(n2，nn*)的過程中，由nk遞推到nk1時不等式左邊()a增加了一項b增加了兩項、c增加了和兩項但減少了一項d以上各種情況均不對3用數學歸納法證明不等式1成立時，起始值n至少應取為()a7 b8 c9 d104用數學歸納法證明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，從“k到k1”左端需增乘的代數式為()a2k1 b2(2k1) c d5在數列an中，a1，且snn(2n1)an，通過求a2，a3，a4

2、，猜想an的表達式為()a bc d6設函數f(n)(2n9)3n19，當nn*時，f(n)能被m(mn*)整除，猜想m的最大值為()a9 b18 c27 d367對于不等式n1(nn*)，某同學用數學歸納法的證明過程如下：(1)當n1時，11，不等式成立(2)假設當nk(kn*)時，不等式成立，即k1，則當nk1時，(k1)1，當nk1時，不等式成立，則上述證法()a過程全部正確bn1驗得不正確c歸納假設不正確d從nk到nk1的推理不正確二、填空題8用數學歸納法證明“1aa2an1(a1，且nn*)”，在驗證n1時，左邊計算所得的結果是_9在abc中，不等式成立；在四邊形abcd中，不等式成

3、立；在五邊形abcde中，不等式成立猜想在n邊形a1a2an中，有不等式_成立10用數學歸納法證明(k1)，則當nk1時，左端應乘上_，這個乘上去的代數式共有因式的個數是_三、解答題11設數列an的前n項和為sn，且方程x2anxan0有一根為sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)猜想數列sn的通項公式，并給出嚴格的證明12(2012重慶高考)設數列an的前n項和sn滿足sn1a2sna1，其中a20，(1)求證：an是首項為1的等比數列；(2)若a21，求證：sn(a1an)，并給出等號成立的充要條件參考答案一、選擇題1c解析：左邊表示從1開始，連續2n1個正整數的和，故n1時，

4、表示123的和2c解析：當nk1時，不等式為，比當nk時增加了，項但最左端少了一項3b解析：12，而1，故起始值n至少取84b解析：當nk時，等式為(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，當nk1時，等式為(k2)(k3)(kk)(k1k)(k1k1)2k113(2k1)，左端增乘2(2k1)5c解析：由a1，snn(2n1)an求得a2，a3，a4猜想an6d解析：f(n1)f(n)(2n11)3n2(2n9)3n14(n6)3n1，當n1時，f(2)f(1)479為最小值，據此可猜想d正確7d解析：在nk1時，沒有應用nk時的假設，不是數學歸納法二、填空題81aa2解析：首先觀察等式兩

5、邊的構成情況，它的左邊是按a的升冪順序排列的，共有n2項因此當n1時，共有3項，應該是1aa29102k1解析：當nk時，當nk1時，左邊應乘上，設第一項a12k1，an2k11，d2，n2k1三、解答題11解：(1)當n1時，x2a1xa10有一根為s11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1當n2時，x2a2xa20有一根為s21a2，于是2a2a20，解得a2(2)由題設知(sn1)2an(sn1)an0，即sn22sn1ansn0當n2時，ansnsn1，代入上式得sn1sn2sn10(*)由(1)得s1a1，s2a1a2由(*)式可得s3由此猜想sn，n1,2,3，下

6、面用數學歸納法證明這個結論n1時已知結論成立假設nk(kn*)時結論成立，即sk，當nk1時，由(*)得sk1，即sk1，故nk1時結論也成立綜上，由、可知sn對所有正整數n都成立12(1)證法一：由s2a2s1a1得a1a2a2a1a1，即a2a2a1，因a20，故a11，得a2，又由題設條件知sn2a2sn1a1，sn1a2sna1，兩式相減得sn2sn1a2(sn1sn)，即an2a2an1，由a20，知an10，因此a2，綜上，a2對所有nn*成立從而an是首項為1，公比為a2的等比數列證法二：用數學歸納法證明ana2n1，nn*當n1時，由s2a2s1a1，得a1a2a2a1a1，即

7、a2a2a1，再由a20，得a11，所以結論成立假設nk時，結論成立，即aka2k1，那么ak1sk1sk(a2ska1)(a2sk1a1)a2(sksk1)a2aka2k這就是說，當nk1時，結論也成立綜上可得，對任意nn*，ana2n1因此an是首項為1，公比為a2的等比數列(2)證法一：當n1或2時，顯然sn(a1an)，等號成立設n3，a21且a20由(1)知a11，ana2n1，所以要證的不等式化為1a2a22a2n1(1a2n1)(n3)，即證：1a2a22a2n(1a2n)(n2)當a21時，上面不等式的等號成立當1a21時，a2r1與a2nr1(r1,2，n1)同為負；當a21

8、時，a2r1與a2nr1(r1,2，n1)同為正因此當a21且a21時，總有(a2r1)(a2nr1)0，即a2ra2nr1a2n(r1,2，n1)上面不等式對r從1到n1求和得2(a2a22a2n1)(n1)(1a2n)，由此得1a2a22a2n(1a2n)綜上，當a21且a20時，有sn(a1an)，當且僅當n1,2或a21時等號成立證法二：當n1或2時，顯然sn(a1an)，等號成立當a21時，snn(a1an)，等號也成立當a21時，由(1)知sn，ana2n1下證：(1a2n1)(n3，a21且a21)當1a21時，上面不等式化為(n2)a2nna2na2n1n2(n3)令f(a2)(n2)a2nna2na2n1當1a20時，1a2n20，故f(a2)(n2)a2nna2(1a2n2)(n2)|a2|nn2，即所要證的不等式成立當0a21時，對a2求導得f(a2)n(n2)a2n1(n1)a2n21ng(a2)其中g(a2)(n2)a2n1(n1)a2n21，則g(a2)(n2)(n1)(a21)a2n30，即g(a2)是(0,1)上的減函數，故g(a2)g(1)0，從而f(a2)ng(a2)0，進而f(a2)是(0,