1、第四講 三角不等式含有未知數(shù)的三角函數(shù)的不等式叫做三角不等式三角不等式首先是不等式，因此，處 理不等式的常用方法如配方法、比較法、放縮法、基本不等式法、反證法、數(shù)學歸納法等也 是解決三角不等式的常用方法其次，三角不等式又有自己的特點一一含有三角式，因而三 角函數(shù)的單調性、有界性以及圖像特征、三角公式及三角恒等變形的方法等都是處理三角不 等式的常用工具.A類例題例1已知 、 為銳角，且x(-)0，求證對一切x 0,有(cos )x (sin )x分析 要證的不等式兩邊均為指數(shù)式，且指數(shù)相同，可考慮利用函數(shù)f(x) x的單調性，因此首先應比較cos與sin 的大小，而函數(shù)f(x) x的單調性與 a

2、的符號有關，可分情況討 論.證明 (1 )若x0，貝V-，貝U -0，由正弦函數(shù)的單調性，得0 sinq ) sin 1，即 0 cos sin 1，又 x0，故有(cos / (sin / .(2)若xo，貝y，則02，由正弦函數(shù)的單調性，得0 sin sin(刁 )1，即 0 sin cos 1，又 xsin(cos x)分析一從比較兩數(shù)大小的角度來看，可考慮找一個中間量，比cos(s in x)小，同時比sin (cos x)大，即可證明原不等式.證法一(1)當 x 0,孑，時，顯然 cos(sin x)sin(cos x)成立.(2)當 x 時，0 sinx 1 ， cosx 0，貝y

3、 cos(sin x)0sin(cos x).(3 )當0 x 時，有 0sinxxcos x;而 0 cosx ，貝sin(cos x)cos x sin(cos x)，從而 cos(sin x)sin(cos x).分析二cos(sin x)可看作一個角sinx的余弦，而sin(cosx)可看作一個角 cosx的正弦，因此可 考慮先用誘導公式化為同名三角函數(shù)，再利用三角函數(shù)的單調性來證明.證法二 當 Ox 時，有 0si n x1 , 0cos x1 ,且 sin x+cosx= 2si n(x )2242即0sinx -cosxcos( - cosx)=si n(cos x),即 cos

4、(s in x)s in (cos x). x 在其他區(qū)域時， 證明同證法 1. 2說明(1)本題的證明運用到結論：x (0,?)時，sinx x tanx ,這是實現(xiàn)角與三角函數(shù)值不等關系轉化的重要工具，該結論可利用三角函數(shù)線知識來證明.（2 ）證法一通過中間量COSX來比較，證法二利用有界性得sinx+cosx，再利用單調性證明，這是比較大小常用的兩種方法；（3）本題結論可推廣至 x R.情景再現(xiàn)1 .在銳角厶 ABC 中，求證：si nA si nB si nC cosA cosB cosC .2 .已知 x, y （0, ） , tanx 3tany，求證：x y .3 當x 0,j時

5、，求證:coscosx sinsin x.B類例題例4 在ABC中，證明:sin A sin B sin CA、B、C,且滿足 由于A+B=180 -C,故對不等式的左邊進行和差化積， 行研究.證法分析一本題中有三個變量我們先假定C是常量，于是 A+B=3 J32A+B + C=180。，先固定其中一個如角 C , 將其轉化為與 A-B有關的三角函數(shù)進C也是常量.A B ABcABsin A sin B sin C 2sincossinC 2cos cossin C ,2 22 2顯然，對于同一個 C值，當A=B時，上式達到最大值.同樣，對同一個 A或B,有類似結論；因此，只要A、B、C中任意

6、兩個不等，表達式sinA sinB sinC就沒有達到最大值，因而，當A=B=C=?時，sinA sinB sinC有最大值3胸，二原不等式得證.2說明 不等式中含有多個變量時，我們往往固定其中部分變量，求其他變量變化時，相 應表達式的最值，這種方法稱為逐步調整法.分析二 即證sinA sinB sinC，觀察左邊的形式，從而考慮用琴生不等式進行證3 2明.證法二 函數(shù)y sinx是區(qū)間（0, n）上的上凸函數(shù)，從而對任意的三個自變量x,X2,X3 （。，），總有sin（：）叫嘗 E，等號當X1 X2 X3時成立.因此有sinZ3C)sinA sinB sinC3,從而有sin A sin B

7、 sin C3.180sin33飛，因此原不等式成立.說明 本方法是利用凸函數(shù)性質解題，三角函數(shù)在一定區(qū)間內均為凸函數(shù)，因此很多三 角不等如均可利用凸函數(shù)的性質證明.鏈接關于凸函數(shù)與琴生不等式的有關知識凸函數(shù)定義：函數(shù)f(x)如果對其定義域中任意的X1、X2,都有如下不等式成立：f (X1X2)212f(X1)+f(X2)，則稱f(X)是下凸函數(shù)，等號當X1=X2時成立.如果總有f (X1 X2)21；f(X1)+f(X2),則稱f(x)是上凸函數(shù)，等號當 X1=X2時成立.其幾何意義是，不等式表示定義域中任意兩點X1、X2,中點M所對應的曲線上點Q位于弦上對應點 P的下面，不等式則有相反的意

8、義.定理：若f(x)是在區(qū)間I內的下凸函數(shù)，則對區(qū)間I內的任意n個點X1 , X2，,Xn，恒有Xl=X2 = =Xn時成立.若 f(x)為上凸函X1%2 L 人)三 1 f(x“+f(x2)+ +缺)，等號當nn數(shù)，不等號反向.(Jensen )于 1905 1906 年建立的.三角函數(shù)如 y= sinx, y= cosx在(0,)是上凸函數(shù)；y= tanx,y=cotx在(0,2 2是下凸函數(shù).(90年國家集中的三角函數(shù)例5求證：一2訓隊測試題)分析線，兩兩正余弦的乘積聯(lián)想到圖形的面積.證明 即證一 sin xcosy sin ycosz sin xcosx sin y cosy sin

9、zcosz 4即證明一 sin x(cosx cosy) sin y(cosy cosz) sin zcosz 4-為此單位圓在第4注意到上式右邊是如圖所示單位圓中三個陰影矩形的面積之和，而 象限的面積，所以上式成立，綜上所述，原不等式成立.例 6 已知不等式.2(2a 3)cos( ) 6 2sin24 sin cos3a 6對于0,-恒成立求a的取值范圍.(2004年首屆東南地區(qū)數(shù)學奧賽試題)分析 所給不等式中有兩個變量，給出其中一個的范圍，求另一個的范圍，常采用分離變量的方法.注意到與角B有關的幾個三角函數(shù)式，cos( )2 (sin cos ),42sin2 2sin cos，因此考慮

10、令sin cosx進行變量代換，以化簡所給不等式，再尋求解題思路.解 設 sin cos x，則 cos( )- x, sin2x2 1 ,當 0,時，x 1x(1-x),x=0 得 sin 0, x=1 得 cos 0 ;當x工0且XM1時，上式可化為：cos +Jsin 1對x (0,1)恒成立，由基本不等式1 xx4cos sin分析三解法三2k得cos+ - sin 2 . sin cos ,cos + 1_ sin 的最小值為 2 sin cos ,等xx號當cos = _ sin 即 x _ 世n - 時取到，因此 2Jsin cos 1 .二 sin2 -, 1 xxVsinQc

11、os25又由于 cos 0,sin 0故 2k2k ,k Z12 12例9已知a, b, A, B都是實數(shù)，若對于一切實數(shù)x ,都有f(x) 1 acosx bsinx Acos2x Bsin2x 0，求證:a2 b22 , A2 B21 . ( 1977 第十九屆 IMO )分析根據(jù)函數(shù)式的特征及所要證明的式子易知，應首先將不等式化成f (x) 1 -.a2 b2 sin(x). A2 B2 sin(2x) 0，其中x為任意實數(shù)，注意到所要證的結論中不含未知數(shù)x，故考慮用特殊值方法. 證明若 a2 b2 0, A2 B2 0, 故下設a2 b20, A2a,cosa b令sin0 , A B

12、B20 :b .,sin則結論顯然成立;,cos得，f (x)1a2 b2 sin(x )A2 B2 sin(2x)，即對于一切實數(shù)f (x)1.,a2 b2 sin(x )A2 B2 sin(2x)0 (1)f (x)1. a2b2 cos(x2).A2 B2 sin(2x)0 (2)(1)+ (2)得：2.a2b2s in(x) cos(x)0，即 sin(x，都有x)一切實數(shù)x恒成立,2，因此a2 b2cos(x )2-a2b2f (x)1-a2b2 si n(x)-A22B sin(2x) 0 ( 3)(1) +(3)得:2 2 . A2B2 sin(2x)0，即 sin(2x )2A

13、B2 1例10設,求證：對任意滿足.2.2.2yzsi nzxsi nxysi n0yx y z 0的實數(shù)x, y, z1.A2 B2恒成立,1A2 B2分析由x 可得證.證明由題意,z 0消去一個未知數(shù) 乙 再整理成關于y的二次不等式，對 x恒成立,不等式左邊=(1 )當 sin(2)當 sin左邊ys in則將z (xy)代入不等式左邊得,y2 sin2 2 . 2x sin2 2 2xy(sin sin sin )0 ,易證不等式左邊0 ,整理成y的二次方程，證0 .x(sin sin sin 片22si n0成立.；2 2 2 2 2 2 2x (sin sin sin ) 4sin

14、sin 4sin2由（sin2sin2sin2)2 4si n2 si n2(si n2.2 sin.2 sin22s insin )(sin.2 sin2sin 2si n sin )2sinsin 1cos()2sin sin 1cos()4si n2si n221 cos ()0 ,2 2 . 2 . 2 、2 2 . 2 .x (sin sin sin )4sinsin4si n2不等式左邊0成立.情景再現(xiàn)a、A、B、C分別為它們的對角，p為半周長.（第十六屆全俄數(shù)學競賽題） ,是一個銳角三角形的三個內角，求證：27 .證明：對于任意 ABC，不等式a cos A+ b cos B+

15、ccos C p成立，其中 角形的三邊，8.設sin sinsin tan tan tanb、c為三習題1.求證：對所有實數(shù)x,y，均有2 2 亠cosx cosy cosxy 3.2 .在銳角三角形 ABC中，求證:3.在銳角三角形 ABC中.求證:ta nAta nBta nC 1 sin A sin B4 .求證:2sin2(-4cos(sinx) sin(cosx)sinC 2222sin (;云)5.已知（0,才，能否以sin ,sin ,sin(）的值為邊長,構成一個三角形?6 .已知,為銳角，求證:12cos1.2；22sin sin cos7 .已知A+B+C=，求證:tan2

16、-2tan2B2tan2C8.在三角形ABC中，角A、B、C的對邊為b、c,求證:aA bB cC9.設A、B、C為銳角三角形之內角，n為自然數(shù),求證:, n 八tan A n . n 亠tan B tan Cn132 . (93年第三屆澳門數(shù)學奧林匹克賽題）10 .已知0a b sincos2(a?,a, b 0，求證：11.設P是三角形 ABC內任一點，求證：/ PAB,/或等于30PBC，/ PCA中至少有一個小于12 .解方程 coscoscoscosx sinsinsinsin x （1995 年全俄競賽題）本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答:1 .證明：銳角三角形可知 A+B ,從而A - B

17、,從而sin A cosB ,同理 sinB cosC,sinC cos A，三式相加得證.2 .證明：由已知得tanx 3tan ytany 及 x, y (0,-)知，x y，從而 x y (0,-)，要證x y，只須證明 tan(x y) tan-6 6J，由于 tan(x3y)tanx tany1 tan xta ny2ta ny2 ，1 3ta n y于是問1sin(x y) coszs in(x2y) 1 cos2 z26 .證明：設 f (x) | sin xcosx tanxcotxsecxcscx |t 1上22t22sinxcosx2，f(x) |t 22 |tt 11|t

18、 1t 11 t 1當t1時，f(x)t 1212 2 1 ；t 1當t1時，f(x)2(t 1)t 11 2 2 1因此|sin xcosxtan x cot x secx cscx|22 1121|Z辦1 2 cos2y 時等號成立，故2423，且當8cosxsiny cosz 的取大值為 -.8,t sin x cosx ,貝U 有題歸結為證F，即（ 3tany 1）2 0，而上式顯然成立，因此原不等式成立.3.證法一：當 x (0,)時，T 0sinxx, sinsin x cosx, 2 2 2 2從而 cos( _-x)coscos x, 即卩 sinxcoscos x，從而得證.

19、2證法二：sinx+cosx . 2 ，即 0cosx-sinxcos( -sin x)=sin(sin x).24 .證明：（1）由琴生不等式即得.ARP3sin asin bsin cA B C(2) VsinAsinBsinCsin，從而得證.3325.解：由條件知，xyz,x(y z)2, sin(y z) 0 ,于3122123是 cosxsin y cosz= 1 cosxsin( yz)sin (yz)- cosxsin(yz)12121出z)cos x cos，當222238x ,y z石時取等號，故最小值為-（y與z相等，且x達到最大時，乘積有最小值）87 .證明：因為 co

20、sx( x (0 , n )遞減，所以 a-b 與 cos A-cos B 異號，從而(a-b)( cos A-cos B)1.證明： cos x2 cosy2 cosxy成立，則 cosx2 1,cos y2 1,cosxy1，貝U x2 2k , y2 2n ,k,n N*，則w 0 .即 acosA+bcosB acos B+bcosA=C (l)當且僅當 a = b 時等號成立. 同理 acos A+ccosC (a+b+c)(a+b+c) (A+B+C),即證(a-b)( A- B)+( b-c)( B-C)+( c-a)( C-A) 0, 式成立.A B A Bcot tan (1

21、2 2A_tan tan )122,即證 3（ aA+bB+cC）由大邊對大角得上9.證明：設xtan A, ytan B, z tanC則 x,y,zxyzxyz,而xyz33xyz ,3代入得xyz 32，故n 3 n nn z 3,3x y zn132.10 .證明:要證原不等式，即證（芒sinL)2cos2(a32b3)3，即2 a.2 sinb2cossin cos上式中將看作變量，;a2b2 33 a4b233 a2b4即證a2 cot22 2b tana,b看作常數(shù)，考慮從左邊向右邊轉化.2 2c , sin cos2absin cos33a4b2 33a2b4即 a2 cot2b2 tan22abta n2abcot3&a4b2 3a2b4a2 cot22ab tan223i 4 2a cot ab tan ab tan 3 - a bb2ta n22ab cot3芋a2b4 ,從而原不等式成立.11.證明：如圖, 三式相乘得 sinPAs