1、精品資料 可修改 、選擇題: 復(fù)變函數(shù)練習(xí)題第四章級數(shù) 系專業(yè)班 1復(fù)數(shù)項級數(shù) 些重要的級數(shù) 1 z z2 L 3 z 5 z sin z z 3! 5! 2 4 z z cosz 1 2! 4! 2 ez1 z z L 2! n z 1 .下列級數(shù)中絕對收斂的是 1 i (A) -(1 -) 1 r (B) 2 .若幕級數(shù) n n CnZ 0 (A )絕對收斂 1 2i 3 幕級數(shù) (1)n n 1 (A) ln(1 z) 姓名 2 幕級數(shù) zn L (z 1) 2n (1) z (2n 1)! n 2n (1) z 2n! 學(xué)號 n! L (z 2n L (z L (z 1 2i處收斂，那

2、么該級數(shù)在 (B )條件收斂 由Abel定理易得 1在|z| 1內(nèi)的和函數(shù)為 (B) ln(1 z) (C) (C) 1)n n 0 n 1 n n 1) z .n i (C ) 命 n 21 n n (D) (1)ni 2n 發(fā)散 ln1 2處的斂散性為 (D ) (D) 不能確定 (1)nzn1 n 0 n 1 dz 0 ln(1 z) 二、填空題: 1 .設(shè) n (1 則lim n 2 設(shè)幕級數(shù) n CnZ 0 的收斂半徑為 R，那么幕級數(shù) (2n n 0 R “濃的收斂半徑為J n! n 3 幕級數(shù)-zn的收斂半徑是 n 0 n n 4 .幕級數(shù)-Zp （ p為正整數(shù)）的收斂半徑是 1

3、 n 1 n 三、解答題： 1 判斷下列數(shù)列是否收斂？如果有極限，求出它們的極限。 (1) *7 時 k 2 o n Im n 、一 Im n 312 2n . 1n (2) n, n i (1 -) 1 2 n 由lim 3122n - 3, lim(1 1) n 可得, n 1 2n nne lim n i nn e 2 判斷下列級數(shù)的斂散性。若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂。 判斷絕對收斂的兩種方法： （1）絕對級數(shù)是否收斂 （2）實(shí)部和虛部的絕對級數(shù)是否收斂 23n (1)1 i i2 i3 L in L 由limin不存在可知，級數(shù)發(fā)散 n （級數(shù)收斂的必要條件） i(5丄 3!

4、55 5! 由級數(shù) (3) n 1 (5i)5 L 5! 2n 1 5 (2n 1)! 2n 1 5 o(2 n nsin in 3n 一收斂可知，原級數(shù)絕對收斂 1)! n si nin 3n 由級數(shù) n i (4)- n 21 n n 由于 n(en n、 e ) 2 3 及級數(shù) 1)k k 1 In 2k 工和 k 1 In 2k n n 3e n i 2 3e i ( 1)k In (2 k1) (1)k k 1 ln(2 k 級數(shù)收斂，故原級數(shù)收斂 收斂，可得原級數(shù)絕對收斂 為交錯級數(shù)，由萊布尼茲準(zhǔn)則, 1) 又由 1 1 k1蠱和k1缶發(fā)散, 則原級數(shù)條件收斂。 n寸之值。 3 求

5、幕級數(shù)(n 1)(z 3)n 1的收斂半徑，收斂域及和函數(shù)，并計算 n 0 解：由lim J21知，收斂半徑R 1. n n 1 當(dāng)z=2時，原級數(shù)成為(n 1)( 1)n1,為發(fā)散級數(shù), n 0 因而原級數(shù)的收斂域為z 3 1. 精品資料 1 1 1 (z 3) (Z 3) (z 3)2 (z 3)n L (z 3) 2(z 3) 3(z 3)2 (n 1)(z 3)n (n 1)(z o n 1/ 3)=(z 3)1 1 rz 3) 7時, 2 (n 1)(z 3)n n 0 n 2n _ z 飛 7 2 /72 (-4) 2 3 4p 3 =2 求幕級數(shù) 2zn 的和函數(shù)，并計算 2 步

6、之值。 1 1 z 1 1 z zn L 2z 3z2 (n n 1)z (n n 0 n 1)z II 2z 3z2 (n 2)(n 1)zn (n 0 2)( n 1)zn ii 2 (z 1)3 (z 1)2 z(z 1) (z 1)3 -時, 2 可修改 精品資料 復(fù)變函數(shù)練習(xí)題第四章級數(shù) 系專業(yè)班 姓名學(xué)號 3 泰勒級數(shù) 一、選擇題 z e 1 設(shè)函數(shù)的泰勒展開式為CnZn，那么幕級數(shù)CnZn的收斂半徑R C COS Zn 0n 0 (A)(B) 1 （C）2 (D) 可修改 2 k (k Z) COSZ 0 Z 函數(shù)在某點(diǎn)展成的幕級數(shù)的收斂半徑等于該點(diǎn)和該函數(shù)的奇點(diǎn)中最近的距離 (

7、A) n 4 (z)2n 1(|z| o (2 n 1)!22 (B) O(z o(2 n)! 2n ) (|Z (C) n0(Z 2) 2n 1- (|Z (D ) (l)n1 no(2n宀 R) 2 函數(shù) 在Z 1處的泰勒展開式為 D Z (A)( 1)n n(z 1)n1(|z 1| 1) (B)( 1)n 1z八n 1八 n(z 1)(|z 1| 1) n 1 n 1 (C) n(z 1)n 1(|Z1| 1) (D)n(z n 1 1)(|Z1|1) n 1 n 1 由1 1 1 1 下面先對丄在點(diǎn)Z 1進(jìn)行展開 Z Z Z 1 1 1 八1(Z1) (Z 1)2 L (Z 1)n

8、L ( Z 11) Z 1 Z 1 1 1 (Z 1) 1 1 2(z 1) L n(z 1)n 1 L Z 注寫成求和形式中注意保持第一項是- 致的 COSZ 2內(nèi)解析 B 3.函數(shù)SZ在Z 2處的泰勒展開式為 sin z= sin(z _) cos(z 精品資料 三、解答題 求收斂半徑一般可以采用根值法、比值法。遇到 可修改 4 .級數(shù) n 1 2n 1 z n! z2 (A) z(e 1) (B) z(e2z 1) (C) 2 zez 1 (D) ze2z 令wz2，則 2n 1 z 1 n! wn w n 1 n! n w 1 n! w(ew 1) 其中w表示某一單值分支 (A) co

9、s1 n 1 考慮z n 1 n! n 1 1)乞 n 1 n! 或者 z 2! (B) sinl (C) cosl (D) sinl 2 z 3! n 1 z n! Bz z 2 z 2! 3 z 3! n z n! 1(ez z 1) (z ) n z n! 取z i,則可得 1 / z (e z n 1 i 1 n! 1( i 二、填空題 1 .函數(shù)f(z) 2在z (1 z)2 1) e 1) i(cos1 isin1) i (cos1 1) sin1 0處的泰勒展開式為 f(z) (1)n(n 1)zn(z 1) 1 (1z)2 n n (1) z n 0 n n (1) z n 0

10、 n n 1) nz (1)n(n n 0 1)zn(z 1) 1 2 .戸的幕級數(shù)展開式為 1)n z3n，收斂域為 精品資料 2 (A) z(ez1)(B) z(e2z 1) (C) 2 zez1 (D) ze2z 1 2n 1 n 令wz2,則zw w n w w w(ew 1) n 1 n! n 1 n! I n1 n! 4 級數(shù) 2n 1 z n 1 n! 其中w表示某一單值分支 n1 inn!1) 5 Re( n1 (A) cos1 (B) sin1 (C) cos1 (D) sin1 考慮 n1 n1 1) zn! n 1 n! 或者 n1 z n! z 2! 2 z 3! n1

11、 z n! 1z(z z 2 z 2! 3 z 3! n z n! 1z(ez z 1) ( z 2) n1 n1 z n! zn1 n z n! i,則可得 n i 1 n! 1z (ez z 1 1i ( i 1) ei 1) i (cos1 isin1) i (cos1 1) sin1 ( 1)nz3n ,收斂域為 z 1 n0 3 的冪級數(shù)展開式為 z3 2 1 三、解答題 求收斂半徑一般可以采用根值法、比值法。遇到 可修改 、填空題 1 函數(shù) f(z) 2在z (1 z)2 0 處的泰勒展開式為 f(z) ( 1)n(n 1)zn( z 1) n0 1 (1 z)2 1 1z 1 1

12、z nn (1)nzn n0 nn (1)nzn n0 ( 1)n nzn 1( 1)n(n 1)zn(z 1) n1 n 0 2 (A) z(ez1)(B) z(e2z 1) (C) 2 zez1 (D) ze2z 1 2n 1 n 令wz2,則zw w n w w w(ew 1) n 1 n! n 1 n! I n1 n! 4 級數(shù) 2n 1 z n 1 n! 其中w表示某一單值分支 n1 inn!1) 5 Re( n1 (A) cos1 (B) sin1 (C) cos1 (D) sin1 考慮 n1 n1 1) zn! n 1 n! 或者 n1 z n! z 2! 2 z 3! n1

13、z n! 1z(z z 2 z 2! 3 z 3! n z n! 1z(ez z 1) ( z 2) n1 n1 z n! zn1 n z n! i,則可得 n i 1 n! 1z (ez z 1 1i ( i 1) ei 1) i (cos1 isin1) i (cos1 1) sin1 、填空題 1 函數(shù) f(z) 2在z (1 z)2 0 處的泰勒展開式為 f(z) ( 1)n(n 1)zn( z 1) n0 1 (1 z)2 1 1z 1 1z nn (1)nzn n0 nn (1)nzn n0 ( 1)n nzn 1( 1)n(n 1)zn(z 1) n1 n 0 2 (A) z(e

14、z1)(B) z(e2z 1) (C) 2 zez1 (D) ze2z 1 2n 1 n 令wz2,則zw w n w w w(ew 1) n 1 n! n 1 n! I n1 n! 4 級數(shù) 2n 1 z n 1 n! 其中w表示某一單值分支 n1 inn!1) 5 Re( n1 (A) cos1 (B) sin1 (C) cos1 (D) sin1 考慮 n1 n1 1) zn! n 1 n! 或者 n1 z n! z 2! 2 z 3! n1 z n! 1z(z z 2 z 2! 3 z 3! n z n! 1z(ez z 1) ( z 2) n1 n1 z n! zn1 n z n!

15、i,則可得 n i 1 n! 1z (ez z 1 1i ( i 1) ei 1) i (cos1 isin1) i (cos1 1) sin1 、填空題 1 函數(shù) f(z) 2在z (1 z)2 0 處的泰勒展開式為 f(z) ( 1)n(n 1)zn( z 1) n0 1 (1 z)2 1 1z 1 1z nn (1)nzn n0 nn (1)nzn n0 ( 1)n nzn 1( 1)n(n 1)zn(z 1) n1 n 0 2 (A) z(ez1)(B) z(e2z 1) (C) 2 zez1 (D) ze2z 1 2n 1 n 令wz2,則zw w n w w w(ew 1) n 1

16、 n! n 1 n! I n1 n! 4 級數(shù) 2n 1 z n 1 n! 其中w表示某一單值分支 n1 inn!1) 5 Re( n1 (A) cos1 (B) sin1 (C) cos1 (D) sin1 考慮 n1 n1 1) zn! n 1 n! 或者 n1 z n! z 2! 2 z 3! n1 z n! 1z(z z 2 z 2! 3 z 3! n z n! 1z(ez z 1) ( z 2) n1 n1 z n! zn1 n z n! i,則可得 n i 1 n! 1z (ez z 1 1i ( i 1) ei 1) i (cos1 isin1) i (cos1 1) sin1

17、、填空題 1 函數(shù) f(z) 2在z (1 z)2 0 處的泰勒展開式為 f(z) ( 1)n(n 1)zn( z 1) n0 1 (1 z)2 1 1z 1 1z nn (1)nzn n0 nn (1)nzn n0 ( 1)n nzn 1( 1)n(n 1)zn(z 1) n1 n 0 2 (A) z(ez1)(B) z(e2z 1) (C) 2 zez1 (D) ze2z 1 2n 1 n 令wz2,則zw w n w w w(ew 1) n 1 n! n 1 n! I n1 n! 4 級數(shù) 2n 1 z n 1 n! 其中w表示某一單值分支 n1 inn!1) 5 Re( n1 (A)

18、cos1 (B) sin1 (C) cos1 (D) sin1 考慮 n1 n1 1) zn! n 1 n! 或者 n1 z n! z 2! 2 z 3! n1 z n! 1z(z z 2 z 2! 3 z 3! n z n! 1z(ez z 1) ( z 2) n1 n1 z n! zn1 n z n! i,則可得 n i 1 n! 1z (ez z 1 1i ( i 1) ei 1) i (cos1 isin1) i (cos1 1) sin1 、填空題 1 函數(shù) f(z) 2在z (1 z)2 0 處的泰勒展開式為 f(z) ( 1)n(n 1)zn( z 1) n0 1 (1 z)2

19、1 1z 1 1z nn (1)nzn n0 nn (1)nzn n0 ( 1)n nzn 1( 1)n(n 1)zn(z 1) n 1 n 0 2 (A) z(ez1)(B) z(e2z 1) (C) 2 zez1 (D) ze2z 1 2n 1 n 令wz2,則zw w n w w w(ew 1) n 1 n! n 1 n! I n1 n! 4 級數(shù) 2n 1 z n 1 n! 其中w表示某一單值分支 n1 inn!1) 5 Re( n1 (A) cos1 (B) sin1 (C) cos1 (D) sin1 考慮 n1 n1 1) zn! n 1 n! 或者 n1 z n! z 2! 2

20、 z 3! n1 z n! 1z(z z 2 z 2! 3 z 3! n z n! 1z(ez z 1) ( z 2) n1 n1 z n! zn1 n z n! i,則可得 n i 1 n! 1z (ez z 1 1i ( i 1) ei 1) i (cos1 isin1) i (cos1 1) sin1 、填空題 1 函數(shù) f(z) 2在z (1 z)2 0 處的泰勒展開式為 f(z) ( 1)n(n 1)zn( z 1) n0 1 (1 z)2 1 1z 1 1z nn (1)nzn n0 nn (1)nzn n0 ( 1)n nzn 1( 1)n(n 1)zn(z 1) n1 n 0

21、2 (A) z(ez1)(B) z(e2z 1) (C) 2 zez1 (D) ze2z 1 2n 1 n 令wz2,則zw w n w w w(ew 1) n 1 n! n 1 n! I n1 n! 4 級數(shù) 2n 1 z n 1 n! 其中w表示某一單值分支 n1 inn!1) 5 Re( n1 (A) cos1 (B) sin1 (C) cos1 (D) sin1 考慮 n1 n1 1) zn! n 1 n! 或者 n1 z n! z 2! 2 z 3! n1 z n! 1z(z z 2 z 2! 3 z 3! n z n! 1z(ez z 1) ( z 2) n1 n1 z n! zn

22、1 n z n! i,則可得 n i 1 n! 1z (ez z 1 1i ( i 1) ei 1) i (cos1 isin1) i (cos1 1) sin1 、填空題 1 函數(shù) f(z) 2在z (1 z)2 0 處的泰勒展開式為 f(z) ( 1)n(n 1)zn( z 1) n0 1 (1 z)2 1 1z 1 1z nn (1)nzn n0 nn (1)nzn n0 ( 1)n nzn 1( 1)n(n 1)zn(z 1) n 1 n 0 2 (A) z(ez1)(B) z(e2z 1) (C) 2 zez1 (D) ze2z 1 2n 1 n 令wz2,則zw w n w w w

23、(ew 1) n 1 n! n 1 n! I n1 n! 4 級數(shù) 2n 1 z n 1 n! 其中w表示某一單值分支 n1 inn!1) 5 Re( n1 (A) cos1 (B) sin1 (C) cos1 (D) sin1 考慮 n1 n1 1) zn! n 1 n! 或者 n1 z n! z 2! 2 z 3! n1 z n! 1z(z z 2 z 2! 3 z 3! n z n! 1z(ez z 1) ( z 2) n1 n1 z n! zn1 n z n! i,則可得 n i 1 n! 1z (ez z 1 1i ( i 1) ei 1) i (cos1 isin1) i (cos

24、1 1) sin1 、填空題 1 函數(shù) f(z) 2在z (1 z)2 0 處的泰勒展開式為 f(z) ( 1)n(n 1)zn( z 1) n0 1 (1 z)2 1 1z 1 1z nn (1)nzn n0 nn (1)nzn n0 ( 1)n nzn 1( 1)n(n 1)zn(z 1) n1 n 0 2 (A) z(ez1)(B) z(e2z 1) (C) 2 zez1 (D) ze2z 1 2n 1 n 令wz2,則zw w n w w w(ew 1) n 1 n! n 1 n! I n1 n! 4 級數(shù) 2n 1 z n 1 n! 其中w表示某一單值分支 n1 inn!1) 5 Re( n1 (A) cos1 (B) sin1 (C) cos1 (D) sin1 考慮 n1 n1 1) zn! n 1 n! 或者 n1 z n! z 2! 2 z 3! n1 z n! 1z(