1、 用放縮法處理數列和不等問題（教師版）一先求和后放縮（主要是先裂項求和，再放縮處理） 例 1正數數列 a 的前 項的和 ，滿足2 ss= a +1，試求：nnnnn （1）數列 a 的通項公式；n1 1=bnbb ，數列 的前 項的和為 ，求證：（2）設ba ann 2nnnn+1= (a +1)4s = (a +1)，n 2時， ，作差得：解：（1）由已知得4s22nnn-1n-1 4a = a + 2a - a - 2a ，所以(a + a )(a - a - 2) = 0 ，又因為 a 為正數數列，所以22nnnn-1 n-1nn-1nn-1na - a = 2 ，即 a 是公差為 2

2、的等差數列，由2 s = a +1，得a = 1，所以a = 2n -1nn-1n111n111 1= (2n -1)(2n +1) 2 2n -1 2n +11=-（2）b)，所以a annn+111 1 111111b = (1- + - l-) = -3 3 5 2n-1 2n +1 2 2(2n +1) 2n 2 412= a - 2 + ，n =1, 2,3,ggg真題演練 1：(06 全國 1 卷理科 22 題)設數列 的前 項的和,sann 1+n333nn2（）求首項a 與通項a ；（）設t ，n 1,2,3, ，證明：n3n=ggg t .s21nnii=1n4 1 24 1

3、 2解: ()由 s= a 2 + , n=1,2,3， , 得 a=s= a 4+ 所以a =2n+13 3 33 3 3nn11114 1 2再由有 s = a 2+ , n=2,3，4,n3 3 3n1n141將和相減得: a=ss = (a a ) (2 2 ),n=2,3, n+1n33nnn1nn1整理得: a +2 =4(a +2 ),n=2,3, , 因而數列 a +2 是首項為 a1+2=4,公比為 4 的等比數列,即 :nn1nnn1na +2 =44 = 4, n=1,2,3, , 因而a=42, n=1,2,3, ,nn1nnnnn412 1()將 a =4 2 代入得

4、 s= (4 2 ) 2 + = (2 1)(2 2)nnnnn+1n+1n+1333 3nn2= (2 1)(2 1)n+1n32 32n3 1= ( 1nt= = )s 2 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nnn+1nnn+13 113 1) = ( 132nn所以,t =i( ) 2 21 2 1 2 212 -1ii+11+1ni=1i=11 二先放縮再求和1放縮后成等比數列，再求和 12例 2等比數列 a 中，前 n 項的和為 ，且 s , s , s 成等差數列sa = -1n798na 132=bntnt n設b，數列前 項的和為 ，證明：n1- annna12解：，公比

5、a - a = a + aa - a = -aa + a = -aq = -9a9789899899811114n= (- )b =n= an1- -4 ( 2)3 2n2nnn1- (- )n2= aq - a（利用等比數列前 n 項和的模擬公式s猜想）nn11(1- )11111113222= b + b +l b +l += =(1-) b3 23 23 2313n12n2n2n1-2 真題演練 2：(06 福建卷理科 22 題)已知數列 a 滿足 a = a = a + n n1, 2 1().*n1n+1n （i）求數列的通項公式；an （ii）若數列 b 滿足 4 4 l 4 =

6、(a +1) (n n ) ，證明：數列 b 是等差數列；b -1 b -1b -1nbn*12nnnn 1 a a12 3 a aan- + +.+ (n n )（）證明：.2n*a223n+1（i）解：q a= 2a +1(n n ),*n+1n a +1 = 2(a +1), a +1a +1 = 21是以為首項，2 為公比的等比數列n+1nna +1 = 2 .a = 2 -1(n n ).即n2*nnq 4 4 .4= (a +1) .（ii）證法一：k -1 k -1k -1nk12nn4= 2 .n(k +k +.+k )-nnk12n2(b + b +.+ b ) - n =

7、nb ,12nn2(b + b +.+ b + b ) - (n +1)= (n +1)b .12nn+1n+1-1) = (n +1)b - nb ,，得2(bn+1n+1n2 -1)b - nb + 2 = 0, nb - (n +1 )b + 2 = 0.即 (nn+1nn+2n+1- 2nb + nb = 0,，得 nbn+2n+1n - 2b + b = 0, b - b = b - b (n n ), b即 b是等差數列*n+2n+1nn+2n+1n+1nn-12 -11a2kk= ,k =1,2,., n,（iii）證明：qkak+12 -1k+1122(2 - )k2a a +

8、 +.+an - ,1a a2na2 3 2 2222 322 3nn23n+1n 1 a a - + +.+an a 3 -例 3已知數列a 滿足： an，求證：1n+12nnn+1n2-n 1n= (1+ )a2naaa =1 0 ，所以 a 0與 同號，又因為 ，證明：因為 a，所以n+1nn+11nnn- a = a 0a a 所以數列a 為遞增數列，所以a a = 1，即 a即 a，即n+1n2nn+1nnnn1nn1 2n -1- a =a a - a + +l +，累加得：n+1n2nn2nn12 222-n 11 2n -11212n -1= + +l +2 22s =+ +l

9、 +令 s，所以，兩式相減得：222 232nnn 1-nn -1，所以 s = 2 - n +1，所以 a 3 -n +1，11 1s = +11+ +l +-22 22 2322n22nn 1-nn 1-n-n 1n +1 a 3 -故得 an+1n2-n 13放縮后成等差數列，再求和例 4已知各項均為正數的數列a 的前 項和為 s ,且 a.n2+ a = 2snnnnn3 a + a22(1) 求證： s；n+1n4nss -1n+1 s + s + + s 0 a = 1+ a = 2s有解：（1）在條件中，令n，又由條件a22111111nnna + a = 2s ，上述兩式相減，

10、注意到a = s - s 得2n+1n+1n+1n+1n+1n(a + a )(a - a -1) = 0 q a 0 a + a 0 a - a =1n+1nn+1nnn+1nn+1nn(n +1)= 1+1 (n -1) = n s =所以， a，n2nn(n +1) 1 n + (n +1)+ aa2222s = =所以nn+12224nnn(n +1) n +1 n(n +1) n +1，所以，所以（2）因為 n2221 223n(n +1)n+123s + s +l s =+l +l +=； ssn+1n2 2212n2222 22練習：134= x + bx -a b，已知不論 ,

11、 為何實數，恒有 f (cosa ) 0 且1.（08 南京一模 22 題）設函數 f (x)24 f (2 - sin b ) 0 .對于正數列 a ，其前 n 項和 s= f (a ) (n n )，.*nnn () 求實數 b 的值；（ii）求數列 a 的通項公式；n1 1=,n n，且數列（）若 c解：() b的前 n 項和為t ，試比較t 和 的大小并證明之.c1+ a6n+nnnn1=a = 2n +1；n（利用函數值域夾逼性）；（ii）211 11 1 11 1=-，t = c + c + c + +c - 4，有+ +l +1）nn-1nnn-1nn-1= 2a + 2(-1)

12、化簡得： an-1nn-1aaa2a2+ 3= -2- 2+ = -2,nn-1nn-1(-1)n(-1)(-1)n(-1)3n-1n-1a232+- +-為首項, 公比為 2 的等比數列.故數列是以 an(-1)n31a212+ = (- )(-2)=- -2n-2 ( 1) 故 an-1nn(-1)n333n2= 2 - (-1) 數列 的通項公式為：aa.n-2nn3n觀察要證的不等式，左邊很復雜，先要設法對左邊的項進行適當的放縮，使之能夠求和。而左邊1 1+ +l +a a1 3 1= 2 2 -1 2 +111+l +，如果我們把上式中的分母中的 1去掉，就可利=a2 - (-1)2

13、3m-2m45m用等比數列的前 n 項公式求和，由于-1 與 1 交錯出現，容易想到將式中兩項兩項地合并起來一起進行放縮，1111+嘗試知：，2 -1 2 +1 22323211111+ 4) 時，11111111+ +l +=+ ( + ) +l + (+ )aaaaaaaa45m456m-1m1 3 111 + ( +2 2 23 24+l +)2m-21 3 11)2m-4= + (1-2 2 41 3 7 4)m +1為偶數，（2）當 m 是奇數(m時，1111111178+ +l + + +l + 4，有+ +l + an+1n 2且n n a = a a，有*a a +1成立；求證

14、：（1）對于 n恒有成立； （2）當*nn+1nn-1l2111 1 + +l +1（3）1- 122006 a a1a22006分析：（1）用數學歸納法易證。= a - a +1a -1 = a (a -1) a -1 = a (a -1)（2）由 a得：2n+1nnn+1n-1n-1nnn-1 = a (a -1) a211-1 = a a l a a (a -1)a = 2，又以上各式兩邊分別相乘得： an+1nn-12111a = a a l a a +1n+1nn-12 111 1 + +l +1（3）要證不等式1- 1，22006 a a1a220061 1+ +l +a a1可先

15、設法求和：，再進行適當的放縮。a122006111111q a -1 = a (a -1)=- =-a -1 a -1 an+1aa -1 a -1n+1nnnnnnn+11 11111111 + +l +a a= (-) + (-) +l + (-)aa -1 a -1a -1 a -1a -1 a -1122006122320062007111=-= 1- a= 220062006a -1 a -1a a a11220061120072l 2006111- 1- 原不等式得證。a a l a22006122006本題的關鍵是根據題設條件裂項求和。6 用放縮法處理數列和不等問題（學生版）一先

16、求和后放縮（主要是先裂項求和，再放縮處理） 例 1正數數列 a 的前 n 項的和 ，滿足 2 ss= a +1，試求：nnnn （1）數列 a 的通項公式；n1 1=bnbb 的前 項的和為 ，求證：（2）設b，數列a ann 2nnnn+1 4123= a - 2 +，n =1, 2,3,ggg真題演練 1：(06 全國 1 卷理科 22 題)設數列的前 項的和, snan 1+n33nn2nn3=， n 1,2,3, ，證明：=ggg t （）求首項 a 與通項 a ；（）設tn.s21nii=1n7 二先放縮再求和1放縮后成等比數列，再求和 12例 2等比數列 a 中，前 n 項的和為 ，且 s , s , s 成等差數列sa = -1n798na 132=nt ，數列 b 前 項的和為 ，證明：設btn1- annnnn 真題演練 2：(06 福建卷理科 22 題)已知數列滿足 a = a = a + n n1, 2 1( ).a*nn 1+1n （i）求數列 a 的通項公式；n （ii）若數列 b 滿足l= a +n n ，證明：數列 b 是等差數列；4 4b -1 b -14(1) (b)b -1n*12nnnnn 1 a a12 3 a a