1、2009 年高考數學試題分類匯編年高考數學試題分類匯編三角函數三角函數 一、選擇題 1.(2009 年廣東卷文)已知中，的對邊分別為若abccba, ,a b c 且，則 62ac75a o b a.2 b4 c4 d2 32 362 【答案】a 【解析】 0000000 26 sinsin75sin(3045 )sin30 cos45sin45 cos30 4 a 由可知,所以,62ac 0 75c 0 30b 1 sin 2 b 由正弦定理得,故選 a 261 sin2 sin226 4 a bb a 2.(2009 年廣東卷文)函數是 1) 4 (cos2 2 xy a最小正周期為的奇函

2、數 b. 最小正周期為的偶函數 c. 最小正周期為的奇函數 d. 最小正周期為的偶函數 2 2 【答案】a 【解析】因為為奇函數,所以選 a. 2 2cos () 1cos 2sin2 42 yxxx 2 2 t 3.（2009 全國卷理）如果函數的圖像關于點中心對稱，那么cos 2yx3 4 3 ，0 的最小值為（c） （a） （b） （c） (d) | 6 4 3 2 解: 函數的圖像關于點中心對稱 cos 2yx3 4 3 ，0 由此易得.故選 c 4 2 3 k 4 2() 3 kkz min | 3 4.（2009 全國卷理）若，則函數的最大值為 。 42 x 3 tan2 tany

3、xx 解:令, tan,xt1 42 xt 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 () 244 xt yxx xt ttt 5.（2009 浙江理）已知是實數，則函數的圖象不可能是 ( )a( )1sinf xaax 答案：d 【解析】對于振幅大于 1 時，三角函數的周期為，而 d 不符合要 2 ,1,2tat a 求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了2 6.（2009 浙江文）已知是實數，則函數的圖象不可能是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a( )1sinf xaax d 【命題意圖】此題是一個考查三角函數圖象的問題，但考

4、查的知識點因含有參數而豐富， 結合圖形考查使得所考查的問題形象而富有深度 【解析】對于振幅大于 1 時，三角函數的周期為，而 d 不符合要 2 ,1,2tat a 求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了2 7.（2009 北京文） “”是“”的 6 1 cos2 2 a 充分而不必要條件b必要而不充分條件 c 充分必要條件 d既不充分也不必要條件 【答案答案】a .w【解析解析】本題主要考查.k本題主要考查三角函數的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷. 屬 于基礎知識、基本運算的考查. 當時， 6 1 cos2cos 32 反之，當時，有， 1 cos2 2 22 36 kkkz 或，故應選

5、a. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22 36 kkkz 8.（2009 北京理） “”是“”的 2() 6 kkz 1 cos2 2 （ ） a充分而不必要條件 b必要而不充分條件 c充分必要條件 d既不充分也不必要條件 【答案答案】a 【解析解析】本題主要考查三角函數的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎知識、 基本運算的考查. 當時，2() 6 kkz 1 cos2cos 4cos 332 k 反之，當時，有， 1 cos2 2 22 36 kkkz 或，故應選 a.22 36 kkkz 9.(2009 山東卷理)將函數的圖象向左平移個單位, 再向上平移 1 個單位,

6、所得圖sin2yx 4 象的函數解析式是( ). a. b. c. d.cos2yx 2 2cosyx) 4 2sin(1 xy 2 2sinyx 【解析】:將函數的圖象向左平移個單位,得到函數即sin2yx 4 sin2() 4 yx 的圖象,再向上平移 1 個單位,所得圖象的函數解析式為sin(2)cos2 2 yxx ,故選 b. 2 1 cos22cosyxx 答案:b 【命題立意】:本題考查三角函數的圖象的平移和利用誘導公式及二倍角公式進行化簡解析式 的基本知識和基本技能,學會公式的變形. 10.(2009 山東卷文)將函數的圖象向左平移個單位, 再向上平移 1 個單位,所得sin2

7、yx 4 圖象的函數解析式是( ). a. b. c. d. 2 2cosyx 2 2sinyx) 4 2sin(1 xycos2yx 【解析】:將函數的圖象向左平移個單位,得到函數即sin2yx 4 sin2() 4 yx 的圖象,再向上平移 1 個單位,所得圖象的函數解析式為sin(2)cos2 2 yxx ,故選 a. 2 1 cos22cosyxx 答案:a 【命題立意】:本題考查三角函數的圖象的平移和利用誘導公式及二倍角公式進行化簡解析式 的基本知識和基本技能,學會公式的變形. 11.（2009 全國卷文）已知abc 中，則 12 cot 5 a cos a (a) (b) (c)

8、(d) 12 13 5 13 5 13 12 13 答案：答案：d 解析：本題考查同角三角函數關系應用能力，先由解析：本題考查同角三角函數關系應用能力，先由 cota=知知 a 為鈍角，為鈍角，cosa0, -0, 0) x0,4的圖象，且圖象的最高點為 s(3，2)；賽道的后一部分為折線段 mnp，為保證參賽3 運動員的安全，限定mnp=120 o （i）求 a , 的值和 m，p 兩點間的距離； （ii）應如何設計，才能使折線段賽道 mnp 最長？ 18.本小題主要考查三角函數的圖象與性質、解三角形等基礎知識，考查運算求解能力以及應 用數學知識分析和解決實際問題的能力，考查化歸與轉化思想、

9、數形結合思想， 解法一 （）依題意，有，又，。2 3a 3 4 t 2 t 6 2 3sin 6 yx 當 是，4x 2 2 3sin3 3 y 又(4,3)m(8,3)p 22 435mp （）在mnp 中mnp=120，mp=5， 設pmn=，則 060 由正弦定理得 00 sinsin120sin(60) mpnpmn , 10 3 sin 3 np 0 10 3 sin(60) 3 mn 故 0 10 310 310 3 13 sinsin(60)(sincos ) 33323 npmn 0 10 3 sin(60 ) 3 060，當=30時，折線段賽道 mnp 最長 亦即，將pmn

10、設計為 30時，折線段道 mnp 最長 解法二： （）同解法一 （）在mnp 中，mnp=120，mp=5， 由余弦定理得mnp= 22 2cosmnnpmn npaa 2 mp 即 22 25mnnpmn npa 故 22 ()25() 2 mnnp mnnpmn np a 從而，即 2 3 ()25 4 mnnp 10 3 3 mnnp 當且僅當時，折線段道 mnp 最長mnnp 注：本題第（）問答案及其呈現方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設計方式， 還可以設計為：；點 n 在線段 mp 的垂直平 123 94 3 ( 26 n ，） 123 94 3 ( 26 n ，） 分線上

11、等 21.（2009 遼寧卷文） （本小題滿分（本小題滿分 1212 分）分） 如圖，a,b,c,d 都在同一個與水平面垂直的平面內，b，d 為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量 船于水面 a 處測得 b 點和 d 點的仰角分別為，于水面 c 處測得 b 點和 d 點的仰角 0 75 0 30 均為，ac0.1km。試探究圖中 b，d 間距離與另外哪兩點距離相等，然后求 b，d 的距離 0 60 （計算結果精確到 0.01km，1.414，2.449） 2 6 （18）解： 在中，30，6030，acddacadcdac 所以 cdac0.1 又180606060，bcd 故 cb 是底邊 ad 的

12、中垂線，所以 bdba 5 分cad 在中， abc abc ac bca ab sinsin 即 ab 20 623 51sin 60sin ac 因此，km33 . 0 20 623 bd 故 b、d 的距離約為 0.33km。 12 分 22.（2009 遼寧卷理） （本小題滿分 12 分） 如圖，a,b,c,d 都在同一個與水平面垂直的平面內，b，d 為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量 船于水面 a 處測得 b 點和 d 點的仰角分別為，于水面 c 處測得 b 點和 d 點的仰角 0 75 0 30 均為，ac=0.1km。試探究圖中 b，d 間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求 b，d

13、的距 0 60 離（計算結果精確到 0.01km，1.414，2.449） 2 6 (17)解: 在abc 中，dac=30, adc=60dac=30, 所以 cd=ac=0.1 又bcd=1806060=60， 故 cb 是cad 底邊 ad 的中垂線，所以 bd=ba， 5 分 在abc 中， , abcsin c bcasin aab 即 ab= , 20 623 15sin acsin60 因此，bd= 。km33 . 0 20 623 故 b，d 的距離約為 0.33km。 12 分 23.（2009 寧夏海南卷理） （本小題滿分 12 分） 為了測量兩山頂 m，n 間的距離，飛機

14、沿水平方向在 a，b 兩點進行測量，a，b，m，n 在 同一個鉛垂平面內（如示意圖） ，飛機能夠測量的數據有俯角和 a，b 間的距離，請設計一個 方案，包括：指出需要測量的數據（用字母表示，并在圖中標出） ；用文字和公式寫出 計算 m，n 間的距離的步驟。 (17) 解： 方案一：需要測量的數據有：a 點到 m，n 點的俯角；b 點到 m， n 的俯角；a，b 的距離 d （如圖所示） . .3 分 22 , 第一步：計算 am . 由正弦定理； 2 12 sin sin() d am 第二步：計算 an . 由正弦定理； 2 21 sin sin() d an 第三步：計算 mn. 由余弦定

15、理 . 22 11 2cos()mnamanaman 方案二：需要測量的數據有： a 點到 m，n 點的俯角，；b 點到 m，n 點的府角，；a，b 的距離 d （如 1 1 2 2 圖所示）. 第一步：計算 bm . 由正弦定理； 1 12 sin sin() d bm 第二步：計算 bn . 由正弦定理； 1 21 sin sin() d bn 第三步：計算 mn . 由余弦定理 22 22 2cos()mnbmbnbmbn 24.（2009 陜西卷文） （本小題滿分 12 分） 已知函數（其中）的周期為，且圖( )sin(),f xaxxr0,0,0 2 a 象上一個最低點為. 2 (,

16、 2) 3 m ()求的解析式；（）當，求的最值.解析:（1）由最低點為( )f x0, 12 x ( )f x 由 2 (, 2)2 3 ma 得 22 2t t 得 由點在圖像上得即 2 (, 2) 3 m 4 2sin()2 3 4 sin()1 3 所以故 4 2 32 k 11 2() 6 kkz 又，所以所以(0,) 2 6 ( )2sin(2) 6 f xx （）因為0,2, 1266 3 xx 11 , 所以當時，即 x=0 時，f(x)取得最小值 1；2x+ 66 ；,( ) 6312 xf x 當2x+即時，取得最大值3 25.(2009 陜西卷理)（本小題滿分 12 分）

17、 已知函數（其中）的圖象與 x 軸的交( )sin(),f xaxxr0,0,0 2 a 點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為. 2 2 (, 2) 3 m ()求的解析式；（）當，求的值域. ( )f x, 12 2 x ( )f x 17、解（1）由最低點為得 a=2. 2 (, 2) 3 m 由 x 軸上相鄰的兩個交點之間的距離為得=，即， 2 2 t 2 t 22 2 t 由點在圖像上的 2 (, 2) 3 m 24 2sin(2)2,)1 33 即si n( 故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4 2, 32 kkz 11 2 6 k 又(0,),( )2si

18、n(2) 266 f xx 故 （2） 7 ,2, 12 2636 xx 當=，即時，取得最大值 2；當2 6 x 2 6 x ( )f x 7 2 66 x 即時，取得最小值-1，故的值域為-1,2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 x ( )f x( )f x 26.（2009 四川卷文） （本小題滿分 12 分） 在中，為銳角，角所對的邊分別為，且abcab、abc、abc、 510 sin,sin 510 ab （i）求的值；ab （ii）若，求的值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21ababc、 【解析解析】 （i）為銳角， ab、 510 sin,sin 510

19、 ab 22 2 53 10 cos1 sin,cos1 sin 510 aabb 2 53 105102 cos()coscossinsin. 5105102 ababab 0ab 6 分 4 ab （ii）由（i）知， 3 4 c 2 sin 2 c 由得 sinsinsin abc abc ，即5102abc2 ,5ab cb 又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21ab 221bb1b 12 分2,5ac 27.（2009 湖北卷文） （本小題滿分 12 分） 在銳角abc 中，a、b、c 分別為角 a、b、c 所對的邊，且acasin23 ()確定角 c 的大小： （）若 c

20、,且abc 的面積為,求 ab 的值。7 2 33 解（1）由及正弦定理得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 32 sinaca 2sinsin sin3 aaa cc 3 sin0,sin 2 acq 是銳角三角形，abcq 3 c （2）解法 1：由面積公式得7,. 3 cc q 13 3 sin,6 232 abab 即 由余弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2222 2cos7,7 3 abababab 即 由變形得25,5ab 2 （a+b)故 解法 2：前同解法 1，聯立、得 2222 7 66 ababab abab 消去 b 并整理得解得 42 13360

21、aa 22 49aa或 所以故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23 32 aa bb 或5ab 28.（2009 寧夏海南卷文） （本小題滿分 12 分） 如圖，為了解某海域海底構造，在海平面內一條直線上的 a，b，c 三點 進行測量，已知，于 a 處測得水深50abm120bcm ，于 b 處測得水深，于 c 處測得水深80adm200bem ，求def 的余弦值。 110cfm (17) 解： 作交 be 于 n，交 cf 于 mw.w.w.k.s.5.u.c.o.m /dmac ， 2222 3017010 198dfmfdm ， 2222 50120130dednen 6 分

22、 2222 ()90120150efbefcbc 在中，由余弦定理，def . 222222 1301501029816 cos 22 130 15065 deefdf def deef 12 分 29.(2009 湖南卷理)（本小題滿分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在，已知，求角 a，b，c 的大小。abc 2 233ab acabacbc 解：設,bca acb abc 由得，所以23ab acabac 2cos3bcabc 3 cos 2 a 又因此 (0, ),a 6 a 由得，于是 2 33abacbc 2 3bca 2 3 sinsin3sin 4 cba 所

23、以，因此 53 sinsin() 64 cc 133 sin( cossin) 224 ccc ，既 2 2sincos2 3sin3,sin23cos20cccccsin(2)0 3 c 由 a=知，所以，從而 6 5 0 6 c 3 4 2 33 c 或，既或故20, 3 c 2, 3 c , 6 c 2 , 3 c 或。 2 , 636 abc 2 , 663 abc 30.（2009 天津卷理） （本小題滿分 12 分） 在abc 中，bc=，ac=3，sinc=2sina 5 (i) 求 ab 的值： (ii) 求 sin的值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 4 a 本小

24、題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數的基本關系、二倍角的正弦與余弦、兩 角差的正弦等基礎知識，考查基本運算能力。滿分 12 分。 （）解：在abc 中，根據正弦定理， a bc c ab sinsin 于是 ab=522 sin sin bcbc a c （）解：在abc 中，根據余弦定理，得 cosa= 5 52 2 222 acab bdacab 于是 sina= 5 5 cos1 2 a 從而 sin2a=2sinacosa=,cos2a=cos2a-sin2a= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5 4 5 3 所以 sin(2a-)=sin2acos-cos2asin=

25、4 4 4 10 2 31.（2009 四川卷理）（本小題滿分 12 分） 在中，為銳角，角所對應的邊分別為，且abca,a b, ,a b c, ,a b c 310 cos2,sin 510 ab （i）求的值； ab （ii）若，求的值。21ab, ,a b c 本小題主要考查同角三角函數間的關系，兩角和差的三角函數、二倍角公式、正弦定理等 基礎知識及基本運算能力。 解：（）、為銳角，ab 10 sin 10 b 2 3 10 cos1 sin 10 bb 又，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 3 cos21 2sin 5 aa ， 5 sin 5 a 2 2 5 cos1 s

26、in 5 aa 2 53 105102 cos()coscossinsin 5105102 ababab 0ab 6 分 4 ab （）由（）知,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 4 c 2 sin 2 c 由正弦定理得 sinsinsin abc abc ，即， 5102abc2ab5cb ，21abq ，221bb1b 12 分2,5ac 32.（2009 福建卷文） （本小題滿分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知函數其中，( )sin(),f xx0| 2 （i）若求的值； coscos,sinsin0, 44 （）在（i）的條件下，若函數的圖像的相鄰

27、兩條對稱軸之間的距離等于，求( )f x 3 函數的解析式；并求最小正實數，使得函數的圖像象左平移個單位所對應( )f xm( )f xm 的函數是偶函數。 解法一： （i）由得 3 coscossinsin0 44 coscossinsin0 44 即又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m cos()0 4 |, 24 （）由（i）得，( )sin() 4 f xx 依題意， 23 t 又故 2 ,t 3,( )sin(3) 4 f xx 函數的圖像向左平移個單位后所對應的函數為( )f xm ( )sin 3() 4 g xxm 是偶函數當且僅當( )g x3() 42 mkkz 即(

28、) 312 k mkz 從而，最小正實數 12 m 解法二： （i）同解法一 （）由（i）得， ( )sin() 4 f xx 依題意， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23 t 又，故 2 t 3,( )sin(3) 4 f xx 函數的圖像向左平移個單位后所對應的函數為( )f xm( )sin 3() 4 g xxm 是偶函數當且僅當對恒成立( )g x()( )gxg xxr 亦即對恒成立。sin( 33)sin(33) 44 xmxm xr sin( 3 )cos(3)cos( 3 )sin(3) 44 xmxm sin3 cos(3)cos3 sin(3) 44 xmxm

29、即對恒成立。2sin3 cos(3)0 4 xm xr cos(3)0 4 m 故3() 42 mkkz w.w.w.k.s.5.u.c.o.m () 312 k mkz 從而，最小正實數 12 m 33.（2009 重慶卷理） （本小題滿分 13 分， （）小問 7 分， （）小問 6 分 ） 設函數 2 ( )sin()2cos1 468 xx f x （）求的最小正周期 ( )f x （）若函數與的圖像關于直線對稱，求當時( )yg x( )yf x1x 4 0, 3 x 的最大值( )yg x 解：（）=( )f xsincoscossincos 46464 xxx = 33 sinc

30、os 2424 xx = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3sin() 43 x 故的最小正周期為 t = =8( )f x 2 4 ()解法一： 在的圖象上任取一點，它關于的對稱點 .( )yg x( , ( )x g x1x (2, ( )x g x 由題設條件，點在的圖象上，從而w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2, ( )x g x( )yf x ( )(2)3sin(2) 43 g xfxx =3sin 243 x =3cos() 43 x 當時，因此在區間上的最大值為 3 0 4 x 2 3433 x ( )yg x 4 0, 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m max 3 3cos 32 g 解法二： 因區間關于 x = 1 的對稱區間為，且與的圖象關于 4 0, 3 2 ,2 3 ( )yg x( )yf