1、第四節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法 (全國卷5年30考,知識梳理】 1.直接證明 直接證明中最基本的兩種證明方法是_和_,綜合法,分析法,1)綜合法:一般地,利用已知條件和某些數(shù)學定義、 定理、公理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導出 所要證明的結論成立,這種證明方法叫做綜合法. 綜合法又稱為:_(順推證法,由因導果法,2)分析法:一般地,從要證明的結論出發(fā),逐步尋求使 它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結論歸結為 判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、 公理等)為止,這種證明方法叫做分析法. 分析法又稱為:_(逆推證法,執(zhí)果索因法,2.間接證明 反證法:假設原命題_,經(jīng)過正確

2、的推理,最后 得出_,所以說明假設錯誤,從而證明了原命題 成立,這樣的證明方法叫做反證法,不成立,矛盾,3.數(shù)學歸納法 數(shù)學歸納法主要用于解決與_有關的數(shù)學問題.證 明時,它的兩個步驟缺一不可.它的第一步(歸納奠基) n=_時結論成立. 第二步(歸納遞推)假設n=k時,結論成立,推得n=_時 結論也成立. 特別要注意n=k到n=k+1時增加的項數(shù),自然數(shù),n0,k+1,常用結論】 證題的三種思路 (1)綜合法證題的一般思路 用綜合法證明命題時,必須首先找到正確的出發(fā)點,也就是能想到從哪里起步,我們一般的處理方法是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的各種性質,逐層推進,從而由已知逐步推出結論,2)分析法證

3、題的一般思路 分析法的思路是逆向思維,用分析法證題必須從結論出發(fā),倒著分析,尋找結論成立的充分條件.應用分析法證明問題時要嚴格按分析法的語言表達,下一步是上一步的充分條件,3)反證法證題的一般思路 反證法證題的實質是證明它的逆否命題成立.反證法的主要依據(jù)是邏輯中的排中律,排中律的一般形式是:或者是A,或者是非A,即在同一討論過程中,A和非A有且僅有一個是正確的,不能有第三種情況出現(xiàn),基礎自測】 題組一:走出誤區(qū) 1.判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”) (1)綜合法的思維過程是由因導果,逐步尋找已知條件的必要條件.(,2)分析法是從要證明的結論出發(fā),逐步尋找使結論 成立的充要條件.() (3

4、)反證法是指將結論和條件同時否定,推出矛 盾.(,4)常常用分析法尋找解題的思路與方法,用綜合法 展現(xiàn)解決問題的過程.() (5)用數(shù)學歸納法證明問題時,第一步一定是驗證當n= 1時結論成立.(,提示：(1).符合綜合法的定義. (2).分析法是從要證明的結論出發(fā),逐步尋找使結論成立的充分條件. (3).反證法是指將結論否定. (4).用分析法尋找解題思路與方法,用綜合法展現(xiàn)解題過程,是解立體幾何問題常用的方法,5).第一步可以從任何一個整數(shù)開始,例如可以從n=2開始,2.用反證法證明命題“三角形的三個內(nèi)角至少有兩個小于等于90”時,應假設_. 答案:三角形的三個內(nèi)角至多有一個小于等于90,題

5、組二:走進教材 1.(選修2-2P85引例改編)若a,b,c是不全相等的實數(shù),求證:a2+b2+c2ab+bc+ca. 證明過程如下,因為a,b,cR,所以a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac. 又因為a,b,c不全相等, 所以以上三式至少有一個等號不成立,所以將以上三式相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2ab+bc+ca.此證法是() A.分析法B.綜合法 C.分析法與綜合法并用D.反證法,解析】選B.由因導果是綜合法,2.(選修2-2P91練習T1改編 )用反證法證明命題“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60”時,應假設() A.三個內(nèi)角都

6、不大于60 B.三個內(nèi)角都大于60 C.三個內(nèi)角至多有一個大于60 D.三個內(nèi)角至多有兩個大于60,解析】選B.三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60的對立面為三個內(nèi)角都大于60,考點一反證法的應用 【題組練透】 1.用反證法證明某命題時,對結論“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設是(,A.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個偶數(shù) B.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) C.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù) D.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù) 【解析】選B.“恰有一個偶數(shù)”反面應是“至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù),2.用反證法證明命題“若x2-(a+b)x+ab0,則xa且xb”時,應假設為_. 【解析】“x

7、a且xb”的否定是“x=a或x=b”,所以應假設為x=a或x=b. 答案:x=a或x=b,3.設a,b是兩個實數(shù),給出下列條件: a+b1;a+b=2;a+b2; a2+b22;ab1. 其中能推出:“a,b中至少有一個大于1”的條件是_.(填序號,解析】若a= ,b= ,則a+b1, 但a2,所以推不出; 若a=-2,b=-3,則ab1,所以推不出,對于,即a+b2,則a,b中至少有一個大于1, 反證法:假設a1且b1, 則a+b2與a+b2矛盾, 所以假設不成立,所以a,b中至少有一個大于1. 答案,規(guī)律方法】 用反證法證明數(shù)學命題需把握的三點 (1)必須先否定結論,即肯定結論的反面; (

8、2)必須從否定結論進行推理,即應把結論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進行推證,3)推導出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設矛盾,有的與已知事實矛盾等,但是推導出的矛盾必須是明顯的,考點二分析法的應用 【明考點知考法】 間接證明一般考查以不等式、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、函數(shù)為背景的證明題,一般以解答題形式出現(xiàn),難度中檔或高檔,命題角度1與函數(shù)不等式有關的證明 【典例】(2016浙江高考)設函數(shù)f(x)=x3+ , x0,1.證明: (1)f(x)1-x+x2. (2,解析】(1)要證f(x)1-x+x2,x0,1,即證 x3+ 1-x+x2, 只需證x3-x2+x-1+ 0,即

9、證x2(x-1)+(x-1)+ 0,即(x-1)(x2+1)+ 0,只需證(x+1)(x-1)(x2+1)+10,即證 (x2-1)(x2+1)+10,即x40, 由x0,1知,x40,得證,2)由x0,1,得x3x, 所以f(x)=x3+ 所以f(x) , 由(1)得,f(x)1-x+x2= 又 所以f(x) , 綜上, f(x),一題多解】(1)綜合法: 因為1-x+x2-x3=(1-x)+x2(1-x)=(1-x)(1+x2) 又x0,1, 所以 ,即1-x+x2-x3 所以f(x)1-x+x2,2)由(1)得 f(x)1-x+x2= 又 所以f(x),由x0,1得x3x, 所以f(x)

10、=x3+ x+ =(x+1)+ -1 令t=x+1,g(t)=t+ -1,t1,2, 則g(t)=1- 0,t1,2,所以g(t)在1,2上是增函數(shù), g(t)g(2)= , 所以f(x) . 綜上, f(x),狀元筆記】 1.分析法證明問題的適用范圍 當已知條件與結論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接,或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時,往往采用分析法,特別是含有根號、絕對值的等式或不等式,常考慮用分析法,2.分析法的格式 通常采用“欲證只需證已知”的格式,在表達中要注意敘述形式的規(guī)范性,命題角度2與數(shù)列有關的證明 【典例】已知數(shù)列an的前n項和Sn= ,nN*. (1)求數(shù)列an的通項公式.

11、(2)證明:對任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am 成等比數(shù)列,解析】(1)由Sn= ,得a1=S1=1, 當n2時,an=Sn-Sn-1=3n-2, 當n=1時也符合, 所以數(shù)列an的通項公式為an=3n-2,2)要證a1,an,am成等比數(shù)列, 只需證 =a1am, 即(3n-2)2=1(3m-2),即m=3n2-4n+2, 此時mN*,mn, 所以對任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比數(shù)列. 誤區(qū)警示:要注意書寫格式的規(guī)范性,狀元筆記】 分析法的證題思路 (1)從結論入手,由此逐步推出保證此結論成立的充分條件.(2)當這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理

12、、法則、公式等)或要證命題的已知條件時命題得證,對點練找規(guī)律】 1.(2016全國卷)已知函數(shù)f(x)= M為不等式f(x)2的解集. (1)求M. (2)證明:當a,bM時,|a+b|1+ab,解析】(1)當x 時,f(x)=2x2,解得 x1. 綜上可得,M=x|-1x1,2)當a,b(-1,1)時,有(a2-1)(b2-1)0, 即a2b2+1a2+b2, 則a2b2+2ab+1a2+2ab+b2, 則(ab+1)2(a+b)2, 即|a+b|ab+1,2.已知各項均不相等的等差數(shù)列an的前四項和為14,且a1,a3,a7恰為等比數(shù)列bn的前三項. (1)分別求數(shù)列an,bn的前n項和S

13、n,Tn. (2)記數(shù)列anbn的前n項和為Kn,設cn= , 求證:cn+1cn(nN*,解析】(1)設公差為d,則 解得d=1或d=0(舍去),a1=2, 所以an=n+1,Sn= 又因為a1=2,d=1,所以a3=4,即b2=4. 所以等比數(shù)列bn的首項為b1=2,公比q= =2, 所以bn=2n,Tn=2n+1-2,2)因為Kn=221+322+(n+1)2n, 故2Kn=222+323+n2n+(n+1)2n+1, -得-Kn=221+22+23+2n-(n+1)2n+1, 所以Kn=n2n+1,則cn,要證明cn+1cn(nN*),只需證cn+1-cn0, 即證cn+1-cn= 顯

14、然成立.所以cn+1cn(nN*,考點三綜合法的應用 【明考點知考法】 直接證明一般考查以不等式、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、函數(shù)為背景的證明題,一般以解答題形式出現(xiàn),難度中檔或高檔,命題角度1與不等式有關的證明 【典例】(1)(2019宜昌模擬)設a,b,c均為正數(shù), 且a+b+c=1,證明: ab+bc+ca ;,2)設數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足2Sn=an+1-2n+1+1, nN*,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列. 求a1的值; 求數(shù)列an的通項公式; 證明:對一切正整數(shù)n,有,解析】(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得 a2+b2+c2ab+bc+ca.

15、 由題設得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1, 所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca . 當且僅當“a=b=c”時等號成立,因為 +b2a, +c2b, +a2c, 當且僅當“a2=b2=c2”時等號成立, 故 +(a+b+c)2(a+b+c), 即 a+b+c. 所以 1,2)當n=1時,2a1=a2-4+1=a2-3, 當n=2時,2(a1+a2)=a3-8+1=a3-7, 又因為a1,a2+5,a3成等差數(shù)列,所以a1+a3=2(a2+5), 解得a1=1,因為2Sn=an+1-2n+1+1, 所以當n2時,有2Sn-1=an-2n+1,

16、兩式相減整理得an+1-3an=2n,則 即 又因為 +2=3,所以,是首項為3,公比為 的等比數(shù)列, 所以 即an=3n-2n,n=1時也適合此式,所以an=3n-2n,由得 當n2時, 2,即3n-2n2n, 所以 所以,狀元筆記】 綜合法證明題的一般規(guī)律 (1)綜合法是“由因導果”的證明方法,它是一種從已知到未知(從題設到結論)的邏輯推理方法,即從題設中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā),經(jīng)過一系列中間推理,最后導出所要求證結論的真實性,2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理,命題角度2與立體幾何有關的證明 【典例】(2018北京高考)如圖,在四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD為

17、矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD, E,F分別為AD,PB的中點,1)求證:PEBC. (2)求證:平面PAB平面PCD. (3)求證:EF平面PCD,證明】(1)在PAD中,PA=PD,E是AD的中點, 所以PEAD, 又底面ABCD為矩形,所以ADBC,所以PEBC,2)因為底面ABCD為矩形,所以ADCD, 又因為平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,CD平面ABCD, 所以CD平面PAD,又PA平面PAD, 所以CDPA,又因為PAPD,CD,PD平面PCD,CDPD=D, 所以PA平面PCD,又PA平面PAB, 所以平面PAB平面PCD,3)取PC的

18、中點G,連接DG,FG,因為底面ABCD為矩形,所以AD BC,又E是AD的中點, 所以DE BC, 在PBC中,F,G分別是PB,PC的中點, 所以FG BC,所以DE FG,四邊形DEFG是平行四邊形, 所以EFDG, 又因為EF平面PCD,DG平面PCD, 所以EF平面PCD,狀元筆記】 解立體幾何證明問題的思路 掌握證明方法,用分析法來分析思路,用綜合法來書寫證明過程.分析時從結論出發(fā),找結論成立的條件,對點練找規(guī)律】 1.設a,b,c都是正數(shù),求證: a+b+c,證明】因為a,b,c都是正數(shù), 所以 都是正數(shù). 所以 2c,當且僅當a=b時等號成立, 2a,當且僅當b=c時等號成立,

19、2b,當且僅當a=c時等號成立. 三式相加,得2 2(a+b+c), 即 a+b+c,當且僅當a=b=c時等號成立,2.已知a1=1,an=2an-1+1(n2). (1)證明an+1是等比數(shù)列并求通項an. (2)證明,證明】(1)因為an=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1),又因為a1=1,a1+1=20,所以數(shù)列an+1是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以an+1=2n即an=2n-1,2)因為 所以,3.(2018江蘇高考)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中, AA1=AB,AB1B1C1. 求證:(1)AB平面A1B1C. (2)平面ABB1A1平面A1BC,證

20、明】(1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1. 因為AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C, 所以AB平面A1B1C,2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1為平行四邊形. 又因為AA1=AB,所以四邊形ABB1A1為菱形, 因此AB1A1B. 又因為AB1B1C1,BCB1C1, 所以AB1BC,又因為A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC, 所以AB1平面A1BC. 因為AB1平面ABB1A1, 所以平面ABB1A1平面A1BC,考點四數(shù)學歸納法 【明考點知考法】 數(shù)學歸納法一般不直接命題,對考查以不等式、數(shù)列、函數(shù)為背景的證明

21、題,有時可用數(shù)學歸納法來證明,難度中檔或高檔,命題角度1 數(shù)學歸納法解數(shù)列問題 【典例】設a0,f(x)= ,令a1=1,an+1=f(an),nN*. (1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列an的通項公式; (2)用數(shù)學歸納法證明你的結論,解析】(1)因為a1=1, 所以a2=f(a1)=f(1)= ; a3=f(a2)= ;a4=f(a3)= . 猜想an= (nN*,2)易知,n=1時,猜想正確. 假設n=k(kN*)時猜想正確, 即ak= ,則 ak+1=f(ak),這說明,當n=k+1時猜想正確. 由知,對于任何nN*,都有 an=,狀元筆記】 用數(shù)學歸納法證數(shù)列問題的方法 用數(shù)

22、學歸納法證明數(shù)列問題是數(shù)學歸納法的常見題型,其關鍵點在于“先看項”,弄清等式的構成規(guī)律,等式有多少項,初始值是多少,命題角度2數(shù)學歸納法證明不等式 【典例】用數(shù)學歸納法證明不等式 (n2,nN*,證明】當n=2時, 假設當n=k(k2且kN*)時不等式成立, 即 當n=k+1時,這說明,當n=k+1時,不等式也成立. 由可知,原不等式對任意大于1的正整數(shù)都成立,狀元筆記】 數(shù)學歸納法的注意事項 由n=k到n=k+1時,除等式兩邊變化的項外還要利用n=k時的式子,即利用假設,正確寫出歸納證明的步驟,從而使問題得以證明,對點練找規(guī)律】 1.用數(shù)學歸納法證明: (nN*,證明】當n=1時, 成立. 假設當n=k(nN*)時等式成立,即有 則當n=k+1時,即當n=k+1時等式也成立. 由可得對于任意的nN*等式都成