導數的基礎知識一導數的定義00000|LIMLIXXFXFXYFXFYF1函數在處的導數2函數的導數2利用定義求導數的步驟求函數的增量；求平均變化率；00YFXF00FXFXY取極限得導數LIMXY（下面內容必記）二、導數的運算（1）基本初等函數的導數公式及常用導數運算公式；0C為常數1NX1NNNX1MMNNXX；SINCOSXCSIEL0,AA且；1LLG0,LAAX且法則1；口訣和與差的導數等于導數的和與差FXF法則2口訣前導后不導相乘，后導前不導相乘，間是正號FGX法則320GG口訣分母平方要記牢，上導下不導相乘，下導上不導相乘，間是負號（2）復合函數的導數求法YFX換元，令，則分別求導再相乘回代UFUYGXFUGX題型一、導數定義的理解題型二導數運算1、已知，則2SINFX0F2、若，則SIEFX3AX33X22，則A（）F41319360DCBA三導數的物理意義1求瞬時速度物體在時刻時的瞬時速度就是物體運動規律在時的導數，0T0VSFT0T0FT即有。00VFT2VS/T表示即時速度。AV/T表示加速度。四導數的幾何意義函數在處導數的幾何意義，曲線在點處切線的斜率是。于是相應的切FX0YFX0,PFX0KFX線方程是。00YFX題型三用導數求曲線的切線注意兩種情況（1）曲線在點處切線性質。相應的切線方程是F0,PF0KFX切線00YX（2）曲線過點處切線先設切點，切點為,則斜率K，切點在曲線XYQABFA,QB上，切點在切線上，切點坐標代入方程得關于A,B的方程組，解方F,QAB00FAX程組確定切點，最后求斜率K，確定切線方程。F例題在曲線YX33X26X10的切線，求斜率最小的切線方程；解析（1）當X01時，K有最小值3，3136X|YK200X0此時P的坐標為（1，14）故所求切線的方程為3XY110五函數的單調性設函數在某個區間內可導，YFX（1）該區間內為增函數；0FXFX（2）該區間內為減函數；注意當在某個區間內個別點處為零，在其余點處為正（或負）時，在這個區間上仍是遞增（或遞減）FX的。（3）在該區間內單調遞增在該區間內恒成立；FX0FX（4）在該區間內單調遞減在該區間內恒成立；題型一、利用導數證明（或判斷）函數FX在某一區間上單調性步驟（1）求導數Y2判斷導函數在區間上的符號X3下結論該區間內為增函數；0FXF該區間內為減函數；題型二、利用導數求單調區間求函數單調區間的步驟為FY（1）分析的定義域；（2）求導數XXFY（3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區間0（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區間F題型三、利用單調性求參數的取值（轉化為恒成立問題）思路一（1）在該區間內單調遞增在該區間內恒成立；X0FX（2）在該區間內單調遞減在該區間內恒成立；F思路二先求出函數在定義域上的單調增或減區間，則已知限定的單調增或減區間是定義域上的單調增或減區間的子集。注意若函數F（X）在（A，C）上為減函數，在（C，B）上為增函數，則XC兩側使函數（X）變號，即XC為函F數的一個極值點，所以0F例題若函數，若則FLN5,4,3FCFBFAA0,EXA0,EXA,XLNAFX的單調遞增區間為LNA,（2）F（X）在R內單調遞增，F0在R上恒成立EXA0，即AEX在R上恒成立A（EX）MIN，又EX0，A0（3）由題意知，X0為FX的極小值點0F0,即E0A0,A1例2已知函數FXX3AX2BXC,曲線YFX）在點X1處的切線為L3XY10，若X32時，YFX）有極值（1）求A,B,C的值；（2）求YFX）在3，1上的最大值和最小值解（1）由FXX3AX2BXC,得XF3X22AXB,當X1時，切線L的斜率為3，可得2AB0當X32時，YFX有極值，則F0,可得4A3B40由解得A2,B4由于切點的橫坐標為X1,F141ABC4C5（2）由（1）可得FXX32X24X5,XF3X24X4,令XF0,得X2,X32當X變化時，Y,Y的取值及變化如下表X33,2232,1,321Y00Y8單調遞增13單調遞減2795單調遞增4YF（X）在3，1上的最大值為13，最小值為例3當0，證明不等式XX1LN證明XFLN，G，則21XF，當0X時。XF在,0內是增函數，0FXF，即01LNX，又G1，當時，0XG，G在,內是減函數，G，即01LNX，因此，當X時，不等式1LN成立點評由題意構造出兩個函數XXF，X1LN利用導數求函數的單調區間或求最值，從而導出是解決本題的關鍵七定積分求值1定積分的概念設函數在區間上連續，則FX,AB1LIMNBIABAFDXF2用定義求定積分的一般方法是分割等分區間；近似代替取點；求和N,1,IIIX；取極限1NIIBAF1LIMBIAFDFN3曲邊圖形面積；0,FXSX0,BASFXD在軸上方的面積取正，下方的面積取負變速運動路程；變力做功21TVDBAWFR4定積分的性質性質1（其K是不為0的常數）BABAXFKDXF性質21212BADFX性質3（定積分對積分區間的可加性）BCBAACFFFC其中5定理函數是上的一個原函數，即則FX,XFXF|BBAAFXDF導數各種題型方法總結（一）關于二次函數的不等式恒成立的主要解法1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數區間最值求法（1）對稱軸（重視單調區間）與定義域的關系（2）端點處和頂點是最值所在（二）分析每種題型的本質，你會發現大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應用數形結合思想”，創建不等關系求出取值范圍。（三）同學們在看例題時，請注意尋找關鍵的等價變形和回歸的基礎一、基礎題型函數的單調區間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決第一步令得到兩個根；0XF第二步畫兩圖或列表；第三步由圖表可知；其不等式恒成立問題的實質是函數的最值問題，2、常見處理方法有三種第一種分離變量求最值用分離變量時要特別注意是否需分類討論（0,0,0）第二種變更主元（即關于某字母的一次函數）（已知誰的范圍就把誰作為主元）；例1設函數在區間D上的導數為，在區間D上的導數為，若在區間D上，恒YFXFXFGX0GX成立，則稱函數在區間D上為“凸函數”，已知實數M是常數，43216MF（1）若在區間上為“凸函數”，求M的取值范圍；YFX0,3（2）若對滿足的任何一個實數，函數在區間上都為“凸函數”，求的最大值2MFX,ABBA解由函數得4216XF32F23GX（1）在區間上為“凸函數”，YF0,則在區間0,3上恒成立2X解法一從二次函數的區間最值入手等價于MAX0G0329G解法二分離變量法當時,恒成立,0X20X當時,恒成立33GM等價于的最大值（）恒成立，2X而（）是增函數，則HX0XMA32H2M2當時在區間上都為“凸函數”F,AB則等價于當時恒成立230GX變更主元法再等價于在恒成立（視為關于M的一次函數最值問題）2FM223010FXXBA例2設函數,1032312RBAXAXF（）求函數F（X）的單調區間和極值；（）若對任意的不等式恒成立，求A的取值范圍,F（二次函數區間最值的例子）解（）2243FAXA01A令得的單調遞增區間為（A,3A）,0XFXF令得的單調遞減區間為（，A）和（3A，）當XA時，極小值當X3A時，極大值BF43BXF（）由|A，得對任意的恒成立X,2,1X2243A223AAFA3A則等價于這個二次函數的對稱軸GXMAXING2243GXA2XA01,A（放縮法）12A即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數的最值問題單調增函數的最值問題。上是增函數22431,GXA、（9分）MAXIN4于是，對任意，不等式恒成立，等價于2,1A24115GA、又,0點評重視二次函數區間最值求法對稱軸（重視單調區間）與定義域的關系第三種構造函數求最值題型特征恒成立恒成立；從而轉化為第一、二種題型XGF0XGFXH例3；已知函數圖象上一點處的切線斜率為，32A1,PB32610TGXTT（）求的值；,AB（）當時，求的值域；4FX（）當時，不等式恒成立，求實數T的取值范圍。,XG解（），解得/23FA/13FBA32AB（）由（）知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減FX,00,4又14,0,46FF的值域是X16（）令2131,4THFXGXX思路1要使恒成立，只需，即分離變量0H26T思路2二次函數區間最值二、已知函數在某個區間上的單調性求參數的范圍解法1轉化為在給定區間上恒成立，回歸基礎題型0XFF或解法2利用子區間（即子集思想）；首先求出函數的單調增或減區間，然后讓所給區間是求的增或減區間的子集；做題時一定要看清楚“在（M,N）上是減函數”與“函數的單調減區間是（A,B）”，要弄清楚兩句話的區別前者是后者的子集例4已知，函數RAXAXXF14213（）如果函數是偶函數，求的極大值和極小值；GF（）如果函數是上的單調函數，求的取值范圍F,2XA1,2解14412AXXF（）是偶函數，此時，XXF3123412XF令，解得0XF3X列表如下,222,222,F00X遞增極大值遞減極小值遞增可知的極大值為，的極小值為F34FFX34F（）函數是上的單調函數，,，在給定區間R上恒成立判別式法21104FXAX則解得24A，02A綜上，的取值范圍是例5、已知函數32110FXAXA（I）求的單調區間；（II）若在0，1上單調遞增，求A的取值范圍。子集思想F（I）21XXX1、20,0,A當時恒成立當且僅當時取“”號，單調遞增。F在2、1212,FAX當時由得且單調增區間單調增區間,（II）當則是上述增區間的子集0,FX在上單調遞增0,11、時，單調遞增符合題意A,在2、，0,1,1AA綜上，A的取值范圍是0，1。三、根的個數問題提型一函數FX與GX（或與X軸）的交點即方程根的個數問題解題步驟第一步畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導數不等式）和“趨勢圖”即三次函數的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關系；第三步解不等式（組）即可；例6、已知函數，且在區間上為增函數231XKXFKXG31F,2（1）求實數的取值范圍；K（2）若函數與的圖象有三個不同的交點，求實數的取值范圍FG解（1）由題意在區間上為增函數，XKX12F,2在區間上恒成立（分離變量法）02F,即恒成立，又，故的取值范圍為K1K1KA11X（2）設，3123KXXGXFH112KKX令得或由（1）知，0當時，在R上遞增，顯然不合題意02XXH當時，隨的變化情況如下表H,KK1,K,100X極大值3263極小值2由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需021KFG0XH，即，解得363021KK212K31K綜上，所求的取值范圍為K3根的個數知道，部分根可求或已知。例7、已知函數321FXAXC（1）若是的極值點且F的圖像過原點，求FX的極值；（2）若2GBD，在（1）的條件下，是否存在實數B，使得函數GX的圖像與函數FX的圖像恒有含X的三個不同交點若存在，求出實數B的取值范圍；否則說明理由。高1考1資1源2網解（1）FX的圖像過原點，則，0FC3FA又是的極值點，則312AA0XXFF、237FXF、（2）設函數G的圖像與函數的圖像恒存在含1X的三個不同交點，等價于有含的三個根，即FX1X12FGDB整理得3221B即恒有含的三個不等實根3210XBXBX（計算難點了）有含的根，32110H1X則必可分解為，故用添項配湊法因式分解，H1、3X220BB11X220XBB十字相乘法分解11X1FX21102XBX恒有含的三個不等實根32110XBXB等價于有兩個不等于1的不等實根。2221410B,1,3,B題型二切線的條數問題以切點為未知數的方程的根的個數0X例7、已知函數在點處取得極小值4，使其導數的的取值范圍為，求32FXACX0FX1,3（1）的解析式；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍F1,PMYFM（1）由題意得3,FBAA在上；在上；在上,0,0F因此在處取得極小值FX014，4ABC2FC2760FBC由聯立得，69A3269FXX（2）設切點Q，,TF,YFTT2321969YTXTT過223131TXT21,M26MTT令，90GTM260GTT求得，方程有三個根。,需102312641M故；因此所求實數的范圍為,6題型三已知在給定區間上的極值點個數則有導函數0的根的個數FX解法根分布或判別式法例8、解函數的定義域為（）當M4時，FXX3X210X，R1372X27X10，令，解得或F0FX5,令，解得5可知函數FX的單調遞增區間為和（5，），單調遞減區間為,22,5（）X2M3XM6,要使函數YFX在（1，）有兩個極值點,X2M3XM60F的根在（1，）根分布問題1則，解得M3234601MF例9、已知函數，（1）求的單調區間；（2）令X4F（X）231XAXF0,ARXFG1（XR）有且僅有3個極值點，求A的取值范圍解（1）2F當時，令解得，令解得，0A0XF01X、0XF01XA所以的遞增區間為，遞減區間為XF,A,當時，同理可得的遞增區間為，遞減區間為0AXF10A、,10,A（2）有且僅有3個極值點4321GX0有3個根，則或，231AX2X2方程有兩個非零實根，所以20A240,A或而當或時可證函數有且僅有3個極值點YGX其它例題（一）最值問題與主元變更法的例子已知定義在上的函數在區間上的最大值是5，最小值是11R32FXAXB）（0A2,1（）求函數的解析式；（）若時，恒成立，求實數的取值范圍1,TTF）X解（）322,434FF令0,得X140,1X因為，所以可得下表A2,00,1FX0極大因此必為最大值,因此，0F50）（FB2165,12FAFF即，162AA23X）（），等價于，XXF4320TXF）04T令，則問題就是在上恒成立時，求實數的取值范圍，TGG,TX為此只需，即，01（52解得，所以所求實數的取值范圍是0，10XX（二）根分布與線性規劃例子例已知函數32FABC若函數在時有極值且在函數圖象上的點處的切線與直線平行,求的解析X10,130XYXF式；當在取得極大值且在取得極小值時,設點所在平面區域為S,F0,2X2,1MBA經過原點的直線L將S分為面積比為13的兩部分,求直線L的方程解由,函數在時有極值,2FXAXBF10B1F1C又在處的切線與直線平行,X,30XY故03FB2A7分21FXX解法一由及在取得極大值且在取得極小值,ABFX0,112X即令,則012FF0248MXYBYA故點所在平面區域S為如圖ABC,12AYBX2046XYM易得,0A1B2,C0,1D30,2E2ABCS同時DE為ABC的位線,3DEABES四邊形所求一條直線L的方程為0X另一種情況設不垂直于X軸的直線L也將S分為面積比為13的兩部分,設直線L方程為,它與AC,BC分YKX別交于F、G,則,K1S四邊形DEGF由得點F的橫坐標為20YX21FXK由得點G的橫坐標為46KY64G即OEFDSS四邊形DEGF131221KK2650K解得或舍去故這時直線方程為12K58KYX綜上,所求直線方程為或12分0X12YX解法二由及在取得極大值且在取得極小值,2FABF0,112X即令,則012F48MXYBYA故點所在平面區域S為如圖ABC,AYBX026XY易得,20A1B,C0,1D30,2E2ABCS同時DE為ABC的位線,所求一條直線L的方程為3DEABES四邊形0X另一種情況由于直線BO方程為,設直線BO與AC交于H,12YX由得直線L與AC交點為120YX1,2,ABCS12DECS122HABOHSS所求直線方程為或0X12YX（三）根的個數問題例已知函數的圖象如圖所示。32FABC3ABDA0（）求