2018-2019學(xué)年上海市青浦高級中學(xué)高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1設(shè)集合則A對任意實(shí)數(shù)a，B對任意實(shí)數(shù)a，（2,1）C當(dāng)且僅當(dāng)a0時,（2,1）D當(dāng)且僅當(dāng) 時,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所對應(yīng)的集合，利用集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行求解.詳解：若，則且，即若，則，此命題的逆否命題為：若，則有，故選D.點(diǎn)睛：此題主要結(jié)合充分與必要條件考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，集合法是判斷充分條件與必要條件的一種非常有效的方法，根據(jù)成立時對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷. 設(shè)，若，則；若，則，當(dāng)一個問題從正面思考很難入手時，可以考慮其逆否命題形式.2在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)、變化時，的最大值為（ ）ABCD【答案】C【解析】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過點(diǎn)，則根據(jù)幾何意義得的最大值為.【詳解】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過點(diǎn)，所以的最大值為，選C.【點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化3某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為A1B2C3D4【答案】C【解析】分析：根據(jù)三視圖還原幾何體，利用勾股定理求出棱長，再利用勾股定理逆定理判斷直角三角形的個數(shù).詳解：由三視圖可得四棱錐，在四棱錐中，由勾股定理可知：，則在四棱錐中，直角三角形有：共三個，故選C.點(diǎn)睛：此題考查三視圖相關(guān)知識，解題時可將簡單幾何體放在正方體或長方體中進(jìn)行還原，分析線面、線線垂直關(guān)系，利用勾股定理求出每條棱長，進(jìn)而可進(jìn)行棱長、表面積、體積等相關(guān)問題的求解.4設(shè)的邊上一定點(diǎn)滿足，且對于邊上任一點(diǎn)，恒有，則（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè)，則，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，在上任取一點(diǎn)，設(shè)，則由數(shù)量積的幾何意義可得恒成立，只需即可，由此能求出是等腰三角形，【詳解】設(shè)，則，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，在上任取一點(diǎn)，設(shè)，則由數(shù)量積的幾何意義可得，于是恒成立，整理得恒成立，只需即可，于是，因此，即是的中點(diǎn)，故是等腰三角形，所以故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的運(yùn)算、向量的模及向量的數(shù)量積的概念、向量運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用，考查利用向量解決簡單的幾何問題的能力.二、填空題5已知集合A=x|x|2，B=2，0，1，2，則AB=_【答案】0，1【解析】根據(jù)集合的交運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】因此AB=故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，根據(jù)集合交集的定義是解決本題的關(guān)鍵比較基礎(chǔ)6若函數(shù)，則_【答案】【解析】根據(jù)偶次根式被開方數(shù)大于等于零可求得定義域，取交集得到的定義域，將解析式相加可得所求結(jié)果.【詳解】定義域?yàn)椋海欢x域?yàn)椋旱亩x域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的求解，易錯點(diǎn)是忽略了函數(shù)定義域的要求，造成所求函數(shù)的定義域缺失.7在的二項(xiàng)展開式中,第四項(xiàng)的系數(shù)為_.【答案】【解析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得第四項(xiàng)的系數(shù).【詳解】二項(xiàng)展開式中，第四項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.8某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為_【答案】【解析】分析：先確定總基本事件數(shù)，再從中確定滿足條件的基本事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：從5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，共有10種方法，其中恰好選中2名女生的方法有3種，因此所求概率為點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法（理科）：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.9已知某圓錐體的底面半徑，沿圓錐體的母線把側(cè)面展開后得到一個圓心角為的扇形，則該圓錐體的表面積是 【答案】【解析】試題分析：由已知沿圓錐體的母線把側(cè)面展開后得到的扇形的弧長為，從而其母線長為，從而圓錐體的表面積為；故答案為：【考點(diǎn)】圓錐體的表面積10已知直線與直線,記 ，則D=0是直線與直線平行的_(選填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”)條件.【答案】必要非充分【解析】解求得的值.由此求得的值.由此判斷出充分、必要條件.【詳解】令得，解得或.當(dāng)時，解得.故D=0是直線與直線平行的必要非充分條件.故答案為：必要非充分【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩條直線平行的條件，考查行列式的計(jì)算，考查充分、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.11設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)都成立，則的最小值為_【答案】【解析】根據(jù)題意取最大值，根據(jù)余弦函數(shù)取最大值條件解得的表達(dá)式，進(jìn)而確定其最小值.【詳解】因?yàn)閷θ我獾膶?shí)數(shù)x都成立，所以取最大值，所以，因?yàn)椋援?dāng)時，取最小值為.【點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)（1）.（2）周期（3）由求對稱軸，最大值對應(yīng)自變量滿足，最小值對應(yīng)自變量滿足，（4）由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.12若x，y滿足x+1y2x，則2yx的最小值是_【答案】3【解析】【詳解】分析：作可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)與可行域關(guān)系，確定最小值取法.詳解：作可行域，如圖，平移直線，由圖可知直線過點(diǎn)A(1,2)時，取最小值3.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.13能說明“若對任意的都成立,則在上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是_.【答案】（答案不唯一）【解析】根據(jù)題目所給命題為假命題，構(gòu)造函數(shù)在區(qū)間滿足條件“對任意的都成立”且不是增函數(shù).【詳解】由于原命題是假命題，故存在“對任意的都成立”且不是增函數(shù).設(shè)為二次函數(shù)，則在必須是先增后減，此時只需二次函數(shù)對稱軸滿足，且二次項(xiàng)系數(shù)即可.如.故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14已知橢圓，雙曲線，若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點(diǎn)及橢圓M的兩個焦點(diǎn)恰為一個正六邊形的頂點(diǎn),則橢圓M的焦距與長軸長的比值為_.【答案】【解析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及橢圓的定義求得，由此求得橢圓M的焦距與長軸長的比值（也即離心率）【詳解】由正六邊形的性質(zhì)得橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，根據(jù)橢圓的定義可知，所以橢圓M的焦距與長軸長的比值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的定義，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查正六邊形的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15在中，角所對的邊分別為，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為_【答案】9【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則的最小值為.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.16在實(shí)數(shù)集R中,我們定義的大小關(guān)系“”為全體實(shí)數(shù)排了一個“序”.類似地,我們在復(fù)數(shù)集C上也可以定義一個稱為“序”的關(guān)系,記為“”.定義如下:對于任意兩個復(fù)數(shù)：當(dāng)且僅當(dāng)“”或“”且“”.按上述定義的關(guān)系“”，給出以下四個命題:若,則；若，則；若,則對于任意；對于復(fù)數(shù),若,則.其中所有真命題的序號為_.【答案】【解析】根據(jù)新定義“序”的關(guān)系，對四個命題逐一分析，由此判斷出真命題的序號.【詳解】對于，由于，所以“”或“且”. 當(dāng)，滿足但，所以錯誤.對于，根據(jù)“序”的關(guān)系的定義可知，復(fù)數(shù)的“序”有傳遞性，所以正確.對于，設(shè)，由，所以“”或“且”，可得“”或“且”，即成立，所以正確.對于，當(dāng)時，故錯誤.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義復(fù)數(shù)“序”的關(guān)系的理解和運(yùn)用，考查分析、思考與解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題17已知函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若在區(qū)間上恰好有十個零點(diǎn),求正數(shù)的最小值.【答案】（1）最小正周期為，遞減區(qū)間為；（2）.【解析】（1）利用降次公式、二倍角公式和輔助角公式化簡解析式，進(jìn)而求得的最小正周期和的單調(diào)減區(qū)間.（1）令求得函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合在區(qū)間上恰好有十個零點(diǎn)，求得的最小值.【詳解】（1），所以的最小正周期為.由，解得，所以的遞減區(qū)間為.（2）令，即，即.由于內(nèi)，恰有十個零點(diǎn)，故由得取，恰好個零點(diǎn).當(dāng)時，.所以正數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用二倍角公式、降次公式和輔助角公式進(jìn)行三角恒等變換，考查三角函數(shù)最小正周期、單調(diào)區(qū)間的求法，考查三角函數(shù)零點(diǎn)問題，屬于中檔題.18如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積求得向量的夾角，再根據(jù)向量夾角與異面直線所成角的關(guān)系得結(jié)果；（2）利用平面的方向量的求法列方程組解得平面的一個法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與所求向量夾角之間的關(guān)系得結(jié)果.詳解：如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OBOC，OO1OC，OO1OB，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz因?yàn)锳B=AA1=2，所以（1）因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn)，所以，從而，故因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為（2）因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以，因此，設(shè)n=（x，y，z）為平面AQC1的一個法向量，則即不妨取，設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為，則，所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為點(diǎn)睛：本題考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用空間向量解決問題的能力.利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.19已知拋物線C：=2px經(jīng)過點(diǎn)（1，2）過點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N（）求直線l的斜率的取值范圍；（）設(shè)O為原點(diǎn)，求證：為定值【答案】(1) 取值范圍是（-，-3）（-3，0）（0，1）(2)證明過程見解析【解析】【詳解】分析：（1）先確定p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（2）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，再由，得，利用直線PA，PB的方程分別得點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)，代入化簡可得結(jié)論.詳解：解：（）因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k0）由得依題意，解得k0或0k1又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點(diǎn)（1，-2）從而k-3所以直線l斜率的取值范圍是（-，-3）（-3，0）（0，1）（）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）由（I）知，直線PA的方程為令x=0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為由，得，所以所以為定值點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).20數(shù)列,定義為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列,其中.(1)若,試斷是否是等差數(shù)列,并說明理由；(2)若證明是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)對(2)中的數(shù)列,是否存在等差數(shù)列,使得對一切都成立,若存在,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在,請說明理由.【答案】（1）是等差數(shù)列，理由見解析；（2）證明見解析，；（3）存在，且.【解析】（1）通過計(jì)算證得是等差數(shù)列.（2）根據(jù)，得到，利用湊配法證得是等差數(shù)列,并求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（3）先求得，由此求得，再利用組合數(shù)公式，證得符合要求.【詳解】（1）由于，所以，所以，且.所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.（2）由于，所以，即，兩邊除以得，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故，即.（3）存在，且符合題意.依題意.當(dāng)時，；當(dāng)時，即，而是等差數(shù)列，故只能.下證符合題意.由于，所以根據(jù)組合數(shù)公式有符合題意.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式，考查組合數(shù)公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.21設(shè)n為正整數(shù)，集合A=對于集合A中的任意元素和，記M（）=（）當(dāng)n=3時，若，求M（）和M（）的值；（）當(dāng)n=4時，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素，當(dāng)相同時，M（）是奇數(shù)；當(dāng)不同時，M（）是偶數(shù)求集合B中元素個數(shù)的最大值； （）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素，M（）=0寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由【答案】(1)2,1;(2) 最大值為4;(3) 【解析】【詳解】（），。（）考慮數(shù)