湖南省長郡中學2019屆高三數學下學期第二次模擬考試試題 理（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中.只有一項是符合題目要求的.1.設全集，則 （）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合A中的元素，從而求出A的補集即可或者將分別代入檢驗.【詳解】解法1：，故 ，所以選C.解法2：將分別代入檢驗，可得，故 ，所以選C.【點睛】本題考查了集合的運算，考查不等式解法，是基礎題2.若為第二象限角則復數 （為虛數單位）對應點在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根據復數對應復平面的點，然后判斷對應三角函數的符號即可得到答案.【詳解】解：因為為第二象限角所以，即復數的實部為負數，虛部為正數，所以對應的點在第二象限故選：B【點睛】本題主要考查復數對應的復平面的點的相關概念，難度較小.3.已知等差數列前9項的和為27，則A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】試題分析：由已知，所以故選C.【考點】等差數列及其運算【名師點睛】等差、等比數列各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數列中的運算問題轉化為解關于基本量的方程（組）,因此可以說數列中的絕大部分運算題可看作方程應用題,所以用方程思想解決數列問題是一種行之有效的方法.4.條件，條件，則是的（）A. 充分非必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要的條件【答案】A【解析】試題分析：條件等價于，條件等價于集合，因為，且，所以是的充分不必要條件，即是的充分不必要條件考點：充分必要條件5.設函數，則使成立的的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通過判斷原函數單調性和奇偶性脫離f，建立不等式關系解出即可.【詳解】解：根據題意，函數，則，即函數為偶函數，當時，易得為增函數，則，變形可得：，解可得或，即的取值范圍為故選：D【點睛】本題主要考查函數的單調性，奇偶性以及通過函數性質解不等式問題，難度中等.6.如圖所示，半徑為1的圓是正方形的內切圓，將一顆豆子隨機地扔到正方形內，用表示事件“豆子落在圓內”，表示事件“豆子落在扇形（陰影部分）內”，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用幾何概型先求出，再由條件概率公式求出【詳解】如圖所示，半徑為1的圓O是正方形MNPQ的內切圓，將一顆豆子隨機地扔到正方形MNPQ內，用A表示事件“豆子落在圓O內”，B表示事件“豆子落在扇形陰影部分內”，則，故選：B【點睛】本題考查概率的求法，考查幾何概型、條件概率能等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題7.某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數為A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根據三視圖還原幾何體，利用勾股定理求出棱長，再利用勾股定理逆定理判斷直角三角形的個數.詳解：由三視圖可得四棱錐，在四棱錐中，由勾股定理可知：，則在四棱錐中，直角三角形有：共三個，故選C.點睛：此題考查三視圖相關知識，解題時可將簡單幾何體放在正方體或長方體中進行還原，分析線面、線線垂直關系，利用勾股定理求出每條棱長，進而可進行棱長、表面積、體積等相關問題的求解.8.已知，則的展開式中的系數為（）A. B. 15C. D. 5【答案】D【解析】由題意得，故求的展開式中的系數， 展開式的通項為展開式中的系數為選D9.把函數的圖象向左平移個單位長度，再把所得的圖象上每個點的橫、縱坐標都變為原來的2倍，得到函數的圖象，并且的圖象如圖所示，則的表達式可以為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據條件先求出和，結合函數圖象變換關系進行求解即可【詳解】g（0）2sin1，即sin，或（舍去）則g（x）2sin（x），又當k=1,即g（x）2sin（x），把函數g（x）的圖象上所有點的橫坐標縮短到到原來的，得到y2sin（4x），再把縱坐標縮短到到原來的，得到ysin（4x），再把所得曲線向右平移個單位長度得到函數g（x）的圖象，即g（x）sin（x-）故選：B【點睛】本題主要考查三角函數圖象的應用，根據條件求出 和的值以及利用三角函數圖象平移變換關系是解決本題的關鍵10.已知是雙曲線的左、右焦點，若點關于雙曲線漸近線的對稱點滿足（為坐標原點），則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用對稱求出點的坐標，根據可得，再利用兩點間距離得出關于方程，從而解得漸近線方程.【詳解】解：設因為點關于漸近線的對稱點為，不妨設漸近線方程為，故有，解得，因為，所以，根據兩點間距離可得，即，即，即，即，可得，所以，故漸近線方程為，故選B.【點睛】本題考查了點關于直線對稱點的知識，考查了雙曲線漸近線方程、兩點間距離公式等知識，解題時需要有較強的運算能力.11.電子計算機誕生于20世紀中葉，是人類最偉大的技術發明之一計算機利用二進制存儲信息，其中最基本單位是“位（bit）”，1位只能存放2種不同的信息：0或l，分別通過電路的斷或通實現“字節（Byte）”是更大的存儲單位，因此1字節可存放從至共256種不同的信息將這256個二進制數中，所有恰有相鄰兩位數是1其余各位數均是0的所有數相加，則計算結果用十進制表示為（）A. 254B. 381C. 510D. 765【答案】B【解析】【分析】將符合題意的二進制數列出，轉化為十進制，然后相加得出結果.【詳解】恰有相鄰兩位數是1其余各位數均是0的二進制數為，共個.轉化為十進制并相加得，故選B.【點睛】本小題主要考查二進制轉化為十進制，閱讀與理解能力，屬于基礎題.12.已知函數有唯一零點，則a=A. B. C. D. 1【答案】C【解析】函數的零點滿足，設，則，當時，；當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增，當時，函數取得最小值，為.設，當時，函數取得最小值，為，若，函數與函數沒有交點；若，當時，函數和有一個交點，即，解得.故選C.【名師點睛】利用函數零點的情況求參數的值或取值范圍的方法：（1）利用零點存在性定理構建不等式求解.（2）分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解.（3）轉化為兩個熟悉的函數圖像的上、下關系問題，從而構建不等式求解.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量滿足，且，則在方向上的投影為_【答案】1【解析】【分析】通過向量的數量積及投影的相關概念建立方程即可得到答案.【詳解】解： 向量滿足，且，則在方向上的投影為：故答案為：1【點睛】本題主要考查向量的數量積，及投影的相關概念，難度較小.14.設滿足約束條，則目標函數的最大值為_【答案】4【解析】【分析】畫出不等式表示的平面區域，通過目標函數表示的斜率式觀察圖像即可得到答案.【詳解】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分）目標函數的幾何意義為區域內的動點到定點的斜率，由圖象知的斜率最大，由得，此時的斜率，即的最大值為4故答案為：4【點睛】本題主要考查線性規劃問題，在于考查學生的作圖能力及轉化能力，此題只需將目標函數化為斜率式即可得到答案.15.已知直線與拋物線相交于兩點，為的焦點，若，則_【答案】【解析】【分析】畫出幾何圖像，建立幾何關系，通過建立方程即可得到答案.【詳解】解：由題意利用定義，結合其他幾何性質可得拋物線的焦點，準線又直線過定點，因為，所以為中點，連接，所以設，所以，作，則垂足為的中點，設，則，求得、，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質及學生的計算能力，難度中等.16.某工廠現將一棱長為的正四面體毛坯件切割成一個圓柱體零件，則該圓柱體體積的最大值為_【答案】【解析】【分析】找出正四面體中內接圓柱的最大值的臨界條件，通過體積公式即可得到答案.【詳解】解：圓柱體體積最大時，圓柱的底面圓心為正四面體的底面中心，圓柱的上底面與棱錐側面的交點在側面的中線上正四面體棱長為，設圓柱的底面半徑為，高為，則由三角形相似得：，即，圓柱的體積，當且僅當即時取等號圓柱的最大體積為故答案為：【點睛】本題主要考查學生空間想象能力,以及分析問題的能力，基本不等式的運用,難度較大.三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知分別是的三個內角的對邊，若，角是最小的內角，且（）求的值；（）若的面積為42，求的值【答案】() ;() .【解析】【分析】()由正弦定理，三角形內角和定理可得，結合，整理可得，又，利用同角三角函數基本關系式可求的值 ()由()及三角形的面積公式可求的值，利用同角三角函數基本關系式可求的值，根據余弦定理可求的值【詳解】() 由、，及正弦定理可得：，由于，整理可得：，又，因此得：()由()知，又的面積為42，且，從而有，解得，又角是最小的內角，所以，且，得，由余弦定理得，即【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，同角三角函數基本關系式，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想。18.如圖，在多面體中，平面，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】(1)通過面面垂直的判定轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直從而證明;(2)建立空間直角坐標系，利用法向量計算即可.【詳解】證明：（1）取中點，連結， ，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，又，四邊形是平行四邊形，是等邊三角形，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面平面解：（2）由（1）得平面，又，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，取，得，設平面與平面所成銳二面角的平面角為，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為【點睛】本題主要考查學生的空間想象能力及計算能力,難度不大.建立合適的空間直角坐標系是解決本題的關鍵.19.已知橢圓的離心率為，且過點（）求橢圓的標準方程；（）設為橢圓的左、右頂點，過的右焦點作直線交橢圓于兩點，分別記，的面積為，求的最大值【答案】（）（）4【解析】【分析】（）根據橢圓中相關量的幾何性質即可算出橢圓的標準方程；（）設直線，直曲聯立，得到維達定理，進而表示出相關量，從而算出最大值.【詳解】解：（）根據題意可得：，解得：故橢圓的標準方程為：（）由（）知，當直線的斜率不存在時，于是；當直線斜率存在時，設直線，設，聯立，得，于是當且僅當時等號成立，此時的最大值為4綜上，的最大值為4【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程的相關計算，直線與圓錐曲線的位置關系，以及基本不等式問題,主要考查學生的計算能力和轉化能力.20.某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過的包裹收費10元；重量超過的包裹，除收費10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）需再收5元該公司將最近承攬的100件包裹的重量統計如表：包裹重量（單位：kg）12345包裹件數43301584公司對近60天，每天攬件數量統計如表：包裹件數范圍0100101200201300301400401500包裹件數（近似處理）50150250350450天數6630126以上數據已做近似處理，并將頻率視為概率（1）計算該公司未來3天內恰有2天攬件數在101400之間的概率；（2）估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用目前前臺有工作人員3人，每人每天攬件不超過150件，工資100元公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人，試計算裁員前后公司每日利潤的數學期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤更有利？【答案】(1)；(2)(i)15元；(ii)答案見解析.【解析】試題分析：先計算出包裹件數在之間的天數為，然后得到頻率，估計出概率，運用二項分布求出結果(2)運用公式求出每件包裹收取的快遞費的平均值(3)先將天數轉化為頻率，分別計算出不裁員和裁員兩種情況的利潤，從而作出比較解析：（1）樣本包裹件數在之間的天數為，頻率，故可估計概率為，顯然未來天中，包裹件數在之間的天數服從二項分布，即，故所求概率為.（2）（i）樣本中快遞費用及包裹件數如下表：包裹重量（單位：）快遞費（單位：元）包裹件數故樣本中每件快遞收取的費用的平均值為（元），故該公司對每件快遞收取的費用的平均值可估計為元.（ii）根據題意及（2）（i），攬件數每增加，可使前臺工資和公司利潤增加（元），將題目中的天數轉化為頻率，得包裹件數范圍包裹件數（近似處理）天數頻率若不裁員，則每天可攬件的上限為件，公司每日攬件數情況如下：包裹件數（近似處理）實際攬件數頻率 故公司平均每日利潤的期望值為（元）；若裁員人，則每天可攬件的上限為件，公司每日攬件數情況如下：包裹件數（近似處理）實際攬件數頻率 故公司平均每日利潤的期望值為（元）.因，故公司將前臺工作人員裁員人對提高公司利潤不利.點睛：本題考查了頻率和概率、平均值的實際應用，計算出頻率來估計概率的取值，運用二項分布求出事件概率，在比較裁員與不裁員的情況下分別算出期望值，來比較利潤的大小，從而為作出決策提供依據。21.已知函數（1）若函數有兩個零點，求的取值范圍；（2）證明：當時，關于的不等式在上恒成立【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）可得m=lnx-x令g（x）=lnx-x，可得g（x）在（0，1）單調遞增，在（1，+）單調遞減，則mg（1）=-1即可，（2）f（x）+（x-2）ex0，可得m（x-2）ex+lnx-x設h（x）=（x-2）ex+lnx-x，x，；，設設，使得，即，x0=-lnx0，設，可得，即當時，即可【詳解】（1）令，；令， 令，解得，令，解得， 則函數在上單點遞增，在上單點遞減，。要使函數有兩個零點，則函數的圖像與有兩個不同的交點。則，即實數的取值范圍為。 （2），；設，； 設，則在上單調遞增. 又，.，使得，即，. 當時，；當時，； 在上單調遞增，在上單調遞減. .設，.當時，恒成立，則在上單調遞增，即當時，. 當時，關于的不等式在上恒成立.【點睛】本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查函數的零點，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題請考生在22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做第一個題目計分.選修4-4：坐標系與參數方程22.在平面直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為；直線的參數方程為 （為參數），直線與曲線分別交于兩點（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若點的極坐標為，求的值【答案】(1) 曲線的直角坐標方程為即，直線的普通方程為；（2）.【解析】【分析】（1）利用代入法消去參數方程中的參數，可得直線的普通方程，極坐標方程兩邊同乘以