三角形常數變形及其應用一、課程要求：1.為了進一步理解矢量法的作用，我們經歷了用矢量的乘積推導兩個角差的余弦公式的過程。2.兩個角的和與差的正弦、余弦和正切公式，以及兩個角的正弦、余弦和正切公式可以從兩個角的差的余弦公式中推導出來，以了解它們的內在聯系；3.上述公式可用于簡單的常數變換(包括導出積和差、和差積和半角公式，但不需要記憶)。二。命題趨勢從近年來高考的方向來看，這部分高考試題有更多的選擇和回答問題的機會，有時以填空題的形式出現。它們通常與三角函數、解三角形和向量的性質結合在一起。主要問題是三角函數的求值，通過三角變換研究三角函數的性質。這次講座的內容是高考復習的重點之一。三角函數的簡化和求值以及三角恒等式的證明是三角變換的基本問題。在多年的高考中，在觀察三角公式的掌握和應用的同時，也注重思維的靈活性和發散性，以及觀察、計算和觀察、計算和推理以及綜合分析的能力。三。要點1.兩個角的和與差的三角函數；2.雙角度公式；3.三角函數的簡化常用方法：直接應用公式進行降階和消項；(2)切串，同音異義，異角化為同一個角度；(3)三角公式的逆等。(2)簡化要求：應獲得可獲得的值；(2)使三角函數的數量盡可能少；(3)盡量減少物品的數量；(4)嘗試從分母中排除三角函數；嘗試將三角函數從要打開的方塊數中排除。(1)功率降低公式；(2)輔助角度公式,4.三角函數有三種評估方式(1)角度評估：一般來說，給定的角度都是非特殊角度。要觀察給定角度和特殊角度之間的關系，用三角變換消除非特殊角度，并轉化為特殊角度的三角函數值問題。(2)取值：給出某些角度的三角函數公式的值，求出其他角度的三角函數值。解決問題的關鍵在于“改變角度”，如等。用包含已知角度的公式來表示得到的角度，在解決問題時注意角度范圍的討論；(3)從給定值尋找角度：本質上，它轉化為“給定值的評估”問題。通過將獲得的角度的函數值與角度的范圍和函數的單調性相結合來找到角度。5.三角形方程的證明(1)根據方程兩端的特點，三角恒等式的證明思想是通過三角恒等式變換、乘法簡化、左右恒等式等手段，將方程兩端的“差”變為“同”。(2)證明三角條件方程的思想是通過觀察找到已知條件與待證明方程之間的關系，并通過代換法、參數消去法或分析法進行證明。四.典型案例分析問題1:兩個角的和與差的三角函數案例1。眾所周知，因為。分析：由于它可以看作是雙角度的，所以可以得到以下兩個解。解決方案1:從已知的罪sin=1.，cos=0， 2 2得到22個cos科斯. cos 2 cos 2 cos ()=-1代表2-2，那是2co()=-1。解決方案2:獲取.3來自從(2)到(4)(4) (3)注釋：這個問題是給出一個單角度的三角函數方程，并求出一個復角度的余弦值。用方程求解正弦、余弦、正弦和余弦很容易出錯。然而，有四個未知數。顯然，前景并不樂觀。錯誤的原因在于沒有注意到德備注：(1)本例中的解決方案2比解決方案1簡單。一個好的解決方案來自于一個系統結構，它巧妙地掌握知識，從而找到知識的“最近發展區”來解決這個問題。(2)使用三角函數和差角公式的關鍵是記憶公式。我們不僅要記住公式，還要掌握公式的特點，如角度、時間、三角函數名之間的關系等。掌握公式的結構特征對提高記憶公式的效率起著至關重要的作用。此外，掌握公式的結構特征有助于觀察三角函數公式中相似性的結構特征，如解析問題的設置和結論等。解決問題時，關聯相應的公式，找到解決問題的突破點。(3)公式與公式的逆，變量形式也應熟悉，如問題2:雙角度公式例3。簡化以下類型：(1)，(2 ).分析：(1)如果注意到簡化公式是平方根和2及其范圍，就不難找到解決問題的突破口；(2)由于分子是平方方差，即分母中的角度，如果你注意這兩個特征，就不難找到解決問題的起點。分析：(1)因為，因為，因此，原始形式=。(2)原始公式=.備注：(1)在雙角度公式中，兩個角度的倍數關系不限于兩次。我們應該熟悉各種形式的兩個角度的多重關系。同時，我們也要注意三個角度的內在聯系，這是一個常見的三角變換。(2)要簡化一個問題，必須找到一個突破點。其中，減少順序，消除元，切割字符串，改變名稱為同一個名字，改變角落為同一個角度是常用的簡化技術。(3)公式變形。如果。分析：對于提到的兩個轉換，有以下兩個解決方案。解決方案1:通過，解決方案2:注釋：如果這個問題的左側被展開，再次找到cosx和sinx的值，這是非常復雜的。注意角度的變化。2使用雙角度公式，問題將很難解決，并將被簡化。因此，在用條件解決評價問題時，應該善于發現三角函數的角度與已知條件下的角度之間的聯系。一般的方法是拼出角度并分割角度。例如，,等等。問題3:輔助角度公式例5。已知正實數a、b滿足。分析：從方程的角度來看，如果方程左側的分子和分母同時除以A，則已知的方程可以轉化為一個公式，從而得到該公式。如果注意到方程左側分子和分母的結構，可以考慮用輔助角來求解。解決方案1:由問題決定解決方案2:解決方案3:注釋：在上述解決方案中，方法一使用了集中變量的思想，是一個基本的解決方案。解決方案2通過模式關聯引入輔助角度，這更為巧妙，但是輔助角度的公式，或這些年在高考中使用的頻率相當高，應該引起注意。解決方案3使用替代方法，但它實際上是對解決方案1和解決方案2的優點的全面理解，因此解決方案3是最好的。例6。已知函數y=cos2x sinxcosx 1，x r。(1)當函數y獲得最大值時，尋找自變量x的集合；(2)從y=sinx (x r)的像中可以得到這個函數的像是什么樣的平移和展開變換？(原因)(1)分析：y=cos2x sinxcosx 1=(2cos2x-1)+(2sinxcosx)+1=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+由y獲得的最大值必須且僅需要2x=2k，kZ，即x=k，k z。所以當函數y得到最大值時，獨立變量x的集合是x | x=k，k z。(2)函數y=sinx按如下順序變換：(1)向左移動函數y=sinx的圖像以獲得函數y=sin (x)的圖像；(2)將獲得的圖像上的每個點的橫坐標縮短到原始時間(縱坐標不變)以獲得函數y=sin(2x)；(3)將獲得的圖像上每個點的縱坐標縮短到原始時間(橫坐標不變)t(1)當函數y獲得最大值時，尋找自變量x的集合；(2)從y=sinx (x r)的像中可以得到這個函數的像是什么樣的平移和展開變換？分析：(1)y=sinx cosx=2(sinx cos xsin)=2 sin(x)，xR必須獲得y的最大值，并且只有x=2k，kZ，即x=2k，k z。因此，當函數y獲得最大值時，獨立變量x的集合是x | x=2k，k z(2)轉化步驟是：(1)向左移動函數y=sinx的圖像以獲得函數y=sin (x)的圖像；(2)使獲得的圖像上每個點的橫坐標不變，并把縱坐標擴展到原來的兩倍，得到函數y=英寸(x)的圖像。在這種變換之后，獲得函數y=sinx cosx的圖像。備注：本課題主要考察三角函數的圖像和性質，并利用三角公式進行恒定變形的技巧和計算能力。問題4:三角函數的簡化例7。查找sin220 cos250 sin20cos50的值。分析：原公式=(1-cos 40)(1 cos 100)(sin 70-sin 30)=1+(cos100-cos40)+sin70-=-sin70sin30+sin70=-sin70+sin70=.評論：本主題研究三角恒等式和計算能力。例8。已知功能。有待確定的領域；(二)設定第四象限的角度，并計算數值。分析：(一)通過，所以在這個領域里(ii)因為，并且是第四象限的拐角，因此因此。問題5:三角函數評估例9。設f(x)=cos2cos sinrcosx a(其中 0，ar)，f(x)圖像y軸右側第一個高點的橫坐標為。求的值；(ii)如果間隔中f(x)的最小值為，則求a的值。分析：(一)根據主題。(二)從(一)可知，因此，在那時，間隔中的最小值是，因此例10。求函數=2的取值范圍和最小正周期。分析：y=cos(x)cos(x-)sin2x=cos2xsin2x=2s in(2x)。函數y=cos (x) cos (x-) sin2x的取值范圍是-2，2，最小正周期是。問題6:三角函數綜合例11。已知向量(一)如果找到(二)中的最大值。分析：(1)；當=1時，有一個最大值。此時，最大值為。備注：本主題主要考察以下知識點：1 .向量被垂直轉換成0的數量乘積；2、特殊角度的三角函數值；3.三角函數的基本關系和三角函數的有界性：4.已知向量的坐標表示難度中等，并且需要很少的計算。例12。假設曲線x2sin y2cos=1和X2COS -Y2SIN =1有4個不同的交點。(1)找出的取值范圍；(2)證明四個交點是圓的，并求出圓半徑的取值范圍。分析：(1)求解方程得到；因此，兩條已知曲線有四個不同交點的充要條件是，(0)0。(2)如果四個交點的坐標是(xi，yi) (I=1，2，3，4)，那么：xi2 yi2=2cos (2) (I=1，2，3，4)。因此，四個交點是圓的，并且這個圓的半徑r是r=cos)。備注：本主題重點考察解方程方法在處理曲線相交時的應用，這也是曲線和方程的基本方法。同時，這個題目也突出了三角不等式的檢驗。問題7:三角函數的應用例13。有一個半徑為R、中心角為60的扇形鐵板。下一個內接矩形從該扇形中切割出來，即矩形的每個頂點都在扇形的半徑或圓弧上，并且計算該內接矩形的最大面積。分析：從這個話題開始，我們應該解決兩個問題。(1)放置內接矩形有兩種情況，如圖2-19所示，應分別處理。(2)為了找到最大值，我們應該在這里構造一個函數，并說明如何選擇便于表