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求數(shù)列前n項和的8種常用方法一.公式法(定義法):1.等差數(shù)列求和公式:特別地,當(dāng)前項的個數(shù)為奇數(shù)時,即前項和為中間項乘以項數(shù)。這個公式在很多時候可以簡化運算;2.等比數(shù)列求和公式:(1),;(2),特別要注意對公比的討論;3.可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列;4.常用公式:(1);(2);(3);(4).例1 已知,求的前項和.解:由由等比數(shù)列求和公式得 1例2 設(shè),,求的最大值.解:易知 , 當(dāng) ,即時,.二.倒序相加法:如果一個數(shù)列,與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數(shù),那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法。如:等差數(shù)列的前項和即是用此法推導(dǎo)的,就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序),再把它與原數(shù)列相加,就可以得到個.例3 求的值解:設(shè)將式右邊反序得 (反序) 又因為 +得 (反序相加)89 S44.5三.錯位相減法:適用于差比數(shù)列(如果等差,等比,那么叫做差比數(shù)列)即把每一項都乘以的公比,向后錯一項,再對應(yīng)同次項相減,即可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.如:等比數(shù)列的前項和就是用此法推導(dǎo)的. 例5 求和:解:由題可知,的通項是等差數(shù)列的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè) (設(shè)制錯位)得 (錯位相減)即: 變式 求數(shù)列前項的和.解:由題可知,的通項是等差數(shù)列的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè) (設(shè)制錯位)得, (錯位相減) 四.裂項相消法:即把每一項都拆成正負(fù)兩項,使其正負(fù)抵消,只余有限幾項,可求和。這是分解與組合思想(分是為了更好地合)在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的. 適用于,其中是各項不為0的等差數(shù)列,c為常數(shù);部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。其基本方法是.常見裂項公式:(1),;(的公差為);(2).(根式在分母上時可考慮利用分母有理化,因式相消求和);(3);(4);(5);(6);(7);(8)常見放縮公式:.例6 求數(shù)列的前項和.解:設(shè) (裂項)則 (裂項求和) 例7 求和.例8 在數(shù)列中,又,求數(shù)列的前項的和.解: (裂項) 數(shù)列的前項和 (裂項求和) 例9 求證:解:設(shè) (裂項) (裂項求和) 原等式成立變式 求.解:五.分組求和法: 有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列, 可把數(shù)列的每一項分成多個項或把數(shù)列的項重新組合,使其轉(zhuǎn)化成常見的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可.例11 求數(shù)列的前項和:,解:設(shè)將其每一項拆開再重新組合得 (分組)當(dāng)a1時, (分組求和)當(dāng)時,.例12 求數(shù)列的前項和.解:設(shè) 將其每一項拆開再重新組合得 (分組) (分組求和)變式 求數(shù)列的前項和.解: 六.并項求和法:在數(shù)列求和過程中,將某些項分組合并后即可轉(zhuǎn)化為具有某種特殊的性質(zhì)的特殊數(shù)列,可將這些項放在一起先求和,最后再將它們求和,則稱之為并項求和.形如類型,可采用兩項合并求.利用該法時要特別注意有時要對所分項數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)進行討論.例13 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解:設(shè)Sn cos1+ cos2+ cos3+.+ cos178+ cos179 (找特殊性質(zhì)項)Sn (cos1+ cos179)+( cos2+ cos178)+ (cos3+ cos177)+(cos89+ cos91)+ cos90 (合并求和) 0例14 數(shù)列:,求.解:設(shè)由可得 (找特殊性質(zhì)項) (合并求和)5例15 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若的值.解:設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) (找特殊性質(zhì)項)和對數(shù)的運算性質(zhì) 得 (合并求和) 10七.利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析,找出數(shù)列的通項及其特征,然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前項和,是一個重要的方法.例16 求之和.解:由于 (找通項及特征) (分組求和) 例17 已知數(shù)列:的值.解: (找通項及特征) (設(shè)制分組) (裂項) (分組、裂項求和) 變式 求的前項和.解:以上七種方法雖然各有其特點,但總的原則是
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