2020版高三數學一輪精品復習學案：函數、導數及其應用2.2函數的單調性【高考目標導航】一、考綱點擊1理解函數的單調性、最大值、最小值及其幾何意義 2會運用函數圖象理解和研究函數的單調性、最值。二、熱點、難點提示1利用函數的單調性求單調區間、比較大小、解不等式、求變量的取值是歷年高考考查的熱點；2利用函數的單調性求最值，及利用它們求參數取值范圍問題是重點，也是難點；3題型以選擇題和填空題為主，與導數知識點交匯時則以解答題的形式出現?！究季V知識梳理】一、函數的單調性（1）單調函數的定義增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1,x2，改變量x= x2- x10當x1 x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是增函數當x1f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是增函數圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的（2）單調區間的定義若函數f(x)在區間D上是增函數或減函數，則稱函數f(x)在這一區間上具有（嚴格的）單調性，區間D叫做f(x)的單調區間。注：單調區間是定義域的子區間函數的單調性反映在圖象上是在某一區間上是上升的或下降的；而最大（小）值反映在圖象上為其最高（低）點的縱坐標的值。二、函數的最值前提設函數f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足條件 對于任意xI，都有f(x)M 存在xI，使得f(x)=M 對于任意xI，都有f(x)M 存在xI，使得f(x)=M結論M為最大值M為最小值注：函數的最小值與最大值分別是函數值域中的最小元素與最大元素；任何一個函數，其值域必定存在，但其最值不一定存在。相關提示：函數的單調區間與該函數定義域間的關系函數的單調區間是該函數定義域的子集；函數的定義域不一定是函數的單調區間。一個函數在定義域內的單調性與在某幾個子區間上的單調性的關系如果一個函數在定義域內的某幾個子區間上都是增（減）函數，不能說這個函數在定義域上是增（減）函數，如函數相同單調性函數的和、差、積、商函數的單調性兩個增（減）函數的和函數仍是增（減）函數，但兩個增函數的差、積、商的函數單調性不確定，同樣兩個減函數的差、積、商的函數單調性也不確定。奇函數在對稱區間上的單調性奇函數在對稱區間上的單調性相同；偶函數在對稱區間上的單調性相反。因此，具有奇偶性的函數的單調性的研究，只需研究對稱區間上的單調性。求函數單調性解題策略第一， 看函數的類型，如果是基本函數，常常記住函數的單調區間；第二， 如果是復雜函數，常常利用導數進行研究；第三， 如果是抽象函數，常常利用定義解決，或者借助圖象，或者用具體函數代替處理?！疽c名師透析】一、函數單調性的判定1、用定義證明函數單調性的一般步驟，即：（1）取值：即設x1、x2是該區間內的任意兩個值，且x10且2x0 的定義域為 判斷在上是增函數，下證明之：1分設任2分3分 x2x10，2x10，2x20則4分用數學歸納法易證 證略. 12分二、復合函數的單調性1求復合函數y=f(g(x)的單調區間的步驟（1）確定定義域；（2）將復合函數分解成基本初等函數：y=f(u),u=g(x).（3）分別確定這兩個函數的單調區間；（4）按“同增異減”的原則，確定原函數的單調區間。注：求函數單調區間時，易忽略函數的定義域。2例題解析例1判斷函數的單調區間.思路分析：利用復合函數單調性的判斷方法求解解答：y=，例2（1）求函數的單調區間；（2）已知若試確定的單調區間和單調性。解：（1）函數的定義域為，分解基本函數為、顯然在上是單調遞減的，而在上分別是單調遞減和單調遞增的。根據復合函數的單調性的規則：所以函數在上分別單調遞增、單調遞減。（2）解法一：函數的定義域為R，分解基本函數為和。顯然在上是單調遞減的，上單調遞增；而在上分別是單調遞增和單調遞減的。且，根據復合函數的單調性的規則：所以函數的單調增區間為；單調減區間為。解法二：， 令 ，得或，令 ，或單調增區間為；單調減區間為。注：判定復合函數的單調性及確定單調區間,關鍵是把復合函數分解成已知單調性的初等函數.另外，注意不要忽略函數的定義域.三、抽象函數的單調性及最值例1已知f(x)是定義在R上的增函數，對xR有f(x)0，且f(5)=1，設F(x)= f(x)+，討論F (x)的單調性，并證明你的結論解析：這是抽角函數的單調性問題，應該用單調性定義解決。在R上任取x1、x2，設x1x2，f(x2)= f(x1)， f(x)是R上的增函數，且f(10)=1，當x10時0 f(x)10時f(x)1； 若x1x25，則0f(x1)f(x2)1， 0 f(x1)f(x2)1，0， F (x2)x15，則f(x2)f(x1)1 ，f(x1)f(x2)10 F(x2) F (x1)綜上，F (x)在（，5）為減函數，在（5，+）為增函數注：對于抽象函數的單調性的判斷仍然要緊扣單調性的定義，結合題目中所給性質和相應的條件，對任意x1、x2在所給區間內比較f(x2)-f(x1)與0的大小，或f(x1)/ f(x2)與大小。有時根據需要，需作適當的變形：如例2已知函數f(x)對于任意x，yR,總有f(x)+f(y)=f(x+y)，且當x0時，f(x)0,f(1)=.(1)求證：f(x)在R上是減函數；(2) 求f(x)在-3，3上的最大值和最小值思路分析：用定義法判斷抽象函數的單調性；求函數的最值需借助函數的單調性進行。解答：(1)方法一：函數f(x)對于任意x，yR，總有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0，得f(0)=0再令y=-x，得f(-x)=-f(x)在R上任取x1x2，則x=x1-x20，y=f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(x),又x0時，f(x)0而x0，f(x)0，即y0,y=f(x1)-f(x2) =f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)=f(x)又x0時，f(x)0，而x0，f(x)0，即y0），雨速沿E移動方向的分速度為c（c，E移動時單位時間內的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設其值與|v-c|成正比，比例系數為；（2）其他面的淋雨量之和，其值為.記y為E移動過程中的總淋雨量.當移動距離d=100，面積S=時，（）寫出y的表達式；（）設0v試根據c的不同取值范圍，確定移動速度v，使總淋雨量y最少.【思路點撥】本題考查學生運用知識的能力，重點考查學生的以下能力：一是閱讀能力.二是轉化能力.三是表達能力.能否把文字語言轉化為符號語言的理解能力.四是解題能力.本題主要考查學生的閱讀能力和建模能力和運算能力，閱讀后建立函數模型是關鍵.【精講精析】（I）由題意知，E移動時單位時間內的淋雨量為，故.（II）由(I)知，當時，當時，故.(1)當時，是關于的減函數.故當時，.(2) 當時，在上，是關于的減函數；在上，是關于的增函數；故當時，.5. （2020重慶理數）(5) 函數的圖象A. 關于原點對稱 B. 關于直線y=x對稱 C. 關于x軸對稱 D. 關于y軸對稱解析： 是偶函數，圖像關于y軸對稱6. （2020北京文數）(6)給定函數，期中在區間（0，1）上單調遞減的函數序號是（A） （B） （C） （D）答案：B7. （2020江蘇卷）11、已知函數,則滿足不等式的x的范圍是_。解析 考查分段函數的單調性。8. （2020安徽文數）20.（本小題滿分12分）設函數，求函數的單調區間與極值?！久}意圖】本題考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性與極值的方法，考查綜合應用數學知識解決問題的能力.【解題指導】（1）對函數求導，對導函數用輔助角公式變形，利用導數等于0得極值點，通過列表的方法考查極值點的兩側導數的正負，判斷區間的單調性，求極值.【思維總結】對于函數解答題，一般情況下都是利用導數來研究單調性或極值，利用導數為0得可能的極值點，通過列表得每個區間導數的正負判斷函數的單調性，進而得出極值點.【考點精題精練】一、選擇題1(2020哈爾濱模擬)已知函數是(-,+)上的減函數，則a的取值范圍是( )(A)(0,3) (B)(0,3 (C)(0,2) (D)(0,2【解析】選D.f(x)為減函數,解得0a2.2(2020濟南模擬)定義新運算“”：當ab時,ab=a;當ab時,ab=b2,則函數f(x)=(1x)x-(2x),x-2,2的最大值等于( )(A)-1 (B)1 (C)6 (D)12【解析】選C.當-2x1時,f(x)= (1x)x-(2x)=1x-2=x-2,此時-4f(x)-1,當1x2時,f(x)=x2x-2=x3-2,此時-1f(x)6,綜上可知-4f(x)6,f(x)max=6.3（2020青島模擬）已知函數f(x)=ax+logax（a0且a1）在1，2上的最大值與最小值之和為loga2+6，則a的值為( )（A） （B） （C）2 （D）4【解析】選C函數f(x)=ax+logax(a0且a1)在1，2上具有單調性，因此最大值與最小值之和為a+a2+loga2=loga2+6，解得a=2,故選C4（2020廣州模擬）下列函數f(x)中，滿足“對任意x1,x2(-,0),當x1x2時，都有f(x1)f(x2)”的函數是( )(A)f(x)=-x+1 (B)f(x)=x2-1(C)f(x)=2x (D)f(x)=ln(-x)【解析】選C.f(x)=-x+1在(-,0)上為減函數，A選項錯誤;f(x)=x2-1的圖象開口向上，對稱軸為x=0,該函數在(-,0)為減函數，B選項錯誤；f(x)=2x在R上是增函數,f(x)=2x在（-,0）上也是增函數，C選項正確;y=ln(-x)在(-,0)上為減函數，D選項錯誤.5已知關于x的函數y=loga(2-ax)在0，1上是減函數，則a的取值范圍是( )（A）（0，1） （B）（1，2） （C）（0，2） （D）2，）【解析】選B依題意a0且a1，所以2-ax在0,1上遞減，因此，解得1a2,故選B6（2020屆長沙市一中高三月考（文）函數的最大值是（ ）A BC D答案：D7已知函數f(x)是R上的增函數，A(0，1)、B(3，1)是其圖象上的兩點，那么不等式 |f(x1)|1的解集的補集是（ ） A(1，2) B(1，4) C(，1)4，） D(，1)2，）答案：D8（2020屆江西吉安一中高三開學模擬（理）已知偶函數f(x)在區間0，+）單調遞增，則滿足f(2x-1)a,則實數a的取值范圍是( )（A）(-,-3) （B）(-,-1)（C）(1,+) （D）(0,1)【解析】選B.當a0時,f(a)a,a-1a,a-3(不合題意,舍去)當aa, a,解得:a-1.故a的取值范圍是(-,-1).11（2020屆湖北省監利一中學高三8月月考（文）定義在R上的偶函數，在上是增函數，則（ ）A B . C D.答案：C12定義在R上的函數y=f(x)在(，2)上是增函數，且y=f(x2)圖象的對稱軸是x=0，則（ ）Af(1)f(3)Bf (0)f(3) Cf (1)=f (3) Df(2)f(3)答案：A二、填空題1、已知奇函數f(x)在定義域(-1，1)內單調遞減，則滿足f(1-a)+f(1-a2)0的實數a的取值范圍為_.【解析】函數f(x)是奇函數，f(-x)=-f(x)，又f(1-a)+f(1-a2)0,f(1-a)-f(1-a2)，即f(1-a)f(a2-1).函數f(x)在定義域(-1，1)內單調遞減，11-aa2-1-1，解得0a1，故a的取值范圍為(0，1).答案：(0，1)2、若f(x)=x2-2(1-a)x+2在(-,4上是減函數，則實數a的取值范圍是_.【解析】由已知得1-a4，解得a-3.答案:(-,-33、設是上的減函數，則的單調遞減區間為 .答案：4、若f(x)=在（-1，+）上滿足對任意x1x2，都有f(x1)f(x2)，則a的取值范圍是_【解析】f(x)= =2+，中心為（-a,2)，由題設知f(x)在(-1,+)上是減函數，故得1a答案: 1a三、解答題1、已知f(x)是定