.中考二次函數壓軸題（共23道題目）一選擇題（共10小題）1如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象經過點（1，2）且與x軸交點的橫坐標分別為x1，x2，其中1x10，1x22，下列結論：4a+2b+c0，2a+b0，b2+8a4ac，a1，其中結論正確的有（）A1個B2個C3個D4個2如圖是某二次函數的圖象，將其向左平移2個單位后的圖象的函數解析式為y=ax2+bx+c（a0），則下列結論中正確的有（）（1）a0；（2）c0；（3）2ab=0；（4）a+b+c0A1個B2個C3個D4個3已知二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖，在下列代數式中（1）a+b+c0；（2）4ab2a（3）abc0；（4）5ab+2c0； 其中正確的個數為（）A1個B2個C3個D4個4已知點（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都在拋物線y=x2+bx上，x1、x2、x3為ABC的三邊，且x1x2x3，若對所有的正整數x1、x2、x3都滿足y1y2y3，則b的取值范圍是（）Ab2Bb3Cb4Db55如圖，點A（m，n）是一次函數y=2x的圖象上的任意一點，AB垂直于x軸，垂足為B，那么三角形ABO的面積S關于m的函數關系的圖象大致為（）ABCD6拋物線y=ax2+bx+c的圖象經過原點和第一、二、三象限，那么下列結論成立的是（）Aa0，b0，c=0Ba0，b0，c=0Ca0，b0，c=0Da0，b0，c=07已知拋物線y=x2（4m+1）x+2m1與x軸交于兩點，如果有一個交點的橫坐標大于2，另一個交點的橫坐標小于2，并且拋物線與y軸的交點在點（0，）的下方，那么m的取值范圍是（）ABCD全體實數8函數y=與y=kx2+k（k0）在同一直角坐標系中的圖象可能是（）ABCD9已知拋物線y=x2+bx+c（c0）經過點（c，0），以該拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S，則S可表示為（）A|2+b|b+1|Bc（1c）C（b+1）2D10下列關于函數y=（m21）x2（3m1）x+2的圖象與坐標軸的公共點情況：當m3時，有三個公共點；m=3時，只有兩個公共點；若只有兩個公共點，則m=3；若有三個公共點，則m3其中描述正確的有（）個A一個B兩個C三個D四個二填空題（共10小題）11已知：如圖，過原點的拋物線的頂點為M（2，4），與x軸負半軸交于點A，對稱軸與x軸交于點B，點P是拋物線上一個動點，過點P作PQMA于點Q（1）拋物線解析式為 （2）若MPQ與MAB相似，則滿足條件的點P的坐標為 12將拋物線y=x22向左平移3個單位，所得拋物線的函數表達式為 13如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使CM=|CEEO|，再以CM、CO為邊作矩形CMNO令m=，則m= ；又若CO=1，CE=，Q為AE上一點且QF=，拋物線y=mx2+bx+c經過C、Q兩點，則拋物線與邊AB的交點坐標是 15在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（0，1）、（4，2）、（2，6）如果P（x，y）是ABC圍成的區域（含邊界）上的點，那么當w=xy取得最大值時，點P的坐標是 16如圖為二次函數y=ax2+bx+c的圖象，在下列結論中：ac0；方程ax2+bx+c=0的根是x1=1，x2=5；a+b+c0；當x2時，y隨著x的增大而增大正確的結論有 （請寫出所有正確結論的序號）17已知當x1=a，x2=b，x3=c時，二次函數y=x2+mx對應的函數值分別為y1，y2，y3，若正整數a，b，c恰好是一個三角形的三邊長，且當abc時，都有y1y2y3，則實數m的取值范圍是 18如圖，已知一動圓的圓心P在拋物線y=x23x+3上運動若P半徑為1，點P的坐標為（m，n），當P與x軸相交時，點P的橫坐標m的取值范圍是 19如圖，四邊形ABCD是矩形，A、B兩點在x軸的正半軸上，C、D兩點在拋物線y=x2+6x上設OA=m（0m3），矩形ABCD的周長為l，則l與m的函數解析式為 20若二次函數y=ax2+bx+c的頂點在第一象限，且經過點（0，1），（1，0），則y=a+b+c的取值范圍是 三解答題（共4小題）21已知拋物線y=ax22x+c與x軸交于A（1，0）、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為x=1，頂點為E，直線y=x+1交y軸于點D（1）求拋物線的解析式；（2）求證：BCEBOD；（3）點P是拋物線上的一個動點，當點P運動到什么位置時，BDP的面積等于BOE的面積？22如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PCx軸于點D，交拋物線于點C（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求PAC為直角三角形時點P的坐標23已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸的交點是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點是C（1）求拋物線的函數表達式；（2）設P（x，y）（0x6）是拋物線上的動點，過點P作PQy軸交直線BC于點Q當x取何值時，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少？是否存在這樣的點P，使OAQ為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由24如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標軸的正半軸上，BCx軸，OA=OC=4，以直線x=1為對稱軸的拋物線過A，B，C三點（1）求該拋物線的函數解析式；（2）已知直線l的解析式為y=x+m，它與x軸交于點G，在梯形ABCO的一邊上取點P當m=0時，如圖1，點P是拋物線對稱軸與BC的交點，過點P作PH直線l于點H，連結OP，試求OPH的面積；當m=3時，過點P分別作x軸、直線l的垂線，垂足為點E，F是否存在這樣的點P，使以P，E，F為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由二次函數壓軸題（共24道題目）參考答案與試題解析一選擇題（共10小題）1如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象經過點（1，2）且與x軸交點的橫坐標分別為x1，x2，其中1x10，1x22，下列結論：4a+2b+c0，2a+b0，b2+8a4ac，a1，其中結論正確的有（）A1個B2個C3個D4個【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷【解答】解：由拋物線的開口向下知a0，與y軸的交點為在y軸的正半軸上，得c0，對稱軸為x=1，a0，2a+b0，而拋物線與x軸有兩個交點，b24ac0，當x=2時，y=4a+2b+c0，當x=1時，a+b+c=22，4acb28a，b2+8a4ac，a+b+c=2，則2a+2b+2c=4，4a+2b+c0，ab+c0由，得到2a+2c2，由，得到2ac4，4a2c8，上面兩個相加得到6a6，a1故選：D2如圖是某二次函數的圖象，將其向左平移2個單位后的圖象的函數解析式為y=ax2+bx+c（a0），則下列結論中正確的有（）（1）a0；（2）c0；（3）2ab=0；（4）a+b+c0A1個B2個C3個D4個【分析】如圖是y=ax2+bx+c的圖象，根據開口方向向上知道a0，又由與y軸的交點為在y軸的負半軸上得到c0，由對稱軸x=1，可以得到2ab=0，又當x=1時，可以判斷a+b+c的值由此可以判定所有結論正確與否【解答】解：（1）將其向左平移2個單位后的圖象的函數解析式為y=ax2+bx+c（a0）（如虛線部分），y=ax2+bx+c的對稱軸為：直線x=1；開口方向向上，a0，故正確；（2）與y軸的交點為在y軸的負半軸上c0，故正確；（3）對稱軸x=1，2ab=0，故正確；（4）當x=1時，y=a+b+c0，故正確故選：D3已知二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖，在下列代數式中（1）a+b+c0；（2）4ab2a（3）abc0；（4）5ab+2c0； 其中正確的個數為（）A1個B2個C3個D4個【分析】由拋物線開口向上得到a大于0，再由對稱軸在y軸右側得到a與b異號，即b小于0，由拋物線與y軸交于正半軸，得到c大于0，可得出abc的符合，對于（3）作出判斷；由x=1時對應的函數值小于0，將x=1代入二次函數解析式得到a+b+c小于0，（1）錯誤；根據對稱軸在1和2之間，利用對稱軸公式列出不等式，由a大于0，得到2a小于0，在不等式兩邊同時乘以2a，不等號方向改變，可得出不等式，對（2）作出判斷；由x=1時對應的函數值大于0，將x=1代入二次函數解析式得到ab+c大于0，又4a大于0，c大于0，可得出ab+c+4a+c大于0，合并后得到（4）正確，綜上，即可得到正確的個數【解答】解：由圖形可知：拋物線開口向上，與y軸交點在正半軸，a0，b0，c0，即abc0，故（3）錯誤；又x=1時，對應的函數值小于0，故將x=1代入得：a+b+c0，故（1）錯誤；對稱軸在1和2之間，12，又a0，在不等式左右兩邊都乘以2a得：2ab4a，故（2）正確；又x=1時，對應的函數值大于0，故將x=1代入得：ab+c0，又a0，即4a0，c0，5ab+2c=（ab+c）+4a+c0，故（4）錯誤，綜上，正確的有1個，為選項（2）故選：A4已知點（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都在拋物線y=x2+bx上，x1、x2、x3為ABC的三邊，且x1x2x3，若對所有的正整數x1、x2、x3都滿足y1y2y3，則b的取值范圍是（）Ab2Bb3Cb4Db5【分析】根據三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，結合已知條件，可知x1、x2、x3的最小一組值是2、3、4；根據拋物線，知它與x軸的交點是（0，0）和（b，0），對稱軸是x=因此要滿足已知條件，則其對稱軸應小于2.5【解答】解：x1、x2、x3為ABC的三邊，且x1x2x3，x1、x2、x3的最小一組值是2、3、4拋物線y=x2+bx與x軸的交點是（0，0）和（b，0），對稱軸是x=，若對所有的正整數x1、x2、x3都滿足y1y2y3，則2.5解，得b5故選：D5如圖，點A（m，n）是一次函數y=2x的圖象上的任意一點，AB垂直于x軸，垂足為B，那么三角形ABO的面積S關于m的函數關系的圖象大致為（）ABCD【分析】因為A（m，n）是一次函數y=2x的圖象上的任意一點，所以n=2m根據三角形面積公式即可得出S與m之間的函數關系，根據關系式即可解答【解答】解：由題意可列該函數關系式：S=|m|2|m|=m2，因為點A（m，n）是一次函數y=2x的圖象上的任意一點，所以點A（m，n）在第一或三象限，又因為S0，所以取第一、二象限內的部分故選：D6拋物線y=ax2+bx+c的圖象經過原點和第一、二、三象限，那么下列結論成立的是（）Aa0，b0，c=0Ba0，b0，c=0Ca0，b0，c=0Da0，b0，c=0【分析】先根據圖象經過象限的情況判斷出a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理【解答】解：拋物線經過原點，c=0，拋物線經過第一，二，三象限，可推測出拋物線開口向上，對稱軸在y軸左側a0，對稱軸在y軸左側，對稱軸為x=0，又因為a0，b0故選：A7已知拋物線y=x2（4m+1）x+2m1與x軸交于兩點，如果有一個交點的橫坐標大于2，另一個交點的橫坐標小于2，并且拋物線與y軸的交點在點（0，）的下方，那么m的取值范圍是（）ABCD全體實數【分析】因為拋物線y=x2（4m+1）x+2m1與x軸有一個交點的橫坐標大于2，另一個交點的橫坐標小于2，且拋物線開口向上，所以令f（x）=x2（4m+1）x+2m1，則f（2）0，解不等式可得m，又因為拋物線與y軸的交點在點（0，）的下方，所以f（0），解得m，即可得解【解答】解：根據題意，令f（x）=x2（4m+1）x+2m1，拋物線y=x2（4m+1）x+2m1與x軸有一個交點的橫坐標大于2，另一個交點的橫坐標小于2，且拋物線開口向上，f（2）0，即42（4m+1）+2m10，解得：m，又拋物線與y軸的交點在點（0，）的下方，f（0），解得：m，綜上可得：m，故選：A8函數y=與y=kx2+k（k0）在同一直角坐標系中的圖象可能是（）ABCD【分析】本題可先由反比例函數的圖象得到字母系數的正負，再與二次函數的圖象相比較看是否一致【解答】解：由解析式y=kx2+k可得：拋物線對稱軸x=0；A、由雙曲線的兩支分別位于二、四象限，可得k0，則k0，拋物線開口方向向上、拋物線與y軸的交點為y軸的負半軸上；本圖象與k的取值相矛盾，故A錯誤；B、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k0，則k0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，本圖象符合題意，故B正確；C、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k0，則k0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，本圖象與k的取值相矛盾，故C錯誤；D、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k0，則k0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，本圖象與k的取值相矛盾，故D錯誤故選：B9已知拋物線y=x2+bx+c（c0）經過點（c，0），以該拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S，則S可表示為（）A|2+b|b+1|Bc（1c）C（b+1）2D【分析】把點（c，0）代入拋物線中，可得b、c的關系式，再設拋物線與x軸的交點分別為x1、x2，則x1、x2滿足x2+bx+c=0，根據根的判別式結合兩點間的距離公式可求|x1x2|，那么就可得到以該拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積【解答】解：拋物線y=x2+bx+c（c0）經過點（c，0），c2+bc+c=0；c（c+b+1）=0；c0，c=b1；設x1，x2是一元二次方程x2+bx+c=0的兩根，x1+x2=b，x1x2=c=b1，拋物線與x軸的交點間的距離為|x1x2|=|2+b|，S可表示為|2+b|b+1|故選：A10下列關于函數y=（m21）x2（3m1）x+2的圖象與坐標軸的公共點情況：當m3時，有三個公共點；m=3時，只有兩個公共點；若只有兩個公共點，則m=3；若有三個公共點，則m3其中描述正確的有（）個A一個B兩個C三個D四個【分析】令y=0，可得出（m21）x2（3m1）x+2=0，得出判別式的表達式，然后根據m的取值進行判斷，另外要注意m的取值決定函數是一次函數還是二次函數，不要忘了考慮一次函數的情況【解答】解：令y=0，可得出（m21）x2（3m1）x+2=0，=（3m1）28（m21）=（m3）2，當m3，m=1時，函數是一次函數，與坐標軸有兩個交點，故錯誤；當m=3時，=0，與x軸有一個公共點，與y軸有一個公共點，總共兩個，故正確；若只有兩個公共點，m=3或m=1，故錯誤；若有三個公共點，則m3且m1，故錯誤；綜上可得只有正確，共個故選：A二填空題（共10小題）11已知：如圖，過原點的拋物線的頂點為M（2，4），與x軸負半軸交于點A，對稱軸與x軸交于點B，點P是拋物線上一個動點，過點P作PQMA于點Q（1）拋物線解析式為y=x24x（2）若MPQ與MAB相似，則滿足條件的點P的坐標為（，）、（，）【分析】（1）設拋物線的解析式為：y=a（x+2）2+4，因為拋物線過原點，把（0，0）代入，求出a即可（2）由于PQMA，即MQP=MBA=90；所以只要滿足PMQ=MAB或PMQ=AMBPMQ=AMB時，先找出點B關于直線MA的對稱點（設為點C），顯然有AC=AB=2、MC=MB=4，可根據該條件得到點C的坐標，進而求出直線MC（即直線MP）的解析式，聯立拋物線的解析式即可得到點P的坐標；PMQ=MAB時，若設直線MP與x軸的交點為D，那么MAD必為等腰三角形，即MD=AD，根據此條件先求出點D的坐標，進而得出直線MP的解析式，聯立拋物線的解析式即可得解【解答】解：（1）過原點的拋物線的頂點為M（2，4），設拋物線的解析式為：y=a（x+2）2+4，將x=0，y=0代入可得：4a+4=0，解得：a=1，拋物線解析式為：y=（x+2）2+4，即y=x24x；（2）PQMAMQP=MBA=90；若MPQ、MAB相似，那么需滿足下面的其中一種情況：PMQ=AMB，此時MA為PMB的角平分線，如圖；取點B關于直線MA的對稱點C，則AC=AB=2，MC=MB=4，設點C（x，y），有：，解得（舍），點C的坐標為（，）；設直線MP的解析式：y=kx+b，代入M（2，4）、（，）得：，解得直線MP：y=x+聯立拋物線的解析式，有：，解得，點P的坐標（，）；PMQ=MAB，如右圖，此時MAD為等腰三角形，且MD=AD，若設點D（x，0），則有：（x+4）2=（x+2）2+（04）2，解得：x=1點D（1，0）；設直線MP的解析式：y=kx+b，代入M（2，4）、D（1，0）后，有：，解得：直線MP：y=x+聯立拋物線的解析式有：，解得：，點P的坐標（，）綜上，符合條件的P點有兩個，且坐標為（，）、（，）故答案：（1）y=x24x；（2）（，）、（，）12將拋物線y=x22向左平移3個單位，所得拋物線的函數表達式為y=x2+6x+7【分析】根據二次函數圖象的平移規律：左右平移，x改變：左加右減，y不變；上下平移，x不變，y改變，上加下減進行計算即可【解答】解：根據平移規律：將拋物線y=x22向左平移3個單位得到：y=（x+3）22，y=x2+6x+7故答案為：y=x2+6x+713如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使CM=|CEEO|，再以CM、CO為邊作矩形CMNO令m=，則m=1；又若CO=1，CE=，Q為AE上一點且QF=，拋物線y=mx2+bx+c經過C、Q兩點，則拋物線與邊AB的交點坐標是（，）【分析】求出CM=OECE，求出四邊形CFGH的面積是CO（OECE），求出四邊形CMNO的面積是（OECE）CO，即可求出m值；求出EF值，得出EF=QF，得出等邊三角形EFQ，求出EQ，求出CEF、OEA，過Q作QDOE于D，求出Q坐標，代入拋物線求出拋物線的解析式，把x=代入拋物線即可求出y，即得出答案【解答】解：沿AE折疊，O和F重合，OE=EF，在RtCEF中，EFCE，即OECE，CM=|CEEO|=OECE，S四邊形CFGH=CF2=EF2EC2=EO2EC2=（EO+EC）（EOEC）=CO（EOEC），S四邊形CMNO=CMCO=（OECE）OC，m=1；CO=1，CE=，QF=，EF=EO=QF，C（0，1），sinEFC=，EFC=30，CEF=60，FEA=（18060）=60，EF=QF，EFQ是等邊三角形，EQ=，過Q作QDOE于D，ED=EQ=由勾股定理得：DQ=，OD=，即Q的坐標是（，），拋物線過C、Q，m=1代入得：，解得：b=，c=1，拋物線的解析式是：y=x2x+1，AO=EO=，把x=代入拋物線得：y=，拋物線與AB的交點坐標是（，），故答案為：1，14該試題已被管理員刪除15在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（0，1）、（4，2）、（2，6）如果P（x，y）是ABC圍成的區域（含邊界）上的點，那么當w=xy取得最大值時，點P的坐標是（，5）【分析】分別求得線段AB、線段AC、線段BC的解析式，分析每一條線段上橫、縱坐標的乘積的最大值，再進一步比較【解答】解：線段AB的解析式是y=x+1（0x4），此時w=x（x+1）=+x，則x=4時，w最大=8；線段AC的解析式是y=x+1（0x2），此時w=x（x+1）=+x，此時x=2時，w最大=12；線段BC的解析式是y=2x+10（2x4），此時w=x（2x+10）=2x2+10x，此時x=時，w最大=12.5綜上所述，當w=xy取得最大值時，點P的坐標是（，5）16如圖為二次函數y=ax2+bx+c的圖象，在下列結論中：ac0；方程ax2+bx+c=0的根是x1=1，x2=5；a+b+c0；當x2時，y隨著x的增大而增大正確的結論有（請寫出所有正確結論的序號）【分析】根據拋物線的開口向下判斷出a0，再根據與y軸的交點判斷出c0，然后判斷出錯誤；根據與x軸的交點坐標判斷出正確；取x=1的函數值判斷出錯誤；先求出拋物線對稱軸為直線x=2，然后根據二次函數的增減性判斷出正確【解答】解：拋物線開口向下，a0，與y軸的正半軸相交，c0，ac0，故錯誤；拋物線與x軸的交點坐標為（1，0），（5，0），方程ax2+bx+c=0的根是x1=1，x2=5，故正確；由圖可知，當x=1時，函數值y0，即a+b+c0，故錯誤；拋物線對稱軸為直線x=2；當x2時，y隨著x的增大而增大，故正確；綜上所述，正確的結論是故答案為：17已知當x1=a，x2=b，x3=c時，二次函數y=x2+mx對應的函數值分別為y1，y2，y3，若正整數a，b，c恰好是一個三角形的三邊長，且當abc時，都有y1y2y3，則實數m的取值范圍是m【分析】根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出a最小為2，再根據二次函數的增減性和對稱性判斷出對稱軸在2、3之間偏向2，即小于2.5，然后列出不等式求解即可【解答】方法一：解：正整數a，b，c恰好是一個三角形的三邊長，且abc，a最小是2，y1y2y3，2.5，解得m2.5方法二：解：當abc時，都有y1y2y3，即，a，b，c恰好是一個三角形的三邊長，abc，a+bb+c，m（a+b），a，b，c為正整數，a，b，c的最小值分別為2、3、4，m（a+b）（2+3）=，m，故答案為：m18如圖，已知一動圓的圓心P在拋物線y=x23x+3上運動若P半徑為1，點P的坐標為（m，n），當P與x軸相交時，點P的橫坐標m的取值范圍是3m2或4m3+【分析】由圓心P在拋物線y=x23x+3上運動，點P的坐標為（m，n），可得n=m23m+3，又由P半徑為1，P與x軸相交，可得|m23m+3|1，繼而可求得答案【解答】解：圓心P在拋物線y=x23x+3上運動，點P的坐標為（m，n），n=m23m+3，P半徑為1，P與x軸相交，|n|1，|m23m+3|1，1m23m+31，解m23m+31，得：3m3+，解m23m+31，得：m2或m4，點P的橫坐標m的取值范圍是：3m2或4m3+故答案為：3m2或4m3+19如圖，四邊形ABCD是矩形，A、B兩點在x軸的正半軸上，C、D兩點在拋物線y=x2+6x上設OA=m（0m3），矩形ABCD的周長為l，則l與m的函數解析式為l=2m2+8m+12【分析】求l與m的函數解析式就是把m當作已知量，求l，先求AD，它的長就是D點的縱坐標，再把D點縱坐標代入函數解析式求C點橫坐標，C點橫坐標與D點橫坐標的差就是線段CD的長，用l=2（AD+CD），建立函數關系式【解答】解：把x=m代入拋物線y=x2+6x中，得AD=m2+6m把y=m2+6m代入拋物線y=x2+6x中，得m2+6m=x2+6x解得x1=m，x2=6mC的橫坐標是6m，故AB=6mm=62m矩形的周長是l=2（m2+6m）+2（62m）即l=2m2+8m+1220若二次函數y=ax2+bx+c的頂點在第一象限，且經過點（0，1），（1，0），則y=a+b+c的取值范圍是0y2【分析】由二次函數的解析式可知，當x=1時，所對應的函數值y=s=a+b+c把點（0，1），（1，0）代入y=ax2+bx+c，得出c=1，ab+c=0，然后根據頂點在第一象限，可以畫出草圖并判斷出a與b的符號，進而求出y=a+b+c的變化范圍【解答】解：二次函數y=ax2+bx+c的頂點在第一象限，且經過點（0，1），（1，0），易得：c=1，ab+c=0，a0，b0，由a=b10得到b1，結合上面b0，所以0b1，由b=a+10得到a1，結合上面a0，所以1a0，由得：1a+b1，且c=1，得到：0a+b+c2，則y=a+b+c的取值范圍是0y2故答案為：0y2三解答題（共4小題）21已知拋物線y=ax22x+c與x軸交于A（1，0）、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為x=1，頂點為E，直線y=x+1交y軸于點D（1）求拋物線的解析式；（2）求證：BCEBOD；（3）點P是拋物線上的一個動點，當點P運動到什么位置時，BDP的面積等于BOE的面積？【分析】（1）在拋物線y=ax22x+c中，已知對稱軸x=1，可求出a的值；再將點A的坐標代入拋物線的解析式中，可確定c的值，由此得解（2）首先由拋物線的解析式，確定點B、C、E的坐標，由直線BD的解析式能得到點D的坐標；在求出BCE、BOD的三邊長后，由SSS來判定這兩個三角形相似（3）BOE的面積易得，而在（2）中求出了BD的長，由BDP、BOE的面積相等先求出點P到直線BD的距離，如何由這個距離求出點P的坐標？這里需要進行適當的轉化；首先在y軸上取一點（可設為點M），使得點M到直線BD的距離等于點P到直線BD的距離，通過解直角三角形先求出DM的長，由此確定點M的坐標，然后過M作平行于直線BD的直線，再聯立拋物線的解析式即可確定點P的坐標【解答】解：（1）拋物線y=ax22x+c中，對稱軸x=1，a=1；將點A（1，0）代入y=ax22x+c中，得：1+2+c=0，c=3；拋物線的解析式：y=x22x3（2）拋物線的解析式：y=x22x3=（x1）24=（x+1）（x3），點C（0，3）、B（3，0）、E（1，4）；易知點D（0，1），則有：OD=1、OB=3、BD=；CE=、BC=3、BE=2；=，BCEBOD（3）SBOE=BO|yE|=34=6；SBDP=BDh=SBOE=6，即 h=在y軸上取點M，過點M作MN1BD于N1，使得MN1=h=；在RtMN1D中，sinMDN1=，且 MN1=；則 MD=4；點M（0，3）或（0，5）過點M作直線lMN2，如右圖，則 直線l：y=x3或y=x+5，聯立拋物線的解析式有：或解得：、當點P的坐標為（0，3）、（，）、（，）、（，）時，BDP的面積等于BOE的面積22如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PCx軸于點D，交拋物線于點C（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求PAC為直角三角形時點P的坐標【分析】（1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求得待定系數的值（2）要弄清PC的長，實際是直線AB與拋物線函數值的差可設出P點橫坐標，根據直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標，進而得到關于PC與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出PC的最大值（3）當PAC為直角三角形時，根據直角頂點的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解【解答】解：（1）B（4，m）在直線y=x+2上，m=4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx+6上，解得，拋物線的解析式為y=2x28x+6（2）設動點P的坐標為（n，n+2），則C點的坐標為（n，2n28n+6），PC=（n+2）（2n28n+6），=2n2+9n4，=2（n）2+，PC0，當n=時，線段PC最大且為（3）PAC為直角三角形，i）若點P為直角頂點，則APC=90由題意易知，PCy軸，APC=45，因此這種情形不存在；ii）若點A為直角頂點，則PAC=90如答圖31，過點A（，）作ANx軸于點N，則ON=，AN=過點A作AM直線AB，交x軸于點M，則由題意易知，AMN為等腰直角三角形，MN=AN=，OM=ON+MN=+=3，M（3，0）設直線AM的解析式為：y=kx+b，則：，解得，直線AM的解析式為：y=x+3 又拋物線的解析式為：y=2x28x+6 聯立式，解得：x=3或x=（與點A重合，舍去）C（3，0），即點C、M點重合當x=3時，y=x+2=5，P1（3，5）；iii）若點C為直角頂點，則ACP=90y=2x28x+6=2（x2）22，拋物線的對稱軸為直線x=2如答圖32，作點A（，）關于對稱軸x=2的對稱點C，則點C在拋物線上，且C（，）當x=時，y=x+2=P2（，）點P1（3，5）、P2（，）均在線段AB上，綜上所述，PAC為直角三角形時，點P的坐標為（3，5）或（，）23已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸的交點是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點是C（1）求拋物線的函數表達式；（2）設P（x，y）（0x6）是拋物線上的動點，過點P作PQy軸交直線BC于點Q當x取何值時，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少？是否存在這樣的點P，使OAQ為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由【分析】（1）已知了A，B的坐標，可用待定系數法求出函數的解析式（2）QP其實就是一次函數與二次函數的差，二次函數的解析式在（1）中已經求出，而一次函數可根據B，C的坐標，用待定系數法求出那么讓一次函數的解析式減去二次函數的解析式，得出的新的函數就是關于PQ，x的函數關系式，那么可根據函數的性質求出PQ的最大值以及相對應的x的取值（3）分三種情況進行討論：當QOA=90時，Q與C重合，顯然不合題意因此這種情況不成立；當OAQ=90時，P與A重合，因此P的坐標就是A的坐標；當OQA=90時，如果設QP與x軸的交點為D，那么根據射影定理可得出DQ2=ODDA由此可得出關于x的方程即可求出x的值，然后將x代入二次函數式中即可得出P的坐標【解答】解：（1）拋物線過A（3，0），B（6，0），解得：，所求拋物線的函數表達式是y=x2x+2（2）當x=0時，y=2，點C的坐標為（0，2）設直線BC的函數表達式是y=kx+h則有，解得：直線BC的函數表達式是y=x+20x6，點P、Q的橫坐標相同，PQ=yQyP=（x+2）（x2x+2）=x2+x=（x3）2+1當x=3時，線段PQ的長度取得最大值最大值是1解：當OAQ=90時，點P與點A重合，P（3，0）當QOA=90時，點P與點C重合，x=0（不合題意）當OQA=90時，設PQ與x軸交于點DOQD+AOQ=90，QAD+AQD=90，OQD=QAD又ODQ=QDA=90，ODQQDA，即DQ2=ODDA（x+2）2=x（3x），10x239x+36=0，x1=，x2=，y1=（）2+2=；y2=（）2+2=；P（，）或P（，）所求的點P的坐標是P（3，0）或P（，）或P（，）24如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標軸的正半軸上，BCx軸，OA=OC=4，以直線x=1為對稱軸的拋物線過A，B，C三點（1）求該拋物線的函數解析式；（2）已知直線l的解析式為y=x+m，它與x軸交于點G，在梯形ABCO的一邊上取點P當m=0時，如圖1，點P是拋物線對稱軸與BC的交點，過點P作PH直線l于點H，連結OP，試求OPH的面積；當m=3時，過點P分別作x軸、直線l的垂線，垂