非線性系統的線性化1、傳統近似線性化2、精確線性化3、現代近似線性化,第四章,CompanyLogo,條件苛刻，計算復雜,基本思想：一階近似適用于工作點范圍不大情況,基本思想：通過坐標變換把強非線性系統變換成弱非線性系統或通過狀態反饋以保持線性系統的部分特點。,傳統近似線性化,精確線性化,非線性系統線性化方法,現代近似線性化,近似線性化,傳統近似線性化,最小二乘法,泰勒展開,傅里葉級數展開,誤差最小,忽略高階項,忽略高次諧波,雅可比矩陣,忽略高階項,傳統近似線性化方法,非線性系統反饋線性化_主要內容,4.0緒論4.1基于動平衡狀態理論的非線性系統反饋線性化直接方法4.2單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設計仿射非線性系統輸入輸出線性化及魯棒設計線性時變系統反饋線性化直接方法及魯棒設計線性定常系統設計閉環極點配置一般非線性系統的直接反饋線性化設計：逆系統方法4.3反饋線性化與標準型輸入狀態線性化輸入輸出線性化線性系統的內動態子系統零動態子系統4.4數學知識微分同胚與狀態變換弗羅貝尼斯定理4.5非線性系統反饋線性化單輸入單輸出系統的輸入狀態線性化單輸入單輸出系統的輸入輸出線性化多輸入多輸出系統的反饋線性化4.6近似線性化方法,非線性系統反饋線性化緒論,非線性系統的反饋線性化是近年來引起人們極大興趣的一種非線性控制系統設計方法。這種方法的思路是通過狀態或輸出的反饋，將一個非線性系統的動態特性變成（全部或部分）線性的動態特性，從而可以應用熟知的線性控制的方法對系統進行設計與控制。反饋線性化通過嚴格的狀態變換與反饋變換來達到，線性化過程中沒有忽略任何高階非線性項，因而這種線性化是精確的。,目前反饋線性化的方法主要有兩種：1）精確線性化方法(exactlinearizationmethod)，如微分幾何方法，隱函數方法和逆系統方法等；2）基于參考模型的漸近線性化方法，如模型參考方法及模型參考自適應方法等。而確切地說，這兩種線性化方法都是模型參考方法，不過前者可稱為隱含模型參考方法（implicitmodelreferenceapproach），而后者為實際模型參考方法（realmodelrefernceapproach）。,精確線性化方法中，微分幾何方法和逆系統方法已形成各自的理論體系并在許多領域得到成功的應用。相比之下基于隱函數方法的直接線性化方法由于其可應用的范圍較窄，理論上又難以深入，被研究得要少得多。,在非線性系統的模型參考方法中，基于李亞普諾夫直接方法的非線性系統反饋線性化方法是最重要和最有效的一種設計方法，這類方法稱為非線性系統反饋線性化的直接方法。,運用控制系統動平衡狀態的概念，提出一種建立在控制系統動平衡狀態漸近穩定概念上的新的設計方法。本方法認為：控制系統的輸入直接控制的是系統的動平衡狀態。系統的輸出和狀態是在系統結構的約束下運動的。當系統對其平衡狀態大范圍漸近穩定時，其狀態將在系統結構約束下漸近收斂于系統的平衡狀態。當其平衡狀態運動時，系統的狀態亦將跟蹤其平衡狀態運動。因此控制系統平衡狀態的運動，即可實現對系統運動狀態及輸出的控制。,模型參考方法在跟蹤控制系統設計中是一種十分有效的方法。這一方法不僅在相對復雜的非線性系統設計中得到應用，即使在線性定常系統的設計中同樣也得到大量的應用。,非線性系統反饋線性化緒論,按上述思想，提出如下的基于平衡狀態控制原理的非線性控制系統反饋線性化的直接方法：（1）按系統的動態性能要求設計一滿足希望特性的線性動態系統作為模型參考系統。（2）以模型參考系統的狀態作為實際被控系統的被控平衡狀態。利用李亞普諾夫直接方法設計控制律使系統對動平衡狀態漸進穩定。從而被控系統近似具有模型參考系統的動態特性，實現非線性系統的反饋線性化。,為此，控制系統的設計可分為兩步：首先，設計控制律使系統的平衡狀態按預定的方式運動。然后，按某一指標設計系統，使其狀態按最佳方式向平衡狀態收斂，從而實現對狀態的控制。這一方法很好地解決了將僅適用于自由動態系統分析與設計的李亞普諾夫直接方法應用于跟蹤控制問題所帶來的理論沖突，將穩定性問題（調節問題）與跟蹤問題統一起來。為控制系統的分析與設計提供了一條新的思路。,非線性系統反饋線性化緒論,其中，為狀態向量，為控制向量，為向量函數。,其中為狀態向量，為控制向量，,為常數矩陣，并且的所有特征值均具有負實部。則下述基于李雅普諾夫第二方法的設計可以實現系統狀態對的漸近跟蹤，從而實現非線性系統動態特性的線性化。,基于動平衡狀態理論的非線性系統反饋線性化直接方法,按上述方法，基本設計過程如下：,考慮一般的非線性系統（1.1）,設希望的線性系統動態特性為（1.2）,令狀態偏差為，則有,由式（1.1）和式（1.2）可得系統的狀態偏差方程為：（1.3）,其中，且。則有的導數為：（1.5）,其中，為標量函數。,基于動平衡狀態理論的非線性系統反饋線性化直接方法,取狀態偏差的二次型函數（1.4）,因為當狀態偏差的歐幾里德范數時，平衡狀態是在大范圍內漸近穩定的。從而有時，。由上面的分析可直接給出如下定理：,定理1.1給定非線性時變系統（1.1）及模型參考系統（1.2）。設穩定，是模型參考自由系統（對應于）在原點平衡狀態的李雅普諾夫函數。那么，若存在控制使,由于的所有特征值均具有負實部，因此可找到正定矩陣，使為一負定矩陣。若能選取控制向量（為可能用到的的各階導數），使，則為李雅普諾夫函數。,若能選擇使在所考慮的系統參數變化范圍內非正，則可保證系統具有參數不確定時反饋線性化的魯棒性。若選取的使，則稱非線性系統（1.1）被精確線性化。我們可給出定理1.1更一般的情況如下：,基于動平衡狀態理論的非線性系統反饋線性化直接方法,（1.6）則偏差系統（1.3）的原點平衡狀態是大范圍一致漸近穩定的。,證明：因為是偏差自由系統在平衡狀態的李雅普諾夫函數，因此有負定。,定理1.2考慮狀態偏差系統（1.3）。設其對應的自由動態系統在平衡狀態大范圍一致漸近穩定，是自由系統在平衡狀態的李雅普諾夫函數。如果控制策略使,（1.7）則被控的狀態偏差系統（1.3）是大范圍一致漸近穩定。,基于動平衡狀態理論的非線性系統反饋線性化直接方法,將作為偏差控制系統（1.3）的可能的李亞普諾夫函數，有,由于上式右端第一項負定，顯然若式（1.7）成立，則負定。式（1.3）的被控狀態偏差系統大范圍一致漸近穩定。,非線性系統的反饋線性化，確切地說還可以分為輸入-狀態線性化和輸入-輸出線性化。對調節問題（穩定性問題）采用輸入-狀態線性化通常即可滿足要求對系統的調節要求；但對跟蹤問題通常必須采用輸入-輸出線性化設計才能滿足對系統的性能要求。,單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設計,設系統由下述微分方程表示（2.1）,其中為輸入，為輸出。取輸出及其前n-1階導數為狀態變量，方程（2.1）可表示為如下的狀態空間表達形式：,（2.1a）,簡記為（2.1b）,單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設計,其中為狀態向量，表示控制及其前m階導數。,設上述系統的希望動態特性可用下述線性定常模型系統表示：（2.2）,其中為希望輸出，為模型的輸入，為常數。同樣取及其前n-1階導數為狀態變量，可得其對應的可控型狀態空間表達式為：（2.2a）,其中為模型的狀態向量；，為常數。,單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設計,根據動平衡狀態理論，我們可以將作為被控系統的動平衡狀態，通過設計合適的控制律，使所構成的控制系統中被控狀態對動平衡狀態在大范圍內漸近穩定。從而實現對，亦即對的漸近逼近，使被控系統具有所希望的動態特性。實現上述目標的一個直接方法便是利用李雅普諾夫第二方法。為此，以為動平衡狀態，定義誤差向量（2.3）,由式（2.1a）及式（2.2a）可得（2.4）,取狀態偏差的二次型函數（2.5）,其中，且。則有的導數為：（2.6）,單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設計,其中：（2.7）（2.8）為標量函數。,由于系統（2.1a）和系統（2.2a）均為可控型，的確定可以進一步簡化。由式（2.8）我們有：（2.9）,其中：（2.10）（2.11）,單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設計,，為標量，以后的計算中，只需根據式（2.10）和（2.11）便可確定控制規律。,因為當狀態偏差的歐幾里德范數時，平衡狀態是在大范圍內漸近穩定的，即為控制系統的大范圍漸近穩定的動平衡狀態。從而有時，。由上面的分析可直接給出如下定理：,定理2.1給定非線性時變系統（2.1）及模型參考系統（2.2）。設穩定，為模型參考自由系統（）在原點平衡狀態的李亞普諾夫函數。那么，若存在控制使則偏差系統（2.3）的原點平衡狀態是大范圍一致漸近穩定的。非線性時變系統的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。,若能選擇使在所考慮的系統參數變化范圍內非正，則可保證系統具有參數不確定時反饋線性化的魯棒性。在這一方法中，若令，即可實現系統的精確線性化。若非線性系統是仿射非線性的，則其結果同微分幾何方法。,仿射非線性系統輸入輸出線性化及魯棒設計,考慮仿射非線性系統（2.12）,選取及其前n-1階導數為狀態變量，可將其轉換為式（2.1）形式的狀態空間表達式，且其中（2.13）（2.14）,由定理2.1，令，可實現仿射非線性系統的精確線性化。由式（2.14）得精確線性化得控制策略為（2.15）,1.精確線性化,2.魯棒線性化設計,仿射非線性系統輸入輸出線性化及魯棒設計,（1）設仿射非線性系統具有不確定性（2.16）,其中，則控制策略（2.17）將使系統魯棒線性化。,證明：將代入整理后有由式（2.9）有：由定理2.1，偏差系統（2.3）的原點平衡狀態是大范圍一致漸近穩定的。非線性時變系統的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。,（2）設仿射非線性系統具有不確定性（2.18）,仿射非線性系統輸入輸出線性化及魯棒設計,其中，。不失一般性，設則控制策略（2.19）將使系統魯棒線性化。,證明：將代入整理后有由式（2.9）有：由定理2.1，偏差系統（2.3）的原點平衡狀態是大范圍一致漸近穩定的。非線性時變系統的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。,線性時變系統反饋線性化直接方法及魯棒設計,考慮變系數線性系統（2.20）,對照式（2.1b）有（2.21）,根據式（2.9）-（2.11），在保證非正（即非正）的前提下，至少有如下幾種選擇方式。,1.精確抵消法,選擇使，即。這時可取（2.22）,線性時變系統反饋線性化直接方法及魯棒設計,此時李雅普諾夫函數，其中，。系統的動態方程直接由式（2.2）所示。,2.非精確抵消法,由式（2.9）-（2.11），我們有（2.23）設不變號，取（2.24）,由于要使為李亞普諾夫函數，只需非正，這就為本方法中的選擇帶來了極大的便利，最簡單直接的方法就是取絕對值加符號函數方法。,線性時變系統反饋線性化直接方法及魯棒設計,代入式（2.23），并考慮到對任意函數有，我們有,可見按式（2.24）確定的保證了為李雅普諾夫函數。,3.魯棒控制系統的實現,線性時變系統反饋線性化直接方法及魯棒設計,在上述非精確抵消方法中，如果可預先確定系統各參數取值的絕對值的最大值，則下述按參數絕對值最大值選取的控制律，不僅能保證為李雅普諾夫函數，同時還將使系統對區間內變化的參數具有魯棒性。,在式（2.24）中，除外，取各參數絕對值的最大值，有（2.25）,其中，。,顯然，如果我們選擇，。則將使系統的魯棒性進一步增加，同時還可使的收斂速度加快。,線性定常系統設計閉環極點配置,考慮線性定常系統（2.26）,對照式（2.1b）有（2.27）,設系統的希望動態特性如式（2.2）所示。則由式（2.11）有（2.28）,其中（2.29）,線性定常系統設計閉環極點配置,令，即。則有，為李亞普諾夫函數，其中，。當，將有。,這時由式（3.29）可解出（2.30）,其中，。,這一結果同狀態反饋極點配置方法的結果是一致的。相當于利用線性狀態反饋將原系統的極點配置到了希望系統的極點位置。其具體實現形式為：,一般非線性系統的直接反饋線性化設計：逆系統方法,考慮非線性系統（2.31）,將上式作為代數方程來看，如果從中可解出的顯式表示（2.33）則式（2.33）即為系統（2.31）的逆系統。,選取及其前n-1階導數為狀態變量，用表示及其前m階導數，則上式可記為（2.32）,在方程（2.33）中，記，則得到系統（2.33）的n階積分逆系統，由下式表示：（2.34）,一般非線性系統的直接反饋線性化設計：逆系統方法,將代入可得：（2.35）,令，可得精確線性化控制策略為（2.33）,反饋線性化與標準型,最簡單形式的反饋線性化是將非線性系統中的非線性抵消掉，使閉環動態特性變成線性形式。,例3.1控制水箱液面高度考慮將水箱中液面的高度h，控制在指定的高度，控制輸入是進入水箱的液體流量u，初始高度為。,其中是水箱的橫截面積，a是出水管的橫截面積。如果初始高度與期望高度相差懸殊，h的控制就是一個非線性調節問題。動態方程式（3.1）可重寫為:,水箱的動態模型為（3.1）,反饋線性化與標準型,若選為（3.2）式中為待求的“等效輸入”，則得到線性的動態方程選取為（3.3）其中為液面高度誤差，a為一嚴格正常數，則得到閉環動態方程為：（3.4）這說明當時，。根據式（3.2）和式（3.3），實際的輸入流量由下列非線性控制律確定：（3.5）式（3.5）中，右端第一項用來提供輸出流量，第二項則是用來根據期望的線性動態特性式（3.4）去改變液面高度。,反饋線性化與標準型,類似地，如果期望高度是一個已知的時變函數，則等效輸入可選為：從而仍得到時的結果。,反饋線性化的想法，即抵消非線性并施加一個期望的線性動態特性，可以直接應用于一類由所謂伴隨型或能控標準形所描述的非線性系統。,所謂一個系統是伴隨型的，是指其動態方程可以表示為（3.6）其中u是標量控制輸入，x是所關注的標量輸出，而是狀態矢量，與是狀態的非線性函數。這種形式的特點是盡管方程中出現x的各階導數，但是不出現輸入u的導數。若用狀態空間表示，式（3.6）可寫為：,可以表示為這種能控標準形的系統，若使用控制輸入（假定不為零）（3.7）就能抵消掉非線性特性而獲得一個簡單的輸入輸出關系（多重積分形式）因此控制可選為其中選擇使得多項式的所有根均嚴格位于左半平面從而導致指數穩定的動態特性,反饋線性化與標準型,即。對于跟蹤期望軌跡的任務，控制律可選為：（3.8）其中為跟蹤誤差，該控制律導致指數收斂跟蹤。若標量x換成矢量，標量b換成可逆方陣，亦可獲得類似的結果。在式（3.6）中曾假定動態方程對于控制輸入是線性的（但對狀態是非線性的），然而這一方法不能推廣到把u換成一個可逆函數的情形。例如，通過閥門控制流量的系統，其動態特性可能是依賴于而不是直接依賴于u，這里u是閥門開啟的直徑。這時只要定義，即可以容易地根據上述步驟首先設計出，然后利用來計算輸入u。這種方法實際上避免了在控制計算中出現非線性。當非線性動態方程不是能控標準形時，可以首先利用代數變換將方程化為能控標準形，然后再使用上述的反饋線性化設計，或者借助于原動態系統的部分線性化，而不要求總體的線性化。,反饋線性化與標準型,考慮單輸入非線性系統中控制輸入的設計問題。輸入-狀態線性化方法通過兩步來解決這個問題。首先找出一個狀態變換與一個輸入變換使非線性系統動態方程化成一個等效的線性定常系統動態方程，并表示成熟知的形式。其次，再利用標準的線性控制方法（例如極點配置）來設計。以一個簡單的二階系統為例來說明這個方法。考慮系統（3.9）雖然線性控制設計也能使這個系統在平衡點（0,0）附近的一個小范圍內穩定，然而采用什么控制器能使它在更大的范圍內穩定卻不是一目了然的。尤其是方程中的非線性更增加了控制上的困難，因為它不能直接用控制輸入來抵消。,輸入狀態線性化,如果考慮一組新的狀態變量（3.10）則新的狀態方程為（3.11）可以看到，新的狀態方程平衡點依然為（0,0）。同時可以看出，下列控制律（3.12）可用來抵消上式中的非線性。其中是待設計的等效輸入，于是可得到線性的輸入狀態關系為（3.13）,輸入狀態線性化,因此，通過狀態變換式（3.10）和輸入變換式（3.12），就將用原來的輸入去穩定原來的非線性動態系統式（3.9）這樣一個問題轉變成了用新的輸入去穩定新的動態系統式（3.13）的問題。由于新的動態系統是線性和能控的，采用熟知的線性狀態反饋控制律并適當選擇反饋增益，就能對極點任意地進行配置。例如可以選擇（3.14）而得到穩定的閉環動態系統它的兩個極點都在-2處。,輸入狀態線性化,用原來的狀態和表示，與此控制律相應的原控制輸入為（3.15）原來的狀態由給出為（3.16）由于和兩者均收斂于零，故原來的狀態亦收斂于零。,輸入狀態線性化,采用上述控制后的閉環系統如右圖所示。這個控制系統中存在兩個環：內環實現輸入-狀態關系的線性化，外環實現閉環動態特性的穩定性。,關于上述控制律，有以下幾點進一步的說明：1.雖然在狀態空間中一個相當大的區域內上面的結論均成立，但它不是全局性的。控制律在時沒有定義。顯然，當初始狀態位于這些奇點處時，控制器不能使系統達到平衡點。2.輸入狀態線性化是通過狀態變換與輸入變換相結合而實現的，而在兩種變換中都用到了狀態反饋。因此它是通過反饋來進行線性化，簡稱為反饋線性化。這一點與基于線性控制的小范圍雅可比線性化有著本質的區別。3.為了實現這個控制律，需要用到新的狀態變量（,）。若它們在物理上沒有意義，或不能直接測量，則必須測量原來的狀態并用式（3.10）來計算新的狀態變量。,輸入狀態線性化,4.一般說來，控制器設計和的計算都須用到系統模型。如果模型存在不確定性，即參數有不確定性，則從式（3.10）和式（3.12）可見，這種不確定性對于計算新狀態變量和計算控制輸入都會引起誤差。5.利用這種方法也能考慮跟蹤控制的問題，但是這時應將期望的運動用新的狀態矢量來表示，還可能需要進行復雜的計算，將期望運動的特性指標由原來的物理上有意義的輸出變量表示變換成現在的新的狀態變量表示。6.上述設計的成功使人們對將輸入狀態線性化的思想推廣到一般的非線性系統感到興趣。在考慮這種推廣的時候，將產生以下兩個問題：（1）哪些非線性系統能夠變換成線性系統？（2）如果能夠進行這種變換，如何找到這個變換？,輸入狀態線性化,考慮下列系統的跟蹤控制問題（3.17）假定設計的目標是使輸出跟蹤期望的軌跡，同時保持所有狀態有界，其中及其足夠高階的時間導數均假定已知且有界。使用這個模型的明顯困難在于輸出只是通過狀態及非線性狀態方程式（3.17）間接地與輸入發生聯系，所以不易看出應如何設計輸入來控制輸出的跟蹤性能。假如能夠找到系統輸出與控制輸入之間的一個直接而簡單的關系，則跟蹤控制設計的困難就會大大降低。事實上，由此想法構成了非線性系統控制設計中的所謂輸入輸出線性化方法的基礎。用一個例子來說明這一方法。,輸入輸出線性化,考慮三階系統（3.18）為了得到輸出與輸入之間的直接關系，將輸出微分由于仍然與沒有直接聯系，對上式再微分一次，得到（3.19）其中是狀態的函數，定義為（3.20）,輸入輸出線性化,式（3.19）代表與之間的一個顯式關系。如果選擇輸入為下列形式（3.21）其中為待定的新輸入，則式（3.19）中的非線性便被抵消了，從而得到一個輸出與新輸入之間的簡單的二重積分關系利用線性控制方法很容易對這個二重積分關系設計跟蹤控制器。例如，定義跟蹤誤碼差為，選取新的輸入為（3.22）其中，為正常數，則閉環系統的跟蹤誤差滿足（3.23）它代表一個指數穩定的誤差動態特性。因此，如果開始時，則，即獲得了理想跟蹤；否則指數地收斂于零。,輸入輸出線性化,這里需要注意兩點：（1）除了奇異點處之外，控制律處處有定義。（2）為了實現這一控制律，要求全部狀態都能測量，因為計算導數和輸入變換式（3.21）均要求的數值。上面這種首先產生一個線性的輸入輸出關系，然后再利用線性控制方法來構造控制器的設計策略稱為輸入-輸出線性化方法，它適用于許多系統，如果需要將系統的輸出微分次才能得到一個輸出與輸入之間的顯式關系，則稱該系統的相對度為。因此，上述例子中的系統相對度為2。這個術語同線性系統中所用的相對度的概念（極點超過零點的數目）是一致的。可以嚴格地證明，任何階能控系統，對于任一輸出，最多只需要微分次就一定能使控制輸入在表達式中出現，亦即。如果對微分永遠不出現控制輸入，則這個系統就是不可控的。,輸入輸出線性化,值得注意的是，式（3.23）僅說明了閉環動態系統的一部分，因為它只有二階，而整個系統是三階的。因此，系統中有一部分（由一個狀態分量描述）經由輸入輸出線性化變成了“不能觀”的子系統。這一部分子系統稱為內動態子系統。若此內動態子系統穩定（這里穩定的意思實際上是指在跟蹤過程中狀態維持有界，即在BIBO意義上的穩定性），跟蹤控制設計的問題就真正地解決了。否則，上面的跟蹤控制器事實上沒有意義，因為內動態子系統的不穩定性可能會產生一些不希望出現的現象。因此，上面這種基于降階模型式（3.19）的控制器設計，其適用性依內動態子系統的穩定性而定。最后還要指出，輸入輸出線性化方法雖然是在研究輸出跟蹤問題時提出來的，但它同樣可應用于穩定問題。此外，關于用輸入輸出線性化來進行穩定設計，還有必要作兩點說明。,輸入輸出線性化,首先在穩定問題中，不一定要選擇具有明顯的物理意義（在跟蹤設計中，輸出的選擇是由具體任務確定的）。的任意函數均可為了設計的目的而用來作為人為的輸出，從而產生一個以穩定設計為目的的線性輸入輸出關系。其次，不同的輸出函數選擇將產生不同的內動態子系統。有可能一種輸出選擇產生一個穩定的內動態子系統（或者不存在內動態子系統），而另一種輸出選擇卻產生不穩定的內動態子系統。因此，只要可能，就應該選擇使相應的內動態子系統穩定的那種輸出函數。特殊情況下，當系統的相對度等于其階數時，即當輸出必須微分次（為系統階數）時，變量可作為系統的一組新狀態變量，這時不會產生與該輸入輸出線性化有關的內動態子系統。故在這種情況下，輸入輸出線性化實際上變成了輸入狀態線性化，從而對于所指定的輸出很容易實際狀態調節和輸出跟蹤。,輸入輸出線性化,一般情況下，直接確定內動態子系統的穩定性是非常困難的，因為它一般是非線性、非自治的，而且與外表的動態子系統之間有耦合。雖然對某些系統而言，也許可以利用李雅普諾夫或類似李雅普諾夫的分析方法，然而尋找李雅普諾夫函數并非易事，因而限制了這種方法的普遍應用，所以很自然地想到需要尋找更為簡單的方法來確定內動態子系統的穩定性。為此，從熟知的線性系統入手，來考察內動態子系統這個概念。例3.2兩個線性系統的內動態子系統考慮下列簡單的能控、能觀線性系統（3.24）,線性系統的內動態子系統,要求跟蹤期望輸出，將輸出微分一次就得到第一個狀態方程其中顯含，故采用控制律（3.25）可產生跟蹤誤差方程（其中）及內動態子系統從這些方程可以看出，當趨近（同時趨近）時保持有界，從而也有界。因此式（3.25）是系統式（3.24）的一個滿意的跟蹤控制器。,線性系統的內動態子系統,再來看一個稍微不同的系統：（3.26）采用與前面一樣的控制器可產生同樣的跟蹤誤差動態系統，然而卻產生不同的內動態子系統由上式可見，當時，以及相應地都趨向無窮大。因此，式（3.25）對系統式（3.26）便不是一個合適的跟蹤器。為了搞清楚這兩個系統之間的本質差別，可以來看看它們的傳遞函數。,線性系統的內動態子系統,系統式（3.24）的傳遞函數為而系統式（3.26）的傳遞函數為可以看到，這兩個系統的極點相同而零點不同。具體地說，設計成功的系統式（3.24）具有一個左半平面的零點-1，而設計失敗的系統式（3.26）卻包含一個右半平面零點1。可以證明，上述結果（即如果對象的零點在左半平面，也就是說對象是最小相位的，則內動態子系統穩定）對于所有的線性系統都是正確的。,線性系統的內動態子系統,既然在線性系統中內動態子系統的穩定性簡單地由零點的位置確定，因此人們自然會有興趣想知道這個關系能否推廣到非線性系統。為此首先要將零點的概念推廣到非線性系統，然后再確定內動態子系統的穩定性與這種推廣了的零點概念之間的關系。將零點的概念推廣到非線性系統并不是一個十分簡單的問題。線性系統是在傳遞函數的基礎上定義零點的，但傳遞函數不能推廣到非線性系統。此外，零點是線性對象的一個內在特性，而對非線性系統來說，內動態子系統的穩定性可能與特定的輸入有關。克服這一困難的一個途徑是對非線性系統定義一個所謂的零動態子系統。零動態子系統定義為當系統的輸出被輸入強制為零時它的內動態子系統。,零動態子系統,對于線性系統，零動態子系統的漸近穩定性意味著內動態子系統的全局穩定性；然而，對于非線性系統卻沒有如此明顯的關系。對于穩定問題，可以證明，零動態子系統的局部漸近穩定性足可保證內動態子系統的局部漸近穩定性，這個結論也可以推廣到跟蹤問題。然而，與線性系統的情形不同，對于非線性系統的內動態子系統不能得到關于全局穩定性的結論，甚至連大范圍穩定性的結論也不能得到。換言之，即使零動態子系統是全局指數穩定的，也只能保證內動態子系統的局部穩定性。關于非線性系統的零動態子系統，可作如下兩點說明。首先，零動態子系統的特性是一個非線性系統的內在特征，它與控制律及期望軌跡的選擇無關。其次，考察零動態系統的穩定性比考察內動態子系統的穩定性要容易得多，因為零動態子系統僅涉及內部狀態。,零動態子系統,歸結起來，基于輸入輸出線性化的控制設計可循以下三步來進行：（1）微分輸出直至出現輸入；（2）選取來抵消非線性并保證跟蹤收斂；（3）研究內動態子系統的穩定性。若與輸入輸出線性化有關的相對度等于系統的階數，則非線性系統可完全地線性化，因而這一過程確實能得到一個滿意的控制器（假定模型是精確的）。若相對度小于系統的階數，則非線性系統只是部分地線性化，由此得到控制器是否真能使用取決于內動態子系統的穩定性。對內動態子系統穩定性的研究可以通過轉而研究零動態子系統的穩定性而局部地簡化。若零動態子系統不穩定，則必須尋找新的控制策略，這時輸入輸出線性化所提供的簡化僅在于變換后的動態方程是部分線性化的。,零動態子系統,在描述這些數學工具的時候，將把矢量函數稱為上的一個矢量場，矢量場的平滑性是指函數具有要求的任意階連續偏導數，以下將只關心平滑的矢量場。給定一個狀態的平滑的標量函數，的梯度記為它是以為元素的一個行矢量。類似地，給定一個矢量場，其雅可比矩陣記為，它是一個以為元素的的矩陣。,數學知識,定義4.1令為一個平滑的標量函數，為上的一個平滑的矢量場，則對的李導數是一個定義為的標量函數。李導數其實就是沿矢量方向導數。多重李導數可以遞歸地定義為類似地，如果是另一個矢量場，則標量函數為考慮下列單輸出動態系統，不難看出李導數與動態系統之間的聯系,李導數和李括號,輸出的時間導數為類似地，如果是一個備選的李雅普諾夫函數，則它的時間導數可以寫為。現在再看矢量場的另一個重要數學算符李括號。定義4.2令與為上的兩個矢量場，與的李括號是第三個矢量場，定義為。李括號通常寫為。多重李括號可以遞歸地定義為,李導數和李括號,引理4.1李括號具有下列性質（1）雙線性：其中、都是平滑的矢量場，而和為常標量。（2）斜交換性（或反對稱性）：（3）雅可比（Jacobi）恒等式：其中是的平滑標量函數。,李導數和李括號,可以遞歸地應用雅可比恒等式來獲得一些有用的專門性恒等式。使用它兩次得到對于高階的李括號亦可以獲得類似的一些恒等式。,李導數和李括號,可以微分同胚的概念可看成是熟知的坐標變換概念的推廣，其定義如下：定義4.3定義在區域上的函數：如果它是平滑的，它的逆存在并且平滑，則稱之為微分同胚。如果區域是整個空間，則稱為全局的微分同胚。全局的微分同胚很少見，因此常常要尋找局部的微分同胚，即僅在一個給定點的鄰域內定義的變換。引理4.2令為在中的區域內定義的一個平滑函數，如果雅可比矩陣在內一點非奇異，則在的一個子區域內為一個局部的微分同胚。微分同胚可用來將一個非線性系統變換成另一個用新的狀態表示的非線性系統，它類似于在線性系統分析中通常所做的那樣。,微分同胚與狀態變換,考慮下列方程所描述的動態系統：定義新的狀態為求的微分得由此不難得到新的狀態方程其中用到了，而函數，的定義是顯然的。,微分同胚與狀態變換,例4.1一個非全局性微分同胚考慮非線性矢量函數（4.1）它對所有的和都有定義，其雅可比矩陣為它在x=(0,0)的秩為2，根據引理4.2函數式(4.1)在原點周圍定義了一個局部的微分同胚。事實上，這個微分同胚成立的區域為因為在此區域內存在且關于平滑。然而，在此區域之外，因為不唯一，它不能定義一個微分同胚。,微分同胚與狀態變換,考慮一階偏微分方程組（4.2）其中與，為的已知標量函數，是一個未知函數。很明顯，兩個矢量和唯一地定義了這個偏微分方程組，如果它的解存在，則稱這組矢量場為完全可積的。現在的問題是要確定這些方程在什么條件下可解，這個問題并不是事先就能一眼看出的，弗羅貝尼斯定理提供了一個比較簡單的條件。,弗羅貝尼斯定理,方程式（4.2）有解的條件是當且僅當存在標量函數與使得即與的李括號可以表示成與的線性組合，這個條件稱為矢量場的對合條件，幾何上這個條件就是說矢量在由矢量與所確定的平面內。弗羅貝尼斯定理斷言一組矢量場當且僅當它滿足對合條件時是完全可積的。由于對合條件比較容易驗證，故可用它來確定式（4.2）的可解性。定義4.4上的一組線性無關的矢量場是完全可積的，當且僅當存在n-m個標量函數滿足一組偏微分方程（4.3）其中，而梯度是線性無關的。,弗羅貝尼斯定理,定義4.5線性無關的矢量場集合是對合的，當且僅當存在標量函數使（4.4）對合的意思就是如果從矢量場集合中任取一對來組成李括號，得到的矢量場可以表為原先集合中的矢量場的線性組合。需要說明的是：1.恒矢量場總是對合的。2.由單獨一個矢量f組成的集合總是對合的。3.由定義4.5，檢驗矢量場集合是否對合等于就是檢驗下式是否對于全體和全體、都成立定理4.1(弗貝尼斯定理)令為一組線性無關的矢量場，當且僅當這個集合為對合時它是完全可積的。,弗羅貝尼斯定理,討論用下列狀態方程描寫的單輸入非線性系統的輸入狀態線性化問題（5.1）其中和為平滑矢量場。研究的問題包括：這種系統在什么條件下能夠通過狀態與輸入的變換來實現線性化，如何求出這種變換，以及如何基于這種反饋線性化來設計控制器。形如式（5.1）的系統稱為對控制是線性的，或仿射的。如果非線性系統具有如下形式其中為可逆的標量函數，為任意函數，則簡單的代換就能將上述動態方程變成式（5.1）的形式。于是可以先對設計控制律，再對求逆來計算，即。,單輸入單輸出系統的輸入狀態線性化,定義5.1一個形如式（5.1）的單輸入非線性系統，其中與為上的平滑矢量場，如果在中存在一個區域，一個微分同胚，以及一個反饋控制律（5.2）使得新的狀態變量和新的輸入滿足線性定常關系（5.3）其中,輸入狀態線性化定義,則稱該系統是輸入狀態可線性化的。新狀態稱為線性化狀態，新控制律式（5.2）稱為線性化控制律。為了簡化記號，不僅用來表示變換狀態，而且表示微分同胚本身，即寫為。變換后的動態方程中，矩陣與矢量具有特殊的形式，對應于線性伴隨型。不過，局限于這種特殊的等效線性系統并不失一般性，因為任何線性能控系統均可通過狀態變換而與伴隨型式（5.3）等價。從式（5.3）的標準形式容易看出，輸入狀態線性化是輸入輸出線性化當輸出函數導致相對度為時的一種特殊情況，因此，輸入狀態線性化與輸入輸出線性化二者之間的關系可以總結如下：引理5.1一個階非線性系統，當且僅當存在一個標量函數，使以為輸出函數的輸入輸出線性化具有相對度時是輸入狀態可線性化的。,輸入狀態線性化定義,定理5.1對于非線性系統（5.1），其中和為平滑矢量場，當且僅當存在一個區域使得下列條件成立時，該非線性系統是輸入狀態可線性化的：1.矢量場在內線性無關；2.集合在內是對合的。對上述條件作幾點說明：1.第一個條件可以解釋為非線性系統式（5.1）的能控性條件。對于線性系統，矢量場變成，因而其線性無關就等價于熟知的線性能控性矩陣的可逆性，條件1代表一個推廣了的能控性條件。2.對合條件則不是那么直觀，對于線性系統，該條件自然滿足（此時矢量場為恒量），而對于非線性系統的情況，這一條件并不總是滿足的。,輸入狀態線性化條件,根據前面的討論，非線性系統的輸入一狀態線性化可按下列步驟進行：1.對給定的系統的構造矢量場；2.檢查能控性條件和對合性條件是否滿足；3.如果兩個條件均滿足，則從方程式（5.4）求出第一個狀態z1（導致相對（5.4）度為的輸入輸出線性化的輸出函數），即（5.5a）（5.5b）4.計算狀態變換與輸入變換式(5.2)，其中（5.6）,輸入狀態線性化方法,例5.1考慮右圖所示機構的控制問題，該機構代表一個在電機通過扭矩彈簧的驅動下在垂直平面內運動的桿（單桿柔性關節機器人）。其動力學方程容易求出為（5.7a）（5.7b）,輸入狀態線性化方法,由于非線性（重力矩所引起的）出現在第一個方程里，而控制是在第二個方程里，因而沒有明顯的方法來設計大范圍控制器。現在考慮有無可能實現輸入狀態線性化。首先應將系統的動力學用狀態空間表示。選取狀態矢量為,可以寫出相應的矢量場與為其次，要檢驗能控性與對合性條件。能控矩陣由簡單的計算得出為,輸入狀態線性化方法,當時，其秩為4。此外，由于矢量場為常量，它構成一個對合集。因此系統式（5.7）是輸入狀態可線性化的。第三步，要求輸出狀態變換和輸入變換以實現輸入狀態線性化。由式（5.5）以及上面給出的能控性矩陣表達式，新狀態矢量的第一個分量應滿足因此，必然只是的函數。上述方程最簡單的解為（5.8a）其它狀態可由得出（5.8b）,輸入狀態線性化方法,（5.8c）（5.8d）相應地輸入變換為（5.9）其中上述狀態與輸入變換的結果最終得到一組線性微分方程從而完成了輸入狀態線性化。,輸入狀態線性化方法,狀態方程變換成線性形式后，無論是以穩定或跟蹤為目的的控制器設計就很容易了。繼續看柔性桿的例子，其等價線性動態方程可以表示為假定希望桿的位置跟蹤預先指定的軌跡，則下列控制律（其中）導致跟蹤誤差的動態方程為只要適當地選擇上述動態方程中的系數（正常數）就能使系統為指數穩定。然后再利用式（5.9）就可以求出實際輸入。,基于輸入狀態線性化的控制器設計,討論用下列狀態方程描寫的單輸入非線性系統的輸入狀態線性化問題（5.10a）（5.10b）其中為系統的輸出。輸入輸出線性化就是要產生輸出與一個新輸入（此處的類似于輸入狀態線性化中的等價輸入）之間的線性微分關系。具體地說，將討論下列問題：（1）對于非線性系統如何生成一個線性的輸入-輸出關系；（2）與輸入-輸出線性化相聯系的內動態子系統的零動態子系統是什么；（3）如何在輸入-輸出線性化的基礎上設計穩定的控制器。,單輸入單輸出系統的輸入輸出線性化,考慮狀態空間中的一個區域（開連通集）。使用微分幾何的符號，重復微分的過程就是從下式開始如果對中的某個點，則由于連續性，這個關系在點的一個有限鄰域內成立。在中，輸入變換便產生一個與之間的線性關系，即。,輸入-輸出線性化的基本方法是重復地對輸出函數進行微分直到出現輸入，然后設計去抵消非線性。然而，在某些情況下，這個方法的第二步可能會因為系統的相對度沒有定義而無法進行。,線性輸入輸出關系的生成,1.相對度有定義的情況,如果對中的所有都有，可以對再進行微分，從而得到如果仍然對中的所有都為零，就一次又一次地微分下去直到對于某個整數，在中的某一點，于是由于連續性，上述關系必定在點的一個有限鄰域內成立。在中，將控制律（5.11）應用于（5.12）,線性輸入輸出關系的生成,與從前一樣，對輸出進行微分直到出現輸入，于是，如果的系數在點不為零，即,便產生了簡單的線性關系（5.13）在上述步驟的基礎上，可以給出下列的定義。定義5.2一個單輸入單輸出系統，如果對于有（5.14a）（5.14b）則稱系統在內的相對度為。,線性輸入輸出關系的生成,2.相對度無定義的情況,由于連續性，這就表明（5.14b）在的一個有限鄰域的成立。就說系統在點具有相對度.然而，也有可能當出現輸入時，其系數在點為零，但是在離任意近的某些點不為零。這時非線性系統的相對度在就無定義，用下面的簡單例子來說明這種情況。例5.2考慮系統式中為狀態的平滑非線性函數。如果為所關注的輸出，則系統顯然是伴隨型，且相對度為2。然而，如果取作為輸出，則,線性輸入輸出關系的生成,換言之因此，對所選取的這個輸出的來說，在系統的相對度既不為1也不為2。在某些特殊情況下，如上面這個例子，簡單地改變輸出便能夠定義一個等效的然而容易求解的控制問題。但是一般說來，當相對度無定義時，輸入-輸出線性化在這一點就不能直接實現，但可以對其進行近似線性化。,線性輸入輸出關系的生成,當相對度有定義并且時，非線性系統式（5.10）可以用作為新狀態的一部分分量而變換成所謂“規范形式”，這種形式能夠對內動態子系統和零動態子系統進行更為嚴謹的考察。令（5.15）在點的鄰域內，系統的規范形式可以寫為（5.16a）（5.16b）,規范形式,輸出定義為（5.17）與稱為在內（或在點）的規范坐標或規范狀態。,規范形式,與輸入-輸出線性化相聯系的內動態子系統對應于規范形式中的最后個方程。一般來說，該動態特性依賴于外部狀態。不過，通過考慮當控制輸出使輸出維持恒等于零時內動態子系統的特性，可以定義非線性系統的一種內在特性，即零動態子系統的特性，對它的研究將能夠對內動態子系統的穩定性作出某些結論。輸出恒等于零的約束條件意味著它的所有時間導數均為零，因而一個系統的零動態子系統就是當其運動被限制在中由所確定的維光滑由曲面（流形）上時的動態子系統。為了使系統在零動態子系統中運行，即要使狀態保持在曲面上，根據式（5.12），可以求得輸入為,零動態子系統,在零動態子系統中工作時系統狀態的演變情況如圖5.1所示，在規范坐標中，控制輸入可以寫成僅是內狀態的函數,圖5.1時，系統狀態在零動態子系統流形上的演變（a）在原來的坐標系中；（b）在規范坐標系中。,對應于這個輸入，并假定系統的初始狀態確實在曲面上，即，系統的動態方程就可以寫成規范形式為（5.18a）（5.18b）按照定義，（5.18b）就描述了非線性系統式（5.10）的零動態子系統。,零動態子系統,定義5.3如果非線性系統式（5.10）的零動態子系統是漸近穩定的，則稱該非線性系統是漸近最小相位的。可以類似地定義指數最小相位的概念。如果對于任意的，零動態子系統均為漸近穩定，就稱該系統是全局漸近最小相位的，否則就稱該系統為局部最小相位的。現在來考慮基于輸入-輸出線性化的控制器設計，基本思想是根據線性輸入-輸出關系設計控制器，然后再檢驗內動態子系統是否穩定。以下首先討論一個局部漸近穩定的結果，然后就全局穩定與跟蹤控制作一些討論。,零動態子系統,考慮非線性系統式（5.10），我們很自然地想要知道，在式（5.13）中將選擇為簡單的極點配置控制器是否能確保整個系統的穩定性。換句話說，假定在式（5.13）中令式中系數的選擇應使多項式（5.19）全部根嚴格地位于左半平面。實際的輸入可根據式（5.11）寫出為（5.20）定理5.2假定系統式（5.10）的相對度為，并且其零動態子系統是局部漸近穩定的。選擇常數使多項式（5.19）的全部根均位于左半平面，則控制律式（5.20）所產生的系統是局部漸近穩定的。,局部漸進穩定,對于以狀態收斂為目標的穩定問題，通常可以自由地選擇輸出函數，從而可以影響零動態子系統，因此有可能選擇能使相應的零動態子系統為漸近穩定的輸出函數，利用上述定理中給出的控制器就能夠使非線性系統穩定化。例5.3考慮非線性系統系統在（其中）的線性化方程為它具有一個相當于純積分器的不能控模態。定義輸出函數,局部漸進穩定,對應于這個輸出，系統的相對度為1，這是因為相應的零動態子系統（令）為它是漸近穩定的。因此，根據定理5.2控制律可使這個非線性系統局部漸近穩定。,局部漸進穩定,有一種基于部分反饋線性化的全局漸近穩定方法是將控制問題看成一個標準的李雅普諾夫控制器設計問題，但是通過將系統化成規范形式使一部分動態子系統變成線性而使問題得到簡化。同李雅普諾夫設計方法一樣，這個方法也帶有嘗試的味道，不過它確實有可能獲得滿意的解。在將系統化規范形式以后，基本的想法是把看成內動態子系統的輸入，而把看成輸出。第一步是設法找到一個使內動態于系統的穩定的“控制律”和相應的體現這種穩定性質的李雅普諾夫函數。這比尋找使原系統穩定的控制律容易一些，因為內動態子系統的階次通常較低。第二步是返回到原來的全局控制問題，適當地修改的形式而確定一個候選的李雅普諾夫函數，然后選擇使成為整個閉環動態系統的李雅普諾夫函數。,全局漸進穩定,例如，考慮下列表為規范形式的非線性系統的穩定性問題（5.21a）（5.21b）其中是控制輸入，定義。考察內動態子系統式（5.21b）可以看出，假如選擇，則內動態子系統將是漸近穩定的。此外，這個的表達式和要趨于零的要求是一致的。上述討論啟發我們采用以下的設計方法。在式（5.21b）中形式上用來替換，用表示體現該系統定性的李雅普諾夫函數，選取對求微分得,全局漸進穩定,考慮候選的李雅普諾夫函數它是由加上一個的二次“誤差”項得到的，于是有選擇下列控制律于是得出應用不變集定理可以證明，的這種選擇可使得整個系統的狀態收斂于零。此方法亦可用于非最小相位系統，需要注意的是輸出的選取，要保證其內動態子系統是漸進穩定的。,全局漸進穩定,定理5.2中簡單的極點配置控制器可以推廣到漸近跟蹤控制的任務。對于系統式（5.10），考慮跟蹤一個指定的期望軌跡的問題。令并定義跟蹤誤差矢量則有下列結果：定理5.3假定系統式（5.10）的相對度為（在所關注的區域定義并在其中為恒定），平滑有界，方程之解存在并有界，而且是一致漸近穩定的。選擇常數使多項式（5.19）的根全部位于左半平面內，則利用控制律,跟蹤控制,（5.22）就能使全部狀態保持有界并使跟蹤誤差指數地收斂于零。為了使跟蹤控制從時間起一直保持準確跟蹤，則無論采用什么控制律都要求。,跟蹤控制,對于式（5.10）所描述的系統，希望知道，應有什么樣的初始條件和控制輸入才能使對象的輸出理想地跟蹤參考與輸出。為此，假定系統輸出恒等于參考輸出，即，這就要求實際輸出與期望輸出的各階時間的導數均相等，具體地寫出來就是（5.23）用規范坐標表示，（5.23）可寫成因此控制輸入必須滿足即（5.24）,逆動態系統,式中是下列微分方程的解（5.25）給定參考軌跡，可從式（5.24）求得使所需要的控制輸入。注意該輸入依賴于內部狀態，因而也就依賴于初始狀態。通常“動態特性”是指系統在給出作為時間的函數的輸入信號后計算相應的輸出的數學方程，這里的方程式（5.24）與式（5.25）則相反地根據作為時間的函數的參考輸出的信號來計算相應的輸入，因此方程式（5.24）與式（5.25）常稱為系統式（5.10）的逆動態系統。形式上，為逆動態系統的狀態，為其輸入，而為其輸出。,逆動態系統,式（5.22）不能應用于非最小相位的非線性系統，因為這一類系統是