可重復的排列求冪法相鄰問題捆綁法相離問題插空法元素分析法（位置分析法）多排問題單排法定序問題縮倍法（等幾率法）標號排位問題（不配對問題）不同元素的分配問題（先分堆再分配）相同元素的分配問題隔板法：多面手問題（ 分類法-選定標準）走樓梯問題 （分類法與插空法相結合）排數問題（注意數字“0”）高考資源網 染色問題“至多”“至少”問題用間接法或分類:十三 幾何中的排列組合問題:排列組合常見題型及解題策略排列組合問題是高考的必考題，它聯系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握，實踐證明，掌握題型和解題方法，識別模式，熟練運用，是解決排列組合應用題的有效途徑；下面就談一談排列組合應用題的解題策略.一可重復的排列求冪法：重復排列問題要區分兩類元素：一類可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題，在這類問題使用住店處理的策略中，關鍵是在正確判斷哪個底數，哪個是指數【例1】 （1）有4名學生報名參加數學、物理、化學競賽，每人限報一科，有多少種不同的報名方法？（2）有4名學生參加爭奪數學、物理、化學競賽冠軍，有多少種不同的結果？（3）將3封不同的信投入4個不同的郵筒，則有多少種不同投法？【解析】：（1）（2） （3）【例2】 把6名實習生分配到7個車間實習共有多少種不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；將第一名實習生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實習生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計數原理知共有種不同方案.【例3】 8名同學爭奪3項冠軍，獲得冠軍的可能性有（ ）A、 B、 C、 D、【解析】：冠軍不能重復，但同一個學生可獲得多項冠軍，把8名學生看作8家“店”，3項冠軍看作3個“客”，他們都可能住進任意一家“店”，每個“客”有8種可能，因此共有種不同的結果。所以選A二相鄰問題捆綁法： 題目中規定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當作一個大元素參與排列.高考資源網 【例1】五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，那么不同的排法種數有 【解析】：把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當于4人的全排列，種【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 間接法 6位同學站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有， 種高考資源網 其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法故共有288 三相離問題插空法 ：元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數是 【解析】：除甲乙外，其余5個排列數為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法種數是種【例2】 書架上某層有6本書，新買3本插進去，要保持原有6本書的順序，有 種不同的插法（具體數字作答）【解析】： 【例3】 高三（一）班學要安排畢業晚會的4各音樂節目，2個舞蹈節目和1個曲藝節目的演出順序，要求兩個舞蹈節目不連排，則不同排法的種數是 【解析】：不同排法的種數為3600【例4】 某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進行。那么安排這6項工程的不同排法種數是 【解析】：依題意，只需將剩余兩個工程插在由甲、乙、丙、丁四個工程形成的5個空中，可得有20種不同排法。【例5】某市春節晚會原定10個節目，導演最后決定添加3個與“抗冰救災”有關的節目，但是賑災節目不排在第一個也不排在最后一個，并且已經排好的10個節目的相對順序不變，則該晚會的節目單的編排總數為 種.【解析】： 【例6】.馬路上有編號為1，2，3，9九只路燈，現要關掉其中的三盞，但不能關掉相鄰的二盞或三盞，也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有多少種？【解析】：把此問題當作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿足條件的關燈方案有10種.說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決.【例7】 3個人坐在一排8個椅子上，若每個人左右兩邊都有空位，則坐法的種數有多少種？【解析】： 解法1、先將3個人（各帶一把椅子）進行全排列有A，*，在四個空中分別放一把椅子，還剩一把椅子再去插空有A種，所以每個人左右兩邊都空位的排法有=24種.解法2：先拿出5個椅子排成一排，在5個椅子中間出現4個空，*再讓3個人每人帶一把椅子去插空，于是有A=24種.【例8】 停車場劃出一排12個停車位置，今有8輛車需要停放.要求空車位置連在一起，不同的停車方法有多少種？【解析】：先排好8輛車有A種方法，要求空車位置連在一起，則在每2輛之間及其兩端的9個空檔中任選一個，將空車位置插入有C種方法，所以共有CA種方法. 注：題中*表示元素，表示空.四元素分析法（位置分析法）：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。【例1】 2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有 （ ） 高考資源網 A. 36種 B. 12種 C. 18種 D. 48種【解析】： 方法一： 從后兩項工作出發，采取位置分析法。 方法二：分兩類：若小張或小趙入選，則有選法；若小張、小趙都入選，則有選法，共有選法36種，選A. 【例2】 1名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？【解析】： 老師在中間三個位置上選一個有種，4名同學在其余4個位置上有種方法；所以共有種。.【例3】 有七名學生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少種？【解析】 法一： 法二： 法三：五多排問題單排法：把元素排成幾排的問題可歸結為一排考慮，再分段處理。高考資源網 【例1】（1） 6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數是（ ）A、36種 B、120種 C、720種 D、1440種（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法種數為（A）（B） （C）（D） （3）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？【解析】 ：（1）前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共種，選.高考資源網 （2）答案：C（3）看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有種，某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有種，其余5個元素任排5個位置上有種，故共有種排法.五定序問題縮倍法（等幾率法）：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數的方法.【例1】.五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法種數是（ ）高考資源網 【解析】 ：在的右邊與在的左邊排法數相同，所以題設的排法只是5個元素全排列數的一半，即種【例2】 書架上某層有6本書，新買3本插進去，要保持原有6本書的順序，有多少種不同的插法？高考資源網 【解析】 ：法一： 法二：【例3】將A、B、C、D、E、F這6個字母排成一排，若A、B、C必須按A在前，B居中，C在后的原則（A、B、C允許不相鄰），有多少種不同的排法？ 【解析】 ：法一： 法二： 六標號排位問題（不配對問題） 把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續下去，依次即可完成.【例1】 將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數，則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有（ ）A、6種 B、9種 C、11種 D、23種高考資源網 【解析】 ：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應數字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數字，只有一種填法，共有331=9種填法，選.【例2】 編號為1、2、3、4、5的五個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個的編號與座位號一致的坐法是（ ） A 10種 B 20種 C 30種 D 60種 答案：B【例3】：同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式共有( ) （A）6種（B）9種（C）11種（D）23種 【解析】：設四個人分別為甲、乙、丙、丁，各自寫的賀年卡分別為a、b、c、d。 第一步，甲取其中一張，有3種等同的方式； 第二步，假設甲取b，則乙的取法可分兩類：（1）乙取a，則接下來丙、丁取法都是唯一的，（2）乙取c或d（2種方式），不管哪一種情況，接下來丙、丁的取法也都是唯一的。根據加法原理和乘法原理，一共有種分配方式。 故選（B）【例4】：五個人排成一列，重新站隊時，各人都不站在原來的位置上，那么不同的站隊方式共有( )高考資源網 （A）60種（B）44種（C）36種（D）24種 答案：B 六不同元素的分配問題（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法【例1】 有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？高考資源網 （1） 分成1本、2本、3本三組；（2） 分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；（3） 分成每組都是2本的三個組；（4） 分給甲、乙、丙三人，每個人2本；（5） 分給5人每人至少1本。【解析】 ：（1） （2） （3） （4） （5）【例2】將4名大學生分配到3個鄉鎮去當村官，每個鄉鎮至少一名，則不同的分配方案有 種（用數字作答）高考資源網 【解析】：第一步將4名大學生按，2，1，1分成三組，其分法有;第二步將分好的三組分配到3個鄉鎮，其分法有所以滿足條件得分配的方案有說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先分組再分配.【例3】 5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有 （A）150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種 【解析】：人數分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式，若是1,2,2，則有60種，若是1,1,3，高考資源網 則有90種，所以共有150種，選A【例4】 將9個（含甲、乙）平均分成三組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種數為（ ） A70B140C280D840 答案 ：（ A ）【例5】 將5名實習教師分配到高一年級的個班實習，每班至少名，最多名，則不同的分配方案有（ ）（A）種（B）種 （C）種（D）種【解析】：將5名實習教師分配到高一年級的3個班實習，每班至少1名，最多2名，則將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有種方法，再將3組分到3個班，共有種不同的分配方案，選B.【例6】 某外商計劃在四個候選城市投資3個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過2個,則該外商不同的投資方案有（ ）種 高考資源網 A16種 B36種 C42種 D60種【解析】：按條件項目可分配為與的結構， 故選D；【例7】（1）5本不同的書，全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為（ ）A、480種 B、240種 C、120種 D、96種 答案：.（2）12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配方案有多少種？答案：高考資源網 【例8】 有甲乙丙三項任務，甲需2人承擔，乙丙各需一人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，不同的選法種數是（ ） A、1260種 B、2025種 C、2520種 D、5040種【解析】：先從10人中選出2人承擔甲項任務，再從剩下的8人中選1人承擔乙項任務，第三步從另外的7人中選1人承擔丙項任務，不同的選法共有種，選.【例9】.某高校從某系的10名優秀畢業生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經濟開發建設，其中甲同學不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？高考資源網 【解析】：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：若甲乙都不參加，則有派遣方案種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學生有方法，所以共有；若乙參加而甲不參加同理也有種；若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另兩個城市有種，共有方法.所以共有不同的派遣方法總數為種【例10】 四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？【解析】：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有種，再排：在四個盒中每次排3個有種，故共有種.七相同元素的分配問題隔板法：【例1】：把20個相同的球全放入編號分別為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子中的球數不少于其編號數，則有多少種不同的放法？【解析】：向1，2，3號三個盒子中分別放入0，1，2個球后還余下17個球，然后再把這17個球分成3份，每份至少一球，運用隔板法，共有種。高考資源網 【例2】 10個三好學生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？【解析】：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應著一種分配方案，故共有不同的分配方案為種.高考資源網 變式1：7個相同的小球，任意放入四個不同的盒子，問每個盒子都不空的放法有 種變式2：馬路上有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盞路燈，為節約用電，可以把其中的三盞路燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關掉兩端的路燈，滿足條件的關燈辦法有 種【例3】：將4個相同的白球、5個相同的黑球、6個相同的紅球放入4各不同的盒子中的3個中，使得有一個空盒且其他盒子中球的顏色齊全的不同放法有多少種？高考資源網 【解析】： 1、先從4個盒子中選三個放置小球有種方法。2、注意到小球都是相同的，我們可以采用隔板法。為了保證三個盒子中球的顏色齊全，可以在4個相同的白球、5個相同的黑球、6個相同的紅球所產生的3個、4個5個空擋中分別插入兩個板。各有、種方法。3、由分步計數原理可得=720種八多面手問題（ 分類法-選定標準） 【例1】： 有11名外語翻譯人員，其中5名是英語譯員，4名是日語譯員，另外兩名是英、日語均精通，從中找出8人，使他們可以組成翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯日語，這兩個小組能同時工作，問這樣的8人名單可以開出幾張？ 變式：. 有11名外語翻譯人員,其中有5名會英語,4名會日語,另外兩名英,日語都精通,從中選出8人,組成兩個翻譯小組,其中4人翻譯英語,另4人翻譯日語,問共有多少不同的選派方式? 答案 ：185高考資源網 九走樓梯問題 （分類法與插空法相結合）【例1】 小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有16級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？【解析】：插空法解題：考慮走3級臺階的次數： 1）有0次走3級臺階（即全走2級），那么有1種走法；高考資源網 2）有1次走三級臺階。（不可能完成任務）；3）有兩次走3級臺階，則有5次走2級臺階：（a）兩次三級臺階挨著時：相當于把這兩個挨著的三級臺階放到5個兩級臺階形成的空中，有 種（b）兩次三級不挨著時：相當于把這兩個不挨著的三級臺階放到5個兩級臺階形成的空中，有種走法。 4）有3次（不可能）高考資源網 5）有4次走3級臺階，則有2次走兩級臺階，互換角色，想成把兩個2級臺階放到3級臺階形成得空中，同（3）考慮挨著和不挨著兩種情況有種走法；6）有5次（不可能） 故總共有：1+6+15+15=37種。變式：欲登上第10級樓梯，如果規定每步只能跨上一級或兩級，則不同的走法共有( )（A）34種（B）55種（C）89種（D）144種 答案： （C）十排數問題（注意數字“0”）高考資源網 【例1】（1）由數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字的共有（ ）A、210種 B、300種 C、464種 D、600種【解析】：按題意，個位數字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個，個，合并總計300個,選.（2）從1，2，3，100這100個數中任取兩個數，使其和能被4整除的取法（不計順序）有多少種？【解析】：將分成四個不相交的子集，能被4整除的數集；能被4除余1的數集，能被4除余2的數集，能被4除余3的數集，易見這四個集合中每一個有25個元素；從中任取兩個數符合要；從中各取一個數也符合要求；從中任取兩個數也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有種.十一染色問題：涂色問題的常用方法有：（1）可根據共用了多少種顏色分類討論;（2）根據相對區域是否同色分類討論;高考資源網 （3）將空間問題平面化，轉化成平面區域涂色問題。【例1】 將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數是_.【解析一】滿足題設條件的染色至少要用三種顏色。(1)若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點，此時只能A與C、B與D分別同色，故有種方法。(2)若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種