1 三角函數的圖象與性質三角函數的圖象與性質 知識梳理 1 能利用 五點法 作三角函數的圖象 并能根據圖象求解析式 2 能綜合利用性質 并能解有關問題 點擊雙基 1 定義在 R R 上的函數f x 既是偶函數又是周期函數 若f x 的最小正周期是 且當x 0 2 時 f x sinx 則f 3 5 的值為 A 2 1 B 2 1 C 2 3 D 2 3 解析 f 3 5 f 3 5 2 f 3 f 3 sin 3 2 3 答案 D 2 函數y xcosx sinx在下面哪個區間內是增函數 A 2 2 3 B 2 C 2 3 2 5 D 2 3 解析 用排除法 可知 B 正確 答案 B 3 函數y sin4x cos2x的最小正周期為 A 4 B 2 C D 2 解析 y sin4x cos2x 2 2cos1x 2 2 2cos1x 4 32cos2 x 4 2 4cos1x 4 3 8 1 cos4x 8 7 故最小正周期T 4 2 2 答案 B 4 y 5sin 2x 的圖象關于y軸對稱 則 解析 y f x 為偶函數 答案 k 2 k Z Z 典例剖析 例 1 判斷下面函數的奇偶性 2 f x lg sinx x 2 sin1 剖析 判斷奇偶性首先應看定義域是否關于原點對稱 然后再看f x 與f x 的關 系 解 定義域為 R R 又f x f x lg1 0 即f x f x f x 為奇函數 評述 定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要 但不充分 條件 例 2 求下列函數的單調區間 1 y 2 1 sin 4 3 2x 剖析 1 要將原函數化為y 2 1 sin 3 2 x 4 再求之 2 可畫出y sin x 4 的圖象 解 1 y 2 1 sin 4 3 2x 2 1 sin 3 2x 4 故由 2k 2 3 2x 4 2k 2 3k 8 3 x 3k 8 9 k Z Z 為單調減 區間 由 2k 2 3 2x 4 2k 2 3 3k 8 9 x 3k 8 21 k Z Z 為單調增 區間 遞減區間為 3k 8 3 3k 8 9 遞增區間為 3k 8 9 3k 8 21 k Z Z 例 3 已知函數f x x xx 2cos 1cos5cos6 24 求f x 的定義域 判斷它的奇偶 性 剖析 此題便于入手 求定義域 判斷奇偶性靠定義便可解決 求值域要對函數化 簡整理 解 由 cos2x 0 得 2x k 2 解得x 2 k 4 k Z Z 所以f x 的定義域為 x x R R 且x 2 k 4 k Z Z 因為f x 的定義域關于原點對稱 且 f x x xx 2cos 1cos5cos6 24 x xx 2cos 1cos5cos6 24 f x 所以f x 是偶函數 評述 本題主要考查三角函數的基本知識 考查邏輯思維能力 分析和解決問題的能 力 例 4 判斷f x xx xx cossin1 cossin1 的奇偶性 3 正確解法 取x 2 f x 有意義 取x 2 f x 沒有意義 故定義域關于原 點不對稱 f x 是非奇非偶函數 常見錯誤及診斷 一些學生不分析定義域是否關于原點對稱 而急于函數變形 極易 導致錯誤的結論 要注意判斷奇偶性的步驟 一是分析定義域是否關于原點對稱 二是分 析f x 與f x 的關系 闖關訓練 1 函數y xsinx cosx在下面哪個區間內是增函數 A 2 2 3 B 2 C 2 3 2 5 D 2 3 解析 2 為了使y sin x 0 在區間 0 1 上至少出現 50 次最大值 則 的最小 值是 A 98 B 2 197 C 2 199 D 100 解析 思考 若條件改為在 x0 x0 1 上至少出現 50 次最大值呢 3 定義在 R R 上的函數f x 滿足f x f x 2 當x 3 5 時 f x 2 x 4 則 A f sin 6 f cos 6 B f sin1 f cos1 C f cos 3 2 f sin 3 2 D f cos2 f sin2 解析 4 若f x 具有性質 f x 為偶函數 對任意x R R 都有f 4 x f 4 x 則f x 的解析式 可以是 只寫一個即可 5 給出下列命題 正切函數的圖象的對稱中心是唯一的 y sinx y tanx 的周期分別為 2 若x1 x2 則 sinx1 sinx2 若f x 是 R R 上的奇函數 它的最小正周期