分析中考的幾何計算題幾何計算題歷年來是中考的熱點問題。幾何計算是以推理為基礎的幾何量的計算，主要有線段與弧的長度計算、角和弧的度數計算、三角函數值的計算、線段比值的計算以及面積、體積的計算，從圖形上分類有：三角形、四邊形、多邊形以及圓的有關計算。解幾何計算題的常用方法有：幾何法、代數法、三角法等。一、三種常用解題方法舉例例1. 如圖，在矩形ABCD中，以邊AB為直徑的半圓O恰與對邊CD相切于T，與對角線AC交于P，PEAB于E，AB=10，求PE的長。解法一：（幾何法）連結OT,則OTCD，且OT=AB5,BC=OT=5,AC=BC是O切線，BC2 =CPCAPC=，AP=CA-CP=PEBC ，PE=5=4說明：幾何法即根據幾何推理，由幾何關系式進行求解的方法，推理時特別要注意圖形中的隱含條件。解法二：（代數法）PEBC， 設：PE=x，則AE=2x ，EB=102x連結PB。 AB是直徑，APB=900在RtAPB中，PEAB，PBEAPE EP=2EB，即x=2（102x）解得x=4 PE=4說明：代數法即為設未知數列方程求解，關鍵在于找出可供列方程的相等關系，例如：相似三角形中的線段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割線定理中的線段等積式，以及其他的相等關系。解法三：（三角法）連結PB，則BPAC。設PAB=在RtAPB中，AP=10COS在RtAPE中，PE=APsin, PE=10sinCOS在RtABC中, BC=5,AC= sin=,COS=PE=10=4說明：在幾何計算中，必須注意以下幾點：（1） 注意“數形結合”，多角度，全方位觀察圖形，挖掘隱含條件，尋找數量關系和相等關系。（2） 注意推理和計算相結合，先推理后計算，或邊推理邊計算，力求解題過程規范化。（3） 注意幾何法、代數法、三角法的靈活運用和綜合運用。二、其他題型舉例例2. 如圖，ABCD是邊長為2 a的正方形，AB為半圓O的直徑，CE切O于E，與BA的延長線交于F，求EF的長。分析：本題考察切線的性質、切割線定理、相似三角形性質、以及正方形有關性質。本題可用代數法求解。解：連結OE，CE切O于E， OECF EFOBFC，又OE=AB=BC，EF=FB設EF=x，則FB=2x，FA=2x2aFE切O于E FE2=FAFB，x2=（2x2a）2x解得x=a EF=a例3已知：如圖，O1 與O2相交于點A、B，且點O1在O2上，連心線O1O2交O1于點C、D，交O2于點E，過點C作CFCE，交EA的延長線于點F，若DE=2，AE=（1）求證：EF是O1的切線；（2）求線段CF的長；（3）求tanDAE的值。分析：（1）連結O1A，O1E是O2的直徑，O1AEF，從而知EF是O1的切線。（2）由已知條件DE=2，AE=，且EA、EDC分別是O1的切線和割線，運用切割線定理EA2=EDEC，可求得EC=10。由CFCE，可得CF是O1的切線，從而FC=FA。在RtEFC中，設CF=x，則FE=x+。又CE=10，由勾股定理可得：（x+）2=x2+102，解得 x=。即CF=（3）要求tanDAE的值，通常有兩種方法：構造含DAE的直角三角形；把求tanDAE的值轉化為求某一直角三角形一銳角的正切（等角轉化）.在求正切值時，又有兩種方法可供選擇：分別求出兩線段（對邊和鄰邊）的值；整體求出兩線段（對邊和鄰邊）的比值。解：（1）連結O1A，O1E是O2的直徑，O1AEFEF是O1的切線。（2）DE=2，AE=，且EA、EDC分別是O1的切線和割線EA2=EDEC，EC=10由CFCE，可得CF是O1的切線，從而FC=FA在RtEFC中，設CF=x，則FE=x+ 又CE=10由勾股定理可得：（x+）2=x2+102，解得 x= 即CF=（3）解法一：（構造含DAE的直角三角形）作DGAE于G，在RtAO1E中，O1A=4，O1E=6又DE=2，且DGA O1，又DGAE運用平行分線段成比例可求得DG=，從而tanDAE=解法二：（等角轉化）連結AC，由EA是O1的切線知DAE=ACD CAD=900，可得ADECAE，即.從而tanACD=，即tanDAE=說明：（1）從已知條件出發快速地找到基本圖形，得到基本結論，在解綜合題時更顯出它的基礎性和重要性。如本題（2）求CF的長時，要能很快地運用切割線定理，先求出CE的長。 （2）方程思想是幾何計算中一種常用的、重要的方法，要熟練地掌握。例4.如圖，已知矩形ABCD，以A為圓心，AD為半徑的圓交AC、AB于M、E，CE的延長線交A于F，CM=2，AB=4。（1）求CF的長和AFC的面積；（2）求CF的長和AFC的面積。解：（1）四邊形ABCD是矩形，CD=AB=4，在RtACD中，AC2=CD2+AD2（2+AD）2=42+AD2，解得AD=3（2）A作AGEF于G。BG=3，BE=ABAE=1CE=由CECF=CD2，得CF=又B=AGE=900，BEC=GEABCEGAE， ，即SAFC=CFAG=例5.如圖，ABC內接于O，BC=4，SABC=，B為銳角，且關于x的方程x24xcosB+1=0有兩個相等的實數根.D是劣弧AC上的任一點（點D不與點A、C重合），DE平分ADC，交O于點E，交AC于點F。求（1）求B的度數；（2）求CE的長。分析：本題是一道綜合了代數知識的幾何計算題，考察了圓的有關性質，解題時應注意線段的轉化。解：（1）關于x的方程x24xcosB+1=0有兩個相等的實數根=（-4cosB）2-4=0 ， cosB=，或cosB=-（舍去）又B為銳角 ， B=600（2） 點A作AHBC，垂足為H。 SABC=BCAH=BCABsin600=，解得AB=6在RtABH中，BH=ABcos600=6=3，AH=ABsin600=6CH=BC-BH=4-3=1 在RtACH中，AC2+CH2=27+1=28 AC=，AC=（舍去）連結AE，在圓內接四邊形ABCD中，B+ADC=1800，ADC=1200DE平分ADC，EDC=600=EAC又AEC=B=600，AEC=EAC，CE=AC=例6. 已知：如圖，O的半徑為r，CE切O于點C，且與弦AB的延長線交于點E，CDAB于D。如果CE=2BE，且AC、BC的長是關于x的方程x23（r2）x+ r24=0的兩個實數根。求（1）AC、BC的長；（2）CD的長。分析：（1）圖中顯然存在切割線定理的基本圖形，從而可得ECBEAC，AC=2BC.又AC、BC是方程的兩根，由根與系數關系可列出關于AC、BC的方程組求解。（2）CD是RtCDB的一邊，所以考慮構造直角三角形與之對應.若過C作直徑CF，連結AF，則RtCDBRtCAF，據此可列式計算。解：（1）CE切O于C，ECB=A又E是公共角，ECBEAC，AC=2BC.由AC、BC的長是關于x的方程x23（r2）x+ r24=0的兩個實數根AC+BC=3（r-2）；ACBC=r2-4，解得r=6，BC=4，AC=8（2）CO并延長交O于F，連結AF，則CAF=900，CFA=CBD CDB=900=CAFCAFCDB， CD=說明：（1）這是一道代數、幾何的綜合題，關鍵是尋找相似三角形，建立線段之間的比例關系，再根據根與系數關系列等式計算。 （2）構造與相似的直角三角形的方法還有許多種。例7. 如圖，ABC內接于O，AB是O的直徑，PA是過A點的直線，PAC=B。（1）求證：PA是O的切線；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延長線交PA于F，AC=CEEB=65，AEEB=23，求AB的長和FCB的正切值。解：（1）AB是O的直徑，ACB=900 CAB+B=900又PAC=B，CAB+PAC=900.即PAAB，PA是O的切線（2）設CE=6a ,AE=2x,則ED=5a，EB=3x由相交弦定理，得2x3x=5a6a x=a 連結AD，由BCEDAE