數學與建筑（2課時）教學目標：1、數學與建筑的聯系。 2、神秘的金字塔。 3、秘魯古跡馬丘比丘教學方式：教師主講，學生討論教學重點：1、數學對建筑的重要作用。教學難點： 2、金字塔中隱含的數學問題。教學過程：課前準備：分小組利用書籍、報刊、網絡收集數學與建筑有關的資料。一、數學與建筑的聯系富勒、網格球頂和巴基球21世紀的建筑充填空間的立體拱曲線數學建筑與雙曲拋物面箱子的破壞力學是數學科學的樂園，因為我們在這里獲得數學的果實。倫納多達芬奇幾千年來，數學一直是用于設計和建造的一個很寶貴的工具。它一直是建筑設計思想的一種來源，也是建筑師用來得以排除建筑上的試錯技術的手段。下表可能看來內容豐富，其實不過是多少世紀以來曾經用在建筑上的數學概念的一部分：角錐棱柱黃金矩形視錯覺立方體多面體網格球頂三角形畢達哥拉斯定理正方形，矩形平行四邊形圓，半圓球，半球多邊形角對稱拋物線懸鏈線雙曲拋物面比例弧重心螺線螺旋線橢圓鑲嵌圖案透視二、神秘的金字塔埃及是世界上歷史最悠久的文明古國之一。金字塔是古埃及文明的代表作，是埃及國家的象征，是埃及人民的驕傲。 金字塔，阿拉伯文意為方錐體，它是一種方底，尖頂的石砌建筑物，是古代埃及埋葬國王、王后或王室其他成員的陵墓。它既不是金子做的，也不是我們通常所見的寶塔形。是由于它規模宏大，從四面看都呈等腰三角形，很像漢語中的金字，故中文形象地把它譯為金字塔。埃及迄今發現的金字塔共約八十座，其中最大的是以高聳巍峨而居古代世界七大奇觀之首的胡夫大金字塔。下面介紹一下最具神秘色彩的胡夫大金字塔。在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長歲月中它一直是世界上最高的建筑物。據一位名叫彼得的英國考古學者估計，胡夫大金字塔大約由230萬塊石塊砌成，外層石塊約115000塊，平均每塊重2.5噸，像一輛小汽車那樣大，而大的甚至超過15噸。假如把這些石塊鑿成平均一立方英尺的小塊，把它們沿赤道排成一行，其長度相當于赤道周長的三分之二。據古希臘歷史學家希羅多德的估算，修建胡夫金字塔一共用了年時間，每年用工萬人金字塔一方面體現了古埃及人民的智慧與創造力，另一方面也成為法老專制統治的見證胡夫金字塔位于埃及首都開羅西南約公里吉薩高地的胡夫金字塔是埃及現存規模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇跡”之一。在埃及境內已發現的座金字塔中，吉薩高地的祖孫三代金字塔胡夫金字塔、海夫拉金字塔和門卡烏拉金字塔是最古老的金字塔。 胡夫金字塔建于埃及第四王朝第二位法老胡夫統治時期（約公元前年），被認為是胡夫為自己修建的陵墓。在古埃及，每位法老從登基之日起，即著手為自己修筑陵墓，以求死后超度為神。胡夫大金字塔的個斜面正對東、南、西、北四方，誤差不超過圓弧的分，底邊原長米（為362.31庫比特古埃及一種度量單位，這個數字與一年中的天數相近。）由于塔外層石灰石脫落，現在底邊減短為米，傾角為度分。塔原高米，因頂端剝落，現高米，相當于一座層摩天大樓，塔底面呈正方形。整個金字塔建筑在一塊巨大的凸形巖石上，占地約52900平方米，體積約260萬立方米。其塔高度的平方，約為21520米，而其側面積為21481平方米，這兩個數字幾乎相等。它的四邊正對著東南西北四個方向，誤差不超過0.5度。在朝向正北的塔的正面入口通路的延長線，放一盆水代替鏡子用，那么北極星便可以映到水盆上面來。延伸胡夫大金字塔底面正方形的縱平分線至無窮則為地球的子午線；穿過胡夫大金字塔的子午線，正好把地球上的陸地和海洋分成均勻的兩半，而且塔的重心正好坐落在各大陸引力的中心。把大金字塔底面正方形的對角線延長，恰好能將尼羅河口三角洲包括在內，而延伸正方形的縱平分線，則正好把尼羅河口三角洲平分。大金字塔到底凝結著古埃及人多少知識和智慧，至今仍然是遠沒有完全解開的謎。大金字塔之謎不斷吸引著成千上萬的熱心人在探索。三、秘魯古跡馬丘比丘馬丘比丘的全部建筑都是印加傳統風格的：磨光的規則形狀的墻，以及美妙的接縫技巧，墻上石塊和石塊之間的縫隙連匕首都無法放進去，讓人簡直無法理解印加人是究竟如何把他們拼接在一起的。讓人注意的是，雖然印加人了解圓形（太陽神Inti就是用它表現的），卻并不把它運用在建筑中。建筑用的龐大數量石塊究竟是如何搬運的至今是個謎。還有，雖然印加人不使用圓形，但卻利用了斜坡。據信他們讓成千上萬的工人推著石塊爬上斜坡。可惜的是印加人并未掌握文字的技巧而沒有留下任何描述文字。整個遺跡由約140個建筑物組成，包括廟宇、避難所、公園和居住區。這里還建有超過100處階梯每個通常由一整塊巨大的花崗巖鑿成。還有大量的水池，互相間由穿鑿石頭制成的溝渠和下水道聯系，通往原先的灌溉系統。至今沒人明白印加文明能夠把重大20噸的巨石搬上馬丘比丘的山頂。四課后作業數學與建筑還有其他什么聯系？數學與音樂（2課時）教學目標：1、數學家與音樂。 2、數學與音樂的關系。教學方式：教師主講，學生討論教學重點：數學與音樂的內在聯系。教學難點：數學與音樂的內在聯系。教學過程：課前準備：分小組利用書籍、報刊、網絡收集數學與音樂有關的資料。一、數學家與音樂上帝之所以存在，是因為數學是相容的；而魔鬼之所以存在，是因為我們不能證明數學是相容的。Andre Weil（魏依/韋伊）一個很有意思的事情，很多很多的數學家和物理學家都特別的喜歡音樂，一個很出名的例子就是Einstein（愛因斯坦）。譬如說E.Artin（阿廷），一個上個世紀影響最大的帶數學家之一，據說鋼琴的彈奏水平極高，尤其是特別的嚴格，好像他做的代數一樣；譬如Courant（庫朗/柯朗），和Artin（阿廷）比起來路子要野蠻一些，水平也要低些，不過熱情毫不遜色，還經常邀請Artin到家里演奏一番；再譬如說J.Nash（納什）,這個人大家比較熟悉，剛剛演的“A Beautiful Mind（美麗心靈）”說得就是他，他原來就喜歡繞著Princeton（普林斯頓大學）的Fine Hall游蕩，并且嘴里吹著口哨，后來一個得了Feilds（菲爾茲獎）獎也得了Wolf（沃爾夫獎）講的人數學家J.Milnor（米爾諾）還說，他第一次聽巴赫的音樂就是通過當時Nash（納什）的口哨聲。更有甚者，譬如Dieudonne（迪厄多內），這個法國Bourbaki（布爾巴基）的人，不但喜歡彈琴，更是能記住很多很多的樂譜，據說上千頁的樂譜他也能背誦。曾經一次，Dieudonne和P.Cartier去音樂會，他指著手里的節目單說：“樂隊的演奏漏了一個音符”再譬如說Fox（福克斯），一個美國的拓撲學家，在60年代的時候提到這個名字就相當于提到了低維拓撲這個方向，他本人的小提琴的演奏水平也相當專業。這個人比較喜歡故弄玄虛，據說，在一次音樂會上，Kodaira（小平邦彥）和他一起，不料這次的演奏時不時的停頓，而且有聲音的時間要少于沒有聲音的。二、數學與音樂的關系 西方音樂，在其發生之初便與數學有著不容忽視的血緣關系。這種血緣關系可以上溯到畢達哥拉斯時代，畢達哥拉斯認為“數”是世界萬物的本源、根基。即使現有的音階序列五度音程或八度音程也更多是出于推理而不完全是人耳分辨的純粹“自然”的結果。這使得鍵盤樂器同人聲與弦樂器之間總存在著難以彌合的音差，給調音帶來麻煩，然后不得不遷就鋼琴，因為鋼琴統領著一切樂器，是樂器之王，其形體也是個龐然大物。鍵盤樂器每個音之間的音差，不是人耳自然分辨的結果，而是一種數學計算和推理。被小提琴大師梅紐因萬分佩服的巴赫的賦格曲和平均律音階，正是西方嚴肅音樂中所有基本邏輯和數學般嚴密的音響推理的集中體現。巴赫的48首十二平均律鋼琴曲，實際上是數學計算得出的數據所顯示的聲音和諧，音樂的和諧與美感體現是的數字的和諧與美感。這種數學的或數字的關系，到勛伯格發展到了極端化12音體系也由聽音樂產生美感轉變為看樂譜看到美感，因而勛伯格的音樂也就排斥了普通人。十二平均律的計算成果并不是西方人的發明，我國明代學者朱載堉早在16世紀就已經完成十二平均律的理論和計算，這在當時處于世界領先水平。朱載堉用81檔的大算盤開平方、開立方，在黃鐘正律和黃鐘倍律之間求出了11個數：黃鐘正律（c）1000000應鐘倍律（b）1.059463無射倍律（a）1.122462南呂倍律（a）1.189207夷則倍律（g）1.259921林鐘倍律（g）1.334839蕤賓倍律（f）1.414213仲呂倍律（f）1.498307姑洗倍律（e）1.587401夾鐘倍律（d）1.681792太簇倍律（d）1.781797大呂倍律（c）1.887748黃鐘倍律（c）2000000朱載堉所稱的“倍律”比正律低八度。所列的數字表示振動體（弦）的長度。他把各律的數字一直計算到25位，如平均律半音的“頻率倍數”是1.059463094359295264561825，計算之精確令人驚嘆。這個數據與今日的十二平均律完全相同，只不過現代律學表示率高不再用長度，而是改成頻率。17世紀中葉，法國音樂理論家梅爾生于1636年基本完成了這一理論，所以李約瑟認為，是朱載堉的成就啟發了歐洲律學家。之后從18世紀起，西方開始把十二平均律用于音樂創作。而朱載堉用畢生心血撰寫的律學新說、律呂精義、樂舞全譜等進獻朝廷，萬歷皇帝諭交禮部“宣付史館，以備稽考”，結果束之高閣四課后作業這兩節課你學到了什么，有什么心得體會？黃金分割（1課時）教學目標：了解黃金分割的概念。教學方式：教師主講，學生討論教學重點：什么是黃金比例。教學難點：如何得到黃金比例。教學過程：在我們的生活中處處有數學，而歷史悠久的可說是黃金比例了。它可追溯到古代雅典的巴特農神廟，它之所以顯得那么和諧，是因為這個建筑符合黃金比例，還有唐朝石匠巧妙利用黃金比例做大頭佛像的故事，再加上北京的紫荊城里的宏偉的建筑也融合了黃金比例，不只古代的建筑，就連現在的建筑也與黃金比例有一定關聯，由此可見黃金比例的歷史和作用。什么是黃金比例？那就得先從黃金分割談起。假如C 為 AB 線段上的一點，而且 ，那么我們就說 C 點把線段 AB 黃金分割了，如圖。如果 C 點把線段 AB 黃金分割，那么這個比值是多少呢？這個比值就是，我們叫它做黃金比值（Golden Ratio）。報紙、書本的長度和寬度之比往往接近這個比值，大概是因為在這個比例之下，它們看起來很順眼，很和諧吧！建筑等方面也常利用這個比值來引起美的感覺，這就叫做黃金律。如何才可以把一線段 AB 黃金分割呢？引直線 BD 垂直于 AB，令 BD = AB，連接AD，并在 AD 上取 E 點使 DE = BD，再在 AB 上取 C 點使 AC = AE，則 C 點就把 AB 黃金分割了。最早，人們發現長寬之比為1：0.618的矩形很協調，因此古代的建筑大師和雕塑家們就巧妙地利用黃金分割比創造出了雄偉壯觀的建筑杰作和令人傾倒的藝術珍品：公元前3000年建造的胡夫大金字塔，其原高度與底部邊長約為1:1.6，公元前五世紀建造的莊嚴肅穆的雅典巴特農神殿(Parthenon at Athens)，其正面高度與寬度之比約為1:1.6。此外，留意的同學會發現，我國的故宮建筑中也有不少這種黃金比例的存在。四課后作業 找幾個黃金分割在生活中應用的例子生活中的黃金比例（2課時）教學目標：了解黃金比例在生活中的應用。教學方式： 教師主講，學生討論教學重點：黃金比例如何應用在生活中。教學難點：如何用黃金比例解釋紫禁城和巴特農神廟。教學過程：1、紫禁城當人們沉醉于紫禁城璀璨的建筑時，一位老人用一把皮尺，把輝煌的宮殿變成一組枯燥的數字。這位名叫傅熹年的建筑史學家，把紫禁城的院落面積和宮殿位置進行了測量。他測出太和門庭院的深度為130米，寬度為200米，其長寬比為：130比200065，與0618的黃金分割率十分接近。從紫禁城最重要的宮殿-太和殿上，暫時還沒有找到與黃金分割有關的證據。但是如果我們把太和殿放在中軸線上從大明門到景山這個尺度上衡量時，情況就會發生變化。中國古代建筑的傳統審美觀點是庭院中心。從大明門到景山的距離是25公里，而從大明門到太和殿的庭院中心是15045公里，兩者的比值為15045比250618，正好與黃金分割率等同。這組數據讓我們突然悟出了明代設計者為什么把大明門放在距離紫禁城如此遙遠的地方，甚至不惜拆除元大都的南面城墻。以前我們總是直覺地認為這是為了延長宮殿的序幕，使進入宮殿的人產生一種期待值。但是，數字卻成為建筑的位置的詳細注腳。沒有證據表明這種美的比率在中國古代宮殿中的運用是受到了西方建筑的影響，只能說明人類對美的追求有著共通的成分，驗證了黃金分割率的天然合理性。 2、巴特農神廟 雅典的巴特農神廟(Parthenon at Athens) 壯觀、宏偉，被認為是古希臘最偉大的建筑之一。有人認為它之所以顯得那么和諧，是因為這個建筑符合黃金比例。這是巴特農神廟的黃金分割圖。下圖中所有藍線與紅線之比都是黃金比例。為什么這樣造形簡單的建筑物中會出現如此多的黃金比例呢？如果 B、D 分別為 AC 之兩個黃金分割，則 D、B 分別為 AB 及 DC 之黃金分割。因為，又 AD = AC DC如此一來，兩個分割點卻造就了四個黃金比例，這也就是黃金分割神奇的地方。四課后作業 如何用黃金比例解釋紫禁城和巴特農神廟。黃金分割的重要作用（2課時）教學目標：1、了解黃金比例的發現歷史，作用及證明方法。 2、知道黃金比例在生活中的具體應用。教學方式： 教師主講，學生討論教學重點：1、黃金比例的發現。教學難點：2、黃金比例的作用。教學過程：把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數，取其前三位數字的近似值是0.618。由于按此比例設計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這是一個十分有趣的數字，我們以0.618來近似，通過簡單的計算就可以發現： 1/0.618=1.618 (1-0.618)/0.618=0.618 這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用。 一個很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，我國的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什么？因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關系都是符合黃金分割比的。正五邊形對角線連滿后出現的所有三角形，都是黃金分割三角形。 由于五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數值為2Sin18 。 黃金分割點約等于0618：1 是指分一線段為兩部分，使得原來線段的長跟較長的那部分的比為黃金分割的點。線段上有兩個這樣的點。 利用線段上的兩黃金分割點，可作出正五角星，正五邊形。 生活應用有趣的是，這個數字在自然界和人們生活中到處可見：人們的肚臍是人體總長的黃金分割點，人的膝蓋是肚臍到腳跟的黃金分割點。大多數門窗的寬長之比也是0.618；有些植莖上，兩張相鄰葉柄的夾角是137度28，這恰好是把圓周分成1:0.618的兩條半徑的夾角。據研究發現，這種角度對植物通風和采光效果最佳。 建筑師們對數學0.618特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的圣母院，或者是近世紀的法國埃菲爾鐵塔，都有與0.618有關的數據。人們還發現，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的0.618處。藝術家們認為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618處，能使琴聲更加柔和甜美。 數字0.618更為數學家所關注，它的出現，不僅解決了許多數學難題(如：十等分、五等分圓周；求18度、36度角的正弦、余弦值等)，而且還使優選法成為可能。優選法是一種求最優化問題的方法。如在煉鋼時需要加入某種化學元素來增加鋼材的強度，假設已知在每噸鋼中需加某化學元素的量在10002000克之間，為了求得最恰當的加入量，需要在1000克與2000克這個區間中進行試驗。通常是取區間的中點(即1500克)作試驗。然后將試驗結果分別與1000克和2000克時的實驗結果作比較，從中選取強度較高的兩點作為新的區間，再取新區間的中點做試驗，再比較端點，依次下去，直到取得最理想的結果。這種實驗法稱為對分法。但這種方法并不是最快的實驗方法，如果將實驗點取在區間的0.618處，那么實驗的次數將大大減少。這種取區間的0.618處作為試驗點的方法就是一維的優選法，也稱0.618法。實踐證明，對于一個因素的問題，用“0.618法”做16次試驗就可以完成“對分法”做2500次試驗所達到的效果。因此大畫家達芬奇把0.618稱為黃金數。0.618與戰略戰役0.618，一個極為迷人而神秘的數字，而且它還有著一個很動聽的名字黃金分割律，它是古希臘著名哲學家、數學家畢達哥拉斯于2500多年前發現的。古往今來，這個數字一直被后人奉為科學和美學的金科玉律。在藝術史上，幾乎所有的杰出作品都不謀而合地驗證了這一著名的黃金分割律，無論是古希臘帕特農神廟，還是中國古代的兵馬俑，它們的垂直線與水平線之間竟然完全符合1比0.618的比例。0.618與武器裝備在冷兵器時代，雖然人們還根本不知道黃金分割率這個概念，但人們在制造寶劍、大刀、長矛等武器時，黃金分割率的法則也早已處處體現了出來，因為按這樣的比例制造出來的兵器，用起來會更加得心應手。 當發射子彈的步槍剛剛制造出來的時候，它的槍把和槍身的長度比例很不科學合理，很不方便于抓握和瞄準。到了1918年，一個名叫阿爾文約克的美遠征軍下士，對這種步槍進行了改造，改進后的槍型槍身和槍把的比例恰恰符合0.618的比例。 0.618與戰術布陣在我國歷史上很早發生的一些戰爭中，就無不遵循著0.618的規律。春秋戰國時期，晉厲公率軍伐鄭，與援鄭之楚軍決戰于鄢陵。厲公聽從楚叛臣苗賁皇的建議，把楚之右軍作為主攻點，因此以中軍之一部進攻楚軍之左軍；以另一部進攻楚軍之中軍，集上軍、下軍、新軍及公族之卒，攻擊楚之右軍。其主要攻擊點的選擇，恰在黃金分割點上。 把黃金分割律在戰爭中體現得最為出色的軍事行動，還應首推成吉思汗所指揮的一系列戰事。數百年來，人們對成吉思汗的蒙古騎兵，為什么能像颶風掃落葉般地席卷歐亞大陸頗感費解，因為僅用游牧民族的彪悍勇猛、殘忍詭譎、善于騎射以及騎兵的機動性這些理由，都還不足以對此做出令人完全信服的解釋。或許還有別的更為重要的原因？仔細研究之下，果然又從中發現了黃金分割律的偉大作用。蒙古騎兵的戰斗隊形與西方傳統的方陣大不相同，在它的5排制陣形中，人盔馬甲的重騎兵和快捷靈動輕騎兵的比例為2:3，這又是一個黃金分割！你不能不佩服那位馬背軍事家的天才妙悟，被這樣的天才統帥統領的大軍，不縱橫四海、所向披靡，那才怪呢。 馬其頓與波斯的阿貝拉之戰，是歐洲人將0.618用于戰爭中的一個比較成功的范例。在這次戰役中，馬其頓的亞歷山大大帝把他的軍隊的攻擊點，選在了波斯大流士國王的軍隊的左翼和中央結合部。巧的是，這個部位正好也是整個戰線的“黃金點”，所以盡管波斯大軍多于亞歷山大的兵馬數十倍，但憑借自己的戰略智慧