1 浙浙 江江 工工 業業 大大 學學 線線 性性 代代 數數 期期 末末 試試 卷卷 答答 案案 A 2013 2014 第第 一一 學學 期期 任課教師任課教師 學院學院 班級班級 編號編號 學號學號 姓名姓名 得分得分 題號題號 一一 二二 三三 四四 得分得分 一一 填空題填空題 每每空空 3 分分 共共 30 分分 1 設 T 1 0 1 1 1 3 則 3 4412 000 4412 2 在多項式 111 211 1 2 xx xf中 x 的一次項系數為 1 3 設 310 110 002 A 則 A 的伴隨矩陣 A 220 260 002 4 若向量組 321 可以由向量組 21 線性表示 則向量組 321 一定線性 相 關 5 若方陣 k11 112 101 與 000 010 001 等價 則 k 2 6 設3元非齊次線性方程組b b AX的通解是 TT cX 3 2 1 2 1 1 c為任意常數 系數矩 陣 A 的秩是 2 非齊次線性方程組b b2 AX的通解是 X 2 2 4 T c 1 2 3 T c為任意常數 7 在三維向量空間R3中 向量 T 1 0 2 在基 T 4 2 1 1 T 1 1 1 2 T 8 3 1 3 下的坐標是 2 1 1 8 已知 321 與 321 是三維向量空間R3的兩組基 若 3211 322 3 本題得分 2 213 則由基 1 2 3 到基 1 2 3 的過渡矩陣是 011 131 101 9 已知三階方陣 A B 相似 若 A 的特征值為 1 2 3 則 2 1 BA T 27 二二 單項選擇題單項選擇題 每小題每小題 2 分分 共共 10 分分 1 設 321 A是 3 階方陣 則A C A 133221 B 133221 C 21321 2 D 21321 2 設 A B 是 n 階方陣 則以下結論正確的是 C A OAOAB 或OB B 0 AOA C 00 AAB或0 B D 1 AEA 3 如果向量組 s 21 的秩為 r 則下列命題錯誤 的是 C A 向量組中存在1 r個向量線性無關 B 向量組中存在 r 個向量線性無關 C 向量組中任意1 r個向量都線性相關 D 向量組中任意1 r個向量都線性相關 4 設 A 為秩是 r 的nm 矩陣 非齊次線性方程組bAX 有解的充分條件是 A A mr B nm C nr D nm 5 設 A 是 4 階實對稱矩陣 且滿足OAA 2 若3 AR 則 A 相似于 D A 0000 0100 0010 0001 B 0000 0100 0010 0001 C 0000 0100 0010 0001 D 0000 0100 0010 0001 本題得分 3 三三 計算題計算題 共共 50 分分 1 8 分 已知四階行列式 8118 4114 2112 4321 D 計算 14131211 AAAA 其中 ij A表示對應元素的代數余子式 解 14131211 AAAA 8118 4114 2112 1111 72 2 10 分 已知 202 030 102 A 000 010 001 B 且滿足XBABAX22 求矩陣 X 解 由題意 得 2 2 EABXEA 則 2 2 1 EABEAX 又 002 010 100 2EA 000 010 100 2 EAB 所以 100 010 000 X 1 2 3 4 5 本題總得分本題總得分 4 3 10 分 求向量組 T 3 0 2 1 1 T 6 3 5 2 2 T 0 3 1 0 3 T 7 4 1 2 4 的一個極大線性無關組 并將余下的向量用該極大線性無關組表示 解 因為 7063 4330 1152 2021 4321 0000 1000 0110 0201 r 所以 421 為極大無關組 且 213 2 4 10 分 當 取何值時 線性方程組 2 321 321 321 2 3 xxx xxx xxx 有唯一解 無解 有無窮多解 在有無窮多解的情況下 求出其通解 解 記方程組的系數矩陣為 A 因為 11 11 13 A 2 1 2 所以當0 A時 即1 且2 2 時 原方程組有唯一解 當1 時 0 1 2 000 010 101 1 1 2 111 111 141 r bA 此時方程組有無窮多解 其通解是 1 0 1 0 1 2 1 CX 其中 1 C為任意常數 當2 時 0 2 2 000 110 101 4 2 2 211 121 112 r bA 此時方程組有無窮多解 其 通解是 5 1 1 1 0 2 2 2 CX 其中 2 C為任意常數 當2 時 4 2 2 211 121 152 bA 1 2 4 000 110 211 r 因為 2 3 ARbAR 所以此時無解 5 12 分 設 1 1 1 為方陣 b aA 24 13 115 的一個特征向量 1 求常數 a b 及 對應的特征值 2 矩陣 A 可否相似對角化 若可以 將矩陣 A 相似對角化 若不可以 說明理由 解 1 設 對應的特征值是 則有 A 即 24 13 115 b a 解此方程組 得 3 a 1 b 1 2 因為 23 124 113 115 2 EA 所以得3 1 2 32 若 A 可相似對角化 則2 32 應有 2 個線性無關的特征向量 而 124 113 113 EA 的秩為 2 所以齊次線性方程組 XEA的基礎解系只包含一個解向量 6 故對應2 32 的線性無關的特征向量只有一個 因此 A 不可對角化 四四 證明題證明題 每小題每小題 5 分分 共共 10 分分 1 設 n 階方陣 A 滿足OEA 3 2 證明 EA2 可逆 證明 由題意 得 EEA 4 2 即 EEAEA 2 2 所以EA2 可逆 2 設 m 321 m 312 121 mm 其中1 m 證明 向量組 m 21 與向量組 m 21 的秩相等 證明 方法一 由題意 得 1 2121mm m 所以 1 21 1 1 m m 2 21 2 1 m m m m m m 1 21 因此向量組 m 21 與向量組 m 21 等價 故兩向量組的秩相等 方法二 1 2 本題總得分本題總得分 7 0