一元二次方程復習教學實錄祿豐松園中學 郭秀花I知識回顧師：前面我們已經學習了一元二次方程的有關知識，并用它來解決了一些簡單的實際問題，今天我們來下面的幾道題為基礎對本章進行復習我們先一起來看兩個問題，做完的請示意：問題1寫出一元二次方程 的二次項系數、一次項系數及常數項2（05浙江）根據下列表格的對應值：x323324325326ax2+bx+c006002003009判斷方程ax2+bx+c=0（a0，a、b、c為常數）的一個解x的取值范圍是（ ）A 3x323 B 323x324 C 324x325 D 325x326（學生積極演算，2分鐘后大都示意完成）師：我們請生1說一下第1題生1：一元二次方程 可整理為 ，所以這個方程的二次項系數、一次項系數及常數項分別為5，8，-2師：好，請坐答案是這個的請舉手！（全都舉手）師：很好我們再請生2說一下第2題生2：第2題選C因為根據圖標發現，在這個區域，ax2+bx+c隨著x的增大而增大師：好，請坐答案是這個的請舉手！（全都舉手）師：非常好，看來同學們對基礎知識掌握不錯我們接下來再看三個題目，時間6分鐘問題3用適當方法解下列方程（1） ； （2） ；（3） ； （4） 4一個直角三角形的斜邊長為5cm，一條直角邊比另一條直角邊長1cm，求兩條直角邊的長度 5某電腦公司2005年的各項經營收入中，經營電腦配件的收入為600萬元，占全年經營總收入的40，該公司預計2007年經營總收入要達到2160萬元，且計劃從2005年到2007年，每年經營總收入的增長率相同問2006年經營總收入為多少萬元？（學生獨立思考并解決學案中問題35，其中生3板演第3（1）、（2）題，生4板演第3（3）、（4）題，生5板演4題，生6板演第5題6分鐘后大部分學生示意完成）師：我們請板演的同學依次把解決問題的思路講一講（生3生6依次講解）生3：對于第（1）題我們可以直接得到 或 ，從而得到 第（2）題我是利用了求根公式得 ，從而得到 當然這道題也可以利用配方法來解生4：第（3）題我是移項后化成一般形式后，利用了求根公式得 ，第（3）題我是移項后分解因式得到 ，所以 生5：設兩條直角邊中較短的為 cm，則由題意得 ，解得 （舍去）， 所以 ，所以兩直角邊分別為3cm、4cm生6：我們要用一元二次方程來解決這個問題，首先我們要根據題意把這個實際問題轉化成數學模型一元二次方程（很自信的）我認為在這個問題上應明白：年收入增長的百分率年增加的收入/年收入設每年的增長率為x，則年年增加的收入(萬元)年總收入(萬元)2005年6004015002006年1500x2007年1500(1x)x這樣，我們就得到了滿足題意的等量關系解得 （舍去）， 所以 1500(1x)1500121800(萬元)因此，2003年經營的總收入為1800萬元師：下面以組為單位，一起交流總結解決以上問題時所運用的主要知識點、方法及規律，對本題（章）問題解決的認識和方法，比一比哪個小組總結的快、總結的完整生7：我們小組通過交流，認為從一元二次方程的整體結構看，本章的主要知識點有三部分：（1）一元二次方程的定義：包括定義：含有一個未知數，并且未知數的次數是二次的方程叫做一元二次方程一般形式： 第1題即是考查這一知識點；（2）一元二次方程的解法：近似解：對于一元二次方程 ，如果當 時， 的值大于0，當 時， 的值小于0，那么方程 的根在 與 之間；精確解：求一元二次方程的解的常用方法有：配方法、公式法、分解因式法第2、第3題是對這一知識點的考查；（3）一元二次方程的應用顯然第4、第5題就是對這一知識點的考查生8：我們小組經過討論交流，認為（1）在應用一元二次方程的概念解題時，首先要充分理解概念，記住構成一元二次方程的三個條件：整式方程；一個未知數；未知數的最高次數是2次，特別要注意 這個條件；（2）在解一元二次方程時，首先要熟練掌握配方法、公式法、分解因式法解方程的方法和步驟，能夠根據題目特點，靈活選用適當的方法解方程（3）在應用一元二次方程解決實際問題時，首先要認真讀題，只有理解了題意，才能從情景中獲取必要的信息，然后通過分析、處理從而轉化為數學問題，列出方程求解，最后要檢驗其解是否符合實際意義生9：我們組給出的本章的知識結構：師：每個小組說的都太棒了，生8的整理把握住了這章知識的整體結構，對每一種情況還結合我們的題目舉例給予了說明，理解得更加深刻大家以后再進行整理總結時要向她們學習這里，我也對這一章的知識進行了歸納整理，現在大家可以看一看（用多媒體展示，結果與同學的比較，還不如生8總結的好）同學們可以看出，老師整理的還不如你們整理的好，同學們比老師還聰明其實只要大家勤于思考，多動腦、動手，一定會有重要的發現和收獲的（學生情不自禁的鼓起掌來）【評析】通過提供問題串，先由學生自己對該部分知識進行歸納總結，在課堂上展示后再通過師生的共同評價修正，從而幫助學生建立整體性的認知框架，完善認知機構學生的主動性和積極性得到了充分的發揮，比只由教師講解學得主動、理解深刻精選題目是組織有效教學活動的基礎本環節設計的題目較為基礎的題目或是生活中涉及的一些實際問題，這對達成本課的階段目標（基本目標）有著重要意義，這充分體現了教師對全體學生的尊重，不難看出教師的一番匠心此外，學生心理的安全和自由是學生主動探究的必要條件教師以一個參與者的身份積極參與交流與評價，并勇于承認自己的不足，使學生感到教師對他們敞開了心懷，可親可敬，從而使學生獲得了一種心理的安全和自由，為學生大膽地探索、積極交流，融造了寬松的心理環境和民主、平等、和諧的課堂環境II.綜合運用師：（點評，肯定上一環節各組學生的表現，予以鼓勵）剛才每位同學、各個小組表現得都非常棒，我相信，下面的問題大家一定會表現的更出色的！問題1：解方程 ，你想到了哪些方法？（生獨立思考完成后，組內進行交流，然后小組代表發言）生10：我是用的配方法， ， ，即： ，所以 ，解得 生11：我是設 ，得到 ，利用公式法求得 ，所以 或 ，所以 生12：我把方程左邊展開，得到 ，即 ，解得 【評析】“解題千萬道，解后拋云霄”，這是難以提高解題能力和發展思維的，而引導學生進行解后反思，則有助于學生能力的提高師：問題2（1）一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手，有人統計一共握手66次，這次會議到會的人數是多少？（2）如今，E-mail已經成為我們聯系的一種工具，我班同學假期中部分同學相互通信一次，經統計，一共通信132次，假期中相互通信的同學人數有多少？（生獨立思考完成后，組內進行交流，然后小組代表發言）生13：這兩道題是一種類型，由于其中均有重復計算，所以都要除以2.以第一題為例：設這次會議到會的有x人，則 ，解得 （舍去）， .所以這次會議到會的有12人.生14：我們組不同意這一說法.這兩題并非一種類型，第（1）題有重復計算，但是寫信并無重復計算，所以不應除以2.設假期中相互通信的同學人數有x人，則 ，解得 （舍去）， .所以假期中相互通信的同學人數有12人.（課堂中出現許多頓悟的聲音，至此，課堂氣氛掀起了一個小高潮.）師：（針對以上兩題引導學生進行解題后的反思.）生15：通過解第1題，我們可以看到很多題目有多種解法，一題多解可以提高我們的解題能力.生16：在第1題中，我是和我們組的其他同學交流后才知道有多種方法的，所以我覺得要經常與別人合作.生17：通過第2題我們感覺到生活中處處都有數學，無處不用數學.師：一題多解，更要優解.多解可以發散我們的思維，而優解可以提高我們的思維品質.同時我們還要注意“生活數學化，數學生活化”，這有利我們的解題，讓我們享受成功的體驗.【評析】真理只有在嘗試與實踐中方可逐漸形成，學生通過交流，用自己的語言將思路描述，雖然其中亦有不完善甚至錯誤之處，但這是學生的認知水平的真實反應.正如弗萊登塔爾所說：“對知識的感覺和體驗，有著很大的解釋余地，以至于教師無法再壟斷對它的解釋.”師：問題3填空：（1）方程 的根為x1= ，x2= ，x1+ x2= ，x1x2= ；（2）方程 的根為x1= ，x2= ，x1+ x2= ，x1x2= ；（3）方程 的根為x1= ，x2= ，x1+ x2= ，x1x2= 由（1）（2）（3）你能得出什么猜想？你能證明你的猜想嗎？4利用上題你的猜想，解決問題：已知 是方程 的一個根，求方程的另一個根及c的值生18：第3（1）：，-1，-1，-2，1；（2）： ， ，3，-1；（3） ；生19：我們經過小組討論交流得到的猜想是：如果方程 的根分別為 ，那么 .（板演證明過程）生20：設另一根為 ，利用第3題的結論可知， ，所以 ， .（師引導學生反思交流：1題目解決所使用的知識點及解決問題的策略；2用本章知識點解決問題時容易出錯的問題；3從本組、其他組同學那里你學到了什么？自己的表現如何？）【評析】教師將老教材中的根與系數關系問題通過小組合作探究的形式進行教學，增強了師生之間、生生之間的相互交流，相互溝通，相互啟發，相互補充，小組合作學習的這一數學學習活動的有效性得以凸現.III.矯正補償：1判定下列方程是不是一元二次方程：（1） =0；（2） ；（3） ；（4） 2用估算的方法解決以下問題：為進一步美化臨沂城，要在某正方形廣場靠墻的一邊開辟一條寬4m的綠化帶，使余下的部分面積為100m2，求原正方形廣場的邊長（精確到1m）3用適當的方法解下列方程：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） 4某商場將進價為40元的襯衫按50元售出時，每月能賣出500件，經市場調查，這種襯衫每件漲價1元，其銷售量就減少10件如果商場計劃每月賺得8000元利潤，那么售價應定為多少？這時每月應進多少件襯衫？5某商場第一年初投入50萬元進行商品經營，以后每年年終將當年獲得的年利潤與當年年初投入資金相加所得的總資金，作為下一年年初投入資金繼續進行經營（1）如果第一年的年獲利為m萬元，則第一年年終總資金可用代數式表示為 萬元；（2）如果第二年的年獲利率比第一年的年獲利率多10個百分點，第二年年終的總資金為66萬元，求第一年的年獲利率（說明：第4、5題任選一題完成即可）（生獨立完成以上題目，當堂批改）【評析】學生在學生的認知過程中，就是由“不知到知”的過程.本環節針對前面幾個環節中學生的易錯點和共性問題，以針對性的題目盡心矯正補償，以求達到復習鞏固的目的.讓前面學生暴露的問題得以彌補.IV.完善整合師：請大家反思一下，你是否真正達到了本課時要達到的目標？（學生回顧反思，部分學生做全班交流，教師適時補充、鼓勵，以完善本章所復習的知識、方法、規律）1、主要知識點：2、方法：3、知識結構：4、課后請同學們獨立完成一份小結，談談到目前為止對方程學習的感受以及困惑由小組互相交流評價，與同學方案的優劣，從而取長補短【評析】實施有效性的評價是提高數學課堂教學活動有效性的重要措施，評價的目的是為了全面了解學生的學習狀況，也是教師改進教學的有力手段.“一元二次方程”復習課教學案祿豐松園中學 郭秀花教學內容：北師大版義務教育課程標準實驗教科書數學 九年級上冊第二章“一元二次方程”回顧與思考 教學目標：1知識目標（1）通過回顧與思考，進一步體會方程是刻畫現實世界中數量關系的一個有效數學模型；（2）能夠利用一元二次方程解決有關實際問題；（3）進一步了解一元二次方程及其相關概念，會用配方法、公式法、分解因式法解簡單的一元二次方程2能力目標（1）通過回顧與思考進一步體會一元二次方程也是刻畫現實世界中數量關系的一個有效數學模型；（2）能夠利用一元二次方程解決有關實際問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性，進一步培養學生分析問題、解決問題的意識和能力；（3）理解一元二次方程及其相關概念，會用配方法、公式法、分解因式法解簡單的一元二次方程(數字系數)，并在解一元二次方程的過程中體會轉化等數學思想；4）通過估計一元二次方程解的過程，發展估算意識和能力3情感目標通過師生共同的活動，使學生在交流和反思的過程中建立本章的知識體系，從而體驗學習數學的成就感教學重點1一元二次方程的三種解法：配方法、公式法、因式分解法；2列一元二次方程解決實際生活中的問題教學難點：1列一元二次方程解決實際問題；2轉化的思想方法教學過程：一、知識回顧回顧練習1寫出一元二次方程 的二次項系數、一次項系數及常數項2（05浙江）根據下列表格的對應值：x323324325326ax2+bx+c006002003009判斷方程ax2+bx+c=0（a0，a、b、c為常數）的一個解x的取值范圍是（ ）A 3x323 B 323x324 C 324x325 D 325x3263用適當方法解下列方程（1） ； （2） ；（3） ； （4） 4一個直角三角形的斜邊長為5cm，一條直角邊比另一條直角邊長1cm，求兩條直角邊的長度 5某電腦公司2005年的各項經營收入中，經營電腦配件的收入為600萬元，占全年經營總收入的40，該公司預計2007年經營總收入要達到2160萬元，且計劃從2005年到2007年，每年經營總收入的增長率相同問2006年經營總收入為多少萬元？反思歸納1主要知識點；2方法（組內交流，主要交流總結以上問題時所運用的主要知識點、方法及規律，對本題（章）問題解決的認識和方法）二、綜合運用自主研究1解方程 ，你想到了哪些方法？2（1）一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手，有人統計一共握手66次，這次會議到會的人數是多少？（2）如今，E-mail已經成為我們聯系的一種工具，我班同學假期中部分同學相互通信一次，經統計，一共通信132次，假期中相互通信的同學人數有多少？3填空：（1）方程 的根為x1= ，x2= ，x1+ x2= ，x1x2= ；（2）方程 的根為x1= ，x2= ，x1+ x2= ，x1x2= ；（3）方程 的根為x1= ，x2= ，x1+ x2= ，x1x2= 由（1）（2）（3）你能得出什么猜想？你能證明你的猜想嗎？4利用上題你的猜想，解決問題：已知 是方程 的一個根，求方程的另一個根及c的值組內交流（根據問題解決的思路和自我反思呈現的問題，組內進行交流，進而歸納規律、技巧，以及有待進一步解決的問題）成果展示展示交流：展示14題的答案、思路，對于每一道題，都由一個組進行展示為主，其它組為輔，重點展示每題的解題思路反思交流：1題目解決所使用的知識點及解決問題的策略；2用本章知識點解決問題時容易出錯的問題；3從本組、其他組同學那里你學到了什么？自己的表現如何？三、矯正補償：1判定下列方程是不是一元二次方程：（1） =0；（2） ；（3） ；（4） 2用估算的方法解決以下問題：為進一步美化臨沂城，要在某正方形廣場靠墻的一邊開辟一條寬4m的綠化帶，使余下的部分面積為100m2，求原正方形廣場的邊長（精確到1m）3用適當的方法解下列方程：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） 4某商場將進價為40元的襯衫按50元售出時，每月能賣出500件，經市場調查，這種襯衫每件漲價1元，其銷售量就減少