四柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、已知直角坐標(biāo)求柱坐標(biāo)【例1】 設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,1,3),求它的柱坐標(biāo).解：由變換公式得2=x2+y2=12+12=2,=.又tan=1,=(M在第卦限).故M的柱坐標(biāo)為(,3).溫馨提示 可以看出,球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系都是在空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上建立的.在直角坐標(biāo)系中,我們需要三個(gè)長度:(x,y,z),而在柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系中,我們需要長度,還需要角度.它是從長度,方向來描述一個(gè)點(diǎn)的位置,需要(,z)或者(r,). 三種坐標(biāo)系互相不同,互相有聯(lián)系,互相能夠轉(zhuǎn)化,都是刻畫空間一點(diǎn)的位置,只是描述的角度不同.類題演練 1設(shè)M的直角坐標(biāo)為(1,4),求其柱坐標(biāo).解:由公式得2=1+3=4,=2.又tan=,=.柱坐標(biāo)為(2,4).變式提升 1設(shè)M的柱坐標(biāo)為(2,7),求直角坐標(biāo).解:由公式得2=x2+y2=4,又tan=,y=x.y2=1.y=1,x=.直角坐標(biāo)為(,1,7).二、已知直角坐標(biāo)求球坐標(biāo)【例2】 設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,1,),求它的球坐標(biāo).解：由公式得r=2,由rcos=z=,得cos=,=.又tan=1,=.點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(2,).類題演練 2設(shè)M的直角坐標(biāo)為(,-1,1),求它的球坐標(biāo).解:由公式得r=2,由rcos=z得cos=,=.又tan=,=-arctan.球坐標(biāo)為(2,-arctan).三、用柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)解決空間實(shí)際問題【例3】 已知長方體ABCDA1B1C1D1的邊長為AB=14,AD=6,AA1=10,以這個(gè)長方體的頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線AB,AD,AA1分別為Ox、Oy、Oz軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求長方體頂點(diǎn)C1的空間直角坐標(biāo),球坐標(biāo),柱坐標(biāo).解析：如圖,此題是考查空間直角坐標(biāo),球坐標(biāo),柱坐標(biāo)的概念，我們要能借此區(qū)分三個(gè)坐標(biāo)，找到它們的相同和不同來. C1點(diǎn)的(x,y,z)分別對(duì)應(yīng)著CD,BC,CC1,C1點(diǎn)的(,z)分別對(duì)應(yīng)著AC,BAC,CC1，C1點(diǎn)的（r,)分別對(duì)應(yīng)著AC1,A1AC1,BAC.解:C1點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)為(14,6,10)，C1點(diǎn)的柱坐標(biāo)為(,arctan,10)，C1點(diǎn)的球坐標(biāo)為(,arccos,arctan).溫馨提示 應(yīng)當(dāng)注意,在球坐標(biāo)系中,當(dāng)點(diǎn)P在z軸上,不確定;點(diǎn)P與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,與都不確定.類題演練 3 經(jīng)過若干個(gè)固定和流動(dòng)的地面遙感觀測站監(jiān)測，并通過數(shù)據(jù)匯總，計(jì)算出一個(gè)航天器在某一時(shí)刻的位置，離地面2 384千米，地球半徑為6 371千米，此時(shí)經(jīng)度為80，緯度為75.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，確定出此時(shí)航天器點(diǎn)P的坐標(biāo).解:在赤道平面上，選取地球球心O為極點(diǎn)，以O(shè)為端點(diǎn)且與零子午線相交的射線Ox為極軸，建立球坐標(biāo)系,如圖.由已知航天器位于經(jīng)度80，可知=80，由航天器位于緯度75，可知=90-75=15，由航天器離地面2 384千米，地球半徑為6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.點(diǎn)P的球坐標(biāo)為(8 755 km,15,80).變式提升 2兩平行平面去截球，如圖,在兩個(gè)截面圓上有兩個(gè)點(diǎn)，它們的球坐標(biāo)分別為A(25,arctan,a),B(25,-arctan,b)，求出這兩個(gè)截面間的距離.解:由已知,OA=OB=25,AOO1=arctan,BOO1=-arctan,在AOO1中,tanAOO1=.OA=25,OO1=7.在BOO2