1.2 函數及其表示典題精講例1:判斷下列各組的兩個函數是否相同,并說明理由.(1)y=x-1,xR與y=x-1,xN;(2)y=與y= ;(3)y=1+與u=1+;(4)y=x2與y=x;(5)y=2|x|與y=思路分析:此題的考查目的在于強化函數是三要素構成的整體,且三要素中值域是由定義域和對應法則共同確定的,判斷時可以只考慮定義域和對應法則是否相同.解:(1)不同,因為它們的定義域不同.前者的定義域是全體實數,后者的定義域是全體自然數.(2)不同,前者的定義域是x|x2或x-2,后者的定義域是x|x2.(3)相同,定義域均為非零實數,對應法則都是自變量取倒數后加1.(4)不相同,定義域是相同的,但對應法則不同,值域不同,前者的值域是y|y2,后者的值域是y|yR .(5)相同,將y=2|x|利用絕對值定義去掉絕對值,結果就是y=2例2:如果f()=,則f(x)=_.思路解析:函數解析式y=f(x)是自變量x確定y值的關系式,本題實質是求經怎樣的變形得到這一結果.方法一:f()=,f(x)=(xR且x0,x1).方法二:設t=,則x=,代入f()=,得f(t)=,f(x)= (xR且x0,x1).答案: 例3:作出下列函數的圖象:(1)y=1-x,xZ;(2)y=2x2-4x-3(0x3);(3)y=|x-1|+|3-x|;(4)y=|x2-4x+3|.思路分析:(1)這個函數的圖象是由一些點組成的,這些點都在直線y=1-x上.xZ,yZ,這些點稱為整點.(如圖1-2-2)(2)0x3,這個函數的圖象是拋物線y=2x2-4x-3介于0x0,對應法則是“求平方”;(3)A=xR |x0,B=R,對應法則是“求平方根”;(4)A=平面內的圓,B=平面內的矩形,對應法則是“作圓的內接矩形”.思路分析:只有(1)是映射,因為A中的任何一個元素,在B中都能找到唯一的元素與之對應.(2)不是從集合A到集合B的映射.因為A中的元素0,在集合B中沒有象.(3)不是從集合A到集合B的映射.因為任何正數的平方根都有兩個值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有兩個元素與之對應,象不唯一.(4)不是從集合A到集合B的映射.因為一個圓有無窮多個內接矩形,即集合A中任何一個元素在集合B中有無窮多個元素與之對應,象不唯一.答案:(1)是;(2)不是;(3)不是;(4)不是.例5:如圖1-2-7所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,動點P從B點開始沿著折線BC、CD、DA前進至A,若P點運動的路程為x,PAB的面積為y.圖1-2-7(1)寫出y=f(x)的解析式,并求出函數的定義域;(2)畫出函數的圖象并求出函數的值域.思路分析:首先通過畫草圖可以發現,P點運動到不同的位置,y的求法是不同的(如圖1-2-8的陰影部分所示).圖1-2-8 可以看出上述三個陰影三角形的底是相同的,它們的面積由其高來定,所以只要由運動里程x來求出各段的高即可.解:(1)分類討論:當P在BC上運動時,易知B=60,則知y=10xsin60=x,0x4.當P點在CD上運動時,y=102=10,4x10.當P在DA上運動時,y=10(14-x)sin60=-x+35,10x14.綜上所述,函數的關系式為y=f(x)= (2)f(x)的圖象如圖1-2-11所示.圖1-2-11由圖象可知y的取值范圍是0y10.這表明函數f(x)的值域為0,10.例6:縱觀歷史,中國電信業的發展主要是在20世紀的后20年,尤其是90年代至今真正實現了電信的“起飛”.中國電話網規模從1995年的第4位提升為目前的第2位,進入世界前列.目前,中國的電話用戶,特別是移動電話還在加速增長,截止到2001年9月,中國的電話用戶達到3.03億戶,其中固定電話1.72億戶,移動電話達到1.31億戶.在2001年前9個月里,移動電話用戶平均每個月新增500多萬戶,中國移動電話用戶的總規模已超過美國,排世界第一位.中國每百人電話機普及率在80年代和90年代的年均增長率分別達到9%和30%左右.到2001年9月,全國電話普及率達到24.4%,移動電話普及率達到9.2%.中國電信業的起飛,為中國的經濟發展和社會進步奠定了一個良好的基礎. 中國網通為了配合客戶的不同需要,設有A、B兩種優惠方案,這兩種方案應付話費(元)與通話時間(分鐘)之間的關系如圖1-2-13所示(MNCD).圖1-2-13(1)若通話時間為2小時,按方案A、B各付話費多少元？(2)方案B從500分鐘以后,每分鐘收費多少元？(3)通話時間在什么范圍內,方案B才會比方案A優惠？思路分析:這是一個生活中的實際問題,分段算出每個方案的話費與通話時間之間的函數關系,然后求出每個函數的函數值即可.解:設方案A與方案B中應付話費(元)與通話時間(分鐘)之間的函數關系分別為y=和由圖知又所以,方案A與方案B中應付話費(元)與通話時間(分鐘)之間的函數關系分別為y=與y=(1)若x=120