周期現(xiàn)象與函數(shù)的周期性 陜西漢中市405學(xué)校 侯有岐 723312周期性是三角函數(shù)的重要性質(zhì),同時(shí)也是高考的熱點(diǎn).下面就函數(shù)周期的概念及其應(yīng)用例析如下,供同學(xué)們參考.一、周期函數(shù)的概念1. 概念一般地,對于函數(shù),如果存在非零實(shí)數(shù),任取定義域內(nèi)的任意一個(gè)值,都有,我們就把稱為周期函數(shù), 稱為這個(gè)函數(shù)的周期.對于一個(gè)周期函數(shù),如果在所有的周期中,存在著一個(gè)最小的正數(shù),就把這個(gè)最小的正數(shù)叫作函數(shù)的最小正周期.2. 注意點(diǎn)(1)正確理解周期函數(shù)的定義.定義式對定義域中的每一個(gè)值都成立,即定義域內(nèi)任意都使定義式成立,而不是“一個(gè)”或“某些個(gè)”;另一方面,判斷一個(gè)函數(shù)不是周期函數(shù),只需舉一個(gè)反例即可.(2)周期函數(shù)的定義域必須是無限集.由定義知,周期函數(shù)必須對其定義域內(nèi)的每一個(gè)都有成立,從而也必須在其定義域內(nèi),因此,周期函數(shù)的定義域必須是無限集.若一個(gè)函數(shù)的定義域是有限集,則它一定不是周期函數(shù).(3)周期函數(shù)不一定都有最小正周期.一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù),但它不一定有最小正周期.例如常函數(shù),對任一非零實(shí)數(shù),對一切恒成立,故它為周期函數(shù),但無最小正周期,由于正數(shù)中不存在最小的數(shù).(4)設(shè)是的周期,那么也一定是的周期,定義規(guī)定了為一個(gè)實(shí)常數(shù),而不是一個(gè)變數(shù);同時(shí)也規(guī)定了的取值范圍,只要求不為零,不要誤認(rèn)為一定是的倍數(shù).(5)與三角函數(shù)復(fù)合的函數(shù)不都是周期函數(shù).例如不是周期函數(shù)(如右圖示即知).二、三角函數(shù)最小正周期的常用求法1. 定義法直接利用周期函數(shù)的定義求出最小正周期.例1 求函數(shù) 的一個(gè)周期.解: 因?yàn)?, 所以的一個(gè)周期是.點(diǎn)評(píng): 本題應(yīng)用周期函數(shù)的定義求函數(shù)的周期,這是求周期的基本方法之一,同學(xué)們要掌握.2、公式法對于函數(shù)或的最小正周期可直接用公式求得.例2 求函數(shù) 的最小正周期.解: 由公式 ,得函數(shù)的最小正周期為 .點(diǎn)評(píng): 探求三角函數(shù)的周期,一般來說用公式法,即首先將函數(shù)式化為或的形式,再利用求得.3、數(shù)形結(jié)合法利用函數(shù)的圖象可直接求出函數(shù)的最小正周期.例3 求函數(shù) 的最小正周期. 解: 函數(shù) 的圖象如右圖所示: 由圖易知 的最小正周期 為 .點(diǎn)評(píng): 對于一些含有絕對值的三角函數(shù)的周期問題,可借助函數(shù)圖象解決.4、最小公倍數(shù)法對于函數(shù)的最小正周期可用最小公倍數(shù)法求得.例4 求函數(shù) 的最小正周期.解: 設(shè) 的最小正周期分別為,則由公式法得. 所以存在一個(gè)最小的正數(shù),使得. 故函數(shù) 的最小正周期為.點(diǎn)評(píng): 設(shè)與是定義在公共定義域上的兩個(gè)函數(shù), 分別是他們的最小正周期.如果能找到一個(gè)最小的正數(shù),使,，則函數(shù)的最小正周期為,就是的最小公倍數(shù).周期函數(shù)是考試中考查的熱點(diǎn),要判斷是周期函數(shù),應(yīng)正確理解周期函數(shù)的定