第6節空間直角坐標系 對應學生用書第107頁 2 了解空間兩點間的距離公式 對應學生用書第107頁 1 空間直角坐標系及有關概念 1 空間直角坐標系 以空間一點o為原點 建立三條兩兩垂直的數軸 x軸 y軸 z軸 這時我們說建立了一個空間直角坐標系oxyz 其中點o叫做坐標原點 x軸 y軸 z軸統稱坐標軸 由每兩個坐標軸確定的平面叫做坐標平面 質疑探究1 空間直角坐標系中的坐標平面把空間分成幾部分 提示 八部分 2 右手直角坐標系的含義 當右手拇指指向x軸的正方向 食指指向y軸的正方向時 中指指向z軸的正方向 3 空間一點m的坐標 空間一點m的坐標用有序實數組 x y z 來表示 記作m x y z 其中x叫做點m的橫坐標 y叫做點m的縱坐標 z叫做點m的豎坐標 1 在空間直角坐標系中 任意一點p與有序實數組 x y z 可建立一一對應的關系 2 在空間直角坐標系中 在x軸上的點可記作 x 0 0 在y軸上的點可記作 0 y 0 在z軸上的點可記作 0 0 z 3 在空間直角坐標系中 位于xoy平面上的點的豎坐標為0 所以可記作 x y 0 同理 位于xoz平面 yoz平面上的點的坐標分別可記作 x 0 z 0 y z 質疑探究2 在空間直角坐標系中 點m x y z 的坐標滿足x2 y2 z2 1 則點m的軌跡是什么 提示 以原點為球心 以1為半徑的球面 1 已知點a 1 2 3 則a關于平面xoy對稱點的坐標為 b a 1 2 3 b 1 2 3 c 1 2 3 d 1 2 3 解析 在空間直角坐標系中 點a 1 2 3 關于xoy平面的對稱點的橫 縱坐標不變 豎坐標變為原來的相反數 所以對稱點坐標應為 1 2 3 故選b 2 已知點a 3 0 4 點a關于原點的對稱點為b 則 ab 等于 d a 12 b 9 c 25 d 10 3 在空間直角坐標系中 所有點p x y 2 x y r 的集合表示 b a 一條直線 b 平行于平面xoy的平面 c 平行于平面xoz的平面 d 兩條直線 解析 豎坐標為2的所有點的集合為平行于坐標平面xoy且與坐標平面xoy距離為2的一個平面 故選b 4 設正方體abcda1b1c1d1的棱長為1 以a為原點 分別以ab ad aa1為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標系 則正方形a1b1c1d1的中心的坐標為 求空間點的坐標 例1 如圖所示 在棱長為1的正方體abcda1b1c1d1中 m在線段bc1上 且 bm 2 mc1 n是線段d1m的中點 建立適當的坐標系 求m n的坐標 思路點撥 可利用正方體中共點的三條兩兩垂直的棱所在的直線為x y z軸建立空間直角坐標系 找到點在坐標平面內的射影 求得m的坐標 再由中點坐標公式求出n點的坐標 求空間中點p坐標的方法法一 1 過點p作一個平面平行于坐標平面yoz 這個平面與x軸的交點記為px 它在x軸上的坐標為x 這個數x叫做點p的橫坐標 2 過點p作一個平面平行于坐標平面xoz 這個平面與y軸的交點記為py 它在y軸上的坐標為y 這個數y叫做點p的縱坐標 3 過點p作一個平面平行于坐標平面xoy 這個平面與z軸的交點記為pz 它在z軸上的坐標為z 這個數z叫做點p的豎坐標 顯然x軸上點的坐標形如 x 0 0 xoy平面上點的坐標形如 x y 0 法二 從點p向三個坐標平面作垂線 所得點p到三個平面的距離等于點p的對應坐標的絕對值 進而可求點p的坐標 空間中有關點的對稱問題 例2 已知長方體abcda1b1c1d1的對稱中心在坐標原點o 交于同一頂點的三個面分別平行于三個坐標平面 頂點a 2 3 1 求其他七個頂點的坐標 思路點撥 由題意可知 長方體的各頂點關于原點o和三個坐標平面及三條坐標軸具有對稱性 據此可寫出其他七個頂點的坐標解 由于已經建立了空間直角坐標系 如圖所示 由于o為長方體的對稱中心 且a 2 3 1 所以a與b關于xoz平面對稱 b 2 3 1 又b c兩點關于yoz平面對稱 c 2 3 1 同理可得d 2 3 1 a1 2 3 1 b1 2 3 1 c1 2 3 1 d1 2 3 1 在空間直角坐標系中 利用點的對稱性可快速求出對稱點的坐標 常見規律如下 已知點p x y z 則點p 關于原點的對稱點是 x y z 關于x軸的對稱點是 x y z 關于y軸的對稱點是 x y z 關于z軸的對稱點是 x y z 關于xoy平面的對稱點是 x y z 關于yoz平面的對稱點是 x y z 關于xoz平面的對稱點是 x y z 口訣 關于誰對稱 誰不變 空間兩點間距離公式的應用 例3 如圖所示 以棱長為a的正方體的三條棱所在的直線為坐標軸建立空間直角坐標系 點p在正方體的對角線ab上 點q在棱cd上 1 當點p為對角線ab的中點 點q在棱cd上運動時 探究 pq 的最小值 2 當點p在對角線ab上運動 點q在棱cd上運動時 探究 pq 的最小值 1 求空間中點的坐標時 一定要分清對應坐標 防止點的坐標求錯 2 利用空間兩點間的距離公式 可以求兩點間的距離或某線段的長 只要建立恰當的坐標系 通過簡單的坐標運算即可解決 例1 已知一個正四棱柱abcda1b1c1d1的頂點的坐標分別是a 0 0 0 b 2 0 0 d 0 2 0 a1 0 0 5 則c1的坐標是 解析 如圖所示 由題意知 c 2 2 0 c1 2 2 5 答案 2 2 5 例2 已知點a 1 2 1 b 2 2 2 點p在z軸上 且 pa pb 則點p的坐標為 錯源 忽略解的討論 例題 已知點p在z軸上 且滿足 op 1 o為坐標原點 則點p到點a 1 1 1 的距離為 選題明細表 解析 由題意知 q點的橫 縱坐標與p點相同 而q點的豎坐標為0 所以q 1 0 故選d 3 正方體不在同一表面上的兩頂點為a 1 2 1 b 3 2 3 則正方體體積為 c a 8 b 27 c 64 d 128 4 已知點b是點a 3 7 4 在xoz平面上的射影 則ob 2等于 b a 9 0 16 b 25 c 5 d 13 解析 a在xoz平面上射影為b 3 0 4 則ob 3 0 4 ob 2 25 5 2010年福建福州模擬 若兩點的坐標是a 3cos 3sin 1 b 2cos 2sin 1 則 ab 的取值范圍是 b a 0 5 b 1 5 c 0 5 d 1 25 二 填空題6 如圖 已知在長方體abcda1b1c1d1中 ab aa1 2 bc 3 m為ac1與ca1的交點 則m點的坐標為 7 已知點a 3 4 5 則點a到x軸的距離為 三 解答題8 在空間直角坐標系中 已知a 3 0 1 和b 1 0 3 試問 1 在y軸上是否存在點m 滿足 ma mb 2 在y軸上是否存在點m 使 mab為等邊三角形 若存在 請求出點m的坐標 9 一