量子力學(xué)常用積分公式(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ()(8) (a0) (正偶數(shù))(9) = (正奇數(shù)) ()(10) ()(11) ()(12) (13) (14) (15) (16) () ()第二章：函數(shù)與波動(dòng)方程1 試用量子化條件,求諧振子的能量諧振子勢(shì)能 (解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化條件式:在量子化條件中,令為振子動(dòng)量, 為振子坐標(biāo),設(shè)總能量E則 代入公式得: 量子化條件的積分指一個(gè)周期內(nèi)的位移,可看作振幅的四倍,要決定振幅,注意在A或B點(diǎn)動(dòng)能為0,(1)改寫為: (2)積分得:遍乘得乙法也是利用量子化條件,大積分變量用時(shí)間而不用位移,按題意振動(dòng)角頻率為,直接寫出位移,用的項(xiàng)表示:求微分: (4)求積分: (5)將(4)(5)代量子化條件:T是振動(dòng)周期,T=,求出積分,得 正整數(shù)#2用量子化條件,求限制在箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的粒子的能量,箱的長(zhǎng)寬高分別為 (解)三維問題,有三個(gè)獨(dú)立量子化條件,可設(shè)想粒子有三個(gè)分運(yùn)動(dòng),每一分運(yùn)動(dòng)是自由運(yùn)動(dòng).設(shè)粒子與器壁作彈性碰撞,則每碰一次時(shí),與此壁正交方向的分動(dòng)量變號(hào)(如),其余分動(dòng)量不變,設(shè)想粒子從某一分運(yùn)動(dòng)完成一個(gè)周期,此周期中動(dòng)量與位移同時(shí)變號(hào),量子化條件: (1) (2) (3)都是常數(shù),總動(dòng)量平方總能量是: =但 正整數(shù).#3 平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,求能量允許值.(解)解釋題意:平面轉(zhuǎn)子是個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)體,它的位置由一坐標(biāo)（例如轉(zhuǎn)角）決定,它的運(yùn)動(dòng)是一種剛體的平面平行運(yùn)動(dòng).例如雙原子分子的旋轉(zhuǎn).按剛體力學(xué),轉(zhuǎn)子的角動(dòng)量,但是角速度,能量是利用量子化條件,將理解成為角動(dòng)量,理解成轉(zhuǎn)角,一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)理解成旋轉(zhuǎn)一周,則有 (1)(1) 說明是量子化的(2) (.) (2)(3) 代入能量公式,得能量量子化公式: (3)#4有一帶電荷質(zhì)量的粒子在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),垂直于平面方向磁場(chǎng)是B,求粒子能量允許值.(解)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng),設(shè)圓半徑是,線速度是,用高斯制單位，洛倫茲與向心力平衡條件是: (1)又利用量子化條件,令電荷角動(dòng)量 轉(zhuǎn)角 (2)即 (3)由(1)(2)求得電荷動(dòng)能=再求運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中的磁勢(shì)能,按電磁學(xué)通電導(dǎo)體在磁場(chǎng)中的勢(shì)能=,是電荷的旋轉(zhuǎn)頻率, ,代入前式得運(yùn)動(dòng)電荷的磁勢(shì)能= (符號(hào)是正的)點(diǎn)電荷的總能量=動(dòng)能+磁勢(shì)能=E= ( )#5對(duì)高速運(yùn)動(dòng)的粒子(靜質(zhì)量)的能量和動(dòng)量由下式給出: (1) (2)試根據(jù)哈密頓量 (3)及正則方程式來檢驗(yàn)以上二式.由此得出粒子速度和德布羅意的群速度相等的關(guān)系.計(jì)算速度并證明它大于光速.(解)根據(jù)(3)式來組成哈氏正則方程式組:,本題中,因而 (4)從前式解出(用表示)即得到(2).又若將(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度和它的物質(zhì)波的群速度間的關(guān)系.運(yùn)用德氏的假設(shè): 于(3)式右方, 又用于(3)式左方,遍除:按照波包理論，波包群速度是角頻率丟波數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)： =最后一式按照（4）式等于粒子速度，因而。又按一般的波動(dòng)理論，波的相速度是由下式規(guī)定 （是頻率）利用（5）式得知 （6）故相速度（物質(zhì)波的）應(yīng)當(dāng)超過光速。最后找出和的關(guān)系，將（1）（2）相除，再運(yùn)用德氏波假設(shè)：， （7）#6（1）試用Fermat最小光程原理導(dǎo)出光的折射定律 （2）光的波動(dòng)論的擁護(hù)者曾向光的微粒論者提出下述非難： 如認(rèn)為光是粒子，則其運(yùn)動(dòng)遵守最小作用量原理 認(rèn)為則這將導(dǎo)得下述折射定律這明顯違反實(shí)驗(yàn)事實(shí)，即使考慮相對(duì)論效應(yīng)，則對(duì)自由粒子：仍就成立，E是粒子能量，從一種媒質(zhì)到另一種媒質(zhì)E仍不變，仍有，你怎樣解決矛盾？（解）甲法：光線在同一均勻媒質(zhì)中依直線傳播，因此自定點(diǎn)A到定點(diǎn)B的路徑是兩段直線：光程設(shè)A，B到界面距離是a,b(都是常量)有又AB沿界面的投影c也是常數(shù)，因而，存在約束條件： （2）求(1)的變分,而將,看作能獨(dú)立變化的,有以下極值條件 (3)再求（2）的變分 (3)與(4)消去和得 (5)乙法見同一圖,取為變分參數(shù),取0為原點(diǎn)，則有: 求此式變分,令之為零,有： 這個(gè)式子從圖中幾何關(guān)系得知,就是(5).(2)按前述論點(diǎn)光若看作微粒則粒子速度應(yīng)等于光波的群速度光程原理作,依前題相速,而,是折射率,是波前陣面更引起的,而波陣面速度則是相速度,這樣最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.前一非難是將光子的傳播速度看作相速度的誤解.#7當(dāng)勢(shì)能改變一常量C時(shí),即,粒子的波函數(shù)與時(shí)間無關(guān)部分變否?能量本征值變否? (解)設(shè)原來的薛定諤方程式是 將方程式左邊加減相等的量得: 這兩個(gè)方程式從數(shù)學(xué)形式上來說完全相同,因此它們有相同的解,從能量本征值來說,后者比前者增加了C。#8設(shè)粒子勢(shì)能的極小值是 (證)先求粒子在某一狀態(tài)中的平均值能量其中動(dòng)能平均值一定為正: = =用高斯定理: =中間一式的第一項(xiàng)是零,因?yàn)榧俣M足平方可積條件,因而因此 ,能讓能量平均值 因此令(本征態(tài))則而 得證#9設(shè)粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng) (1)證明其能量的平均值是: (1)其中W是能量密度 (2)證明能量守恒公式 (2)其中 (能流密度)(證明)(1)三維粒子的能量算符是: (3)求在狀態(tài)中的平均值 由于，將此式代入前一式：最末一式按高斯定理化為面積分若滿足平方可積條件，則，S考慮為無限遠(yuǎn)處的界面。結(jié)果證得公式求式中能量密度W的時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)，注意。一般都含時(shí)間，也是如此，因而： 粒子滿足含時(shí)間薛定諤方程及其共軛方程式： 又設(shè)則有公式得證。10設(shè)N個(gè)粒子的哈密頓量為： 是它的任一態(tài)函數(shù)，定義： 求證： 證明按定義： 多粒子的體系的狀態(tài)應(yīng)當(dāng)滿足多粒子薛定諤方程式，寫出這個(gè)方程式和其共軛方程式： （6a） (6b)將前二式等式右方的式子代替左方的，代進(jìn)式 又待證的公式的等號(hào)左方第二項(xiàng)是： -將式兩個(gè)求和合一，注意到的項(xiàng)不存在，因而等值異號(hào)。11設(shè)與是薛定諤方程式兩個(gè)解，證明與時(shí)間無關(guān)。證明試將此式對(duì)時(shí)間求偏導(dǎo)數(shù)，再利用，所滿足的薛定諤方程式，有：因 最后一道等號(hào)是利用高斯定理將題給的體積分（）變換成（）的包圍面S的面積分，若1，2滿足平方可積條件 等，可使這面積分等于零。所以體積分是與時(shí)間無關(guān)的。#12 考慮單粒子的薛定諤方程式： V1，V2為實(shí)函數(shù)，證明粒子的幾率不守恒。求出在空間體積內(nèi)，粒子幾率“喪失”或“增加”的速率。解：要證明幾率不守恒，可以計(jì)算總幾率的時(shí)間變化率，先考察空間一定體積中粒子出現(xiàn)的總幾率，按Born假設(shè)，總幾率是 求總幾率的時(shí)間變化率 （1）再根據(jù)薛定諤方程式和其共軛方程式求出和，有 （2）將（2）代入（1），化簡(jiǎn)后得 利用高斯定理將右方第一項(xiàng)變形： （3）如果粒子的運(yùn)動(dòng)范圍是無限的，并且符合平方可積條件，則在無限遠(yuǎn)處，因而（3）式的面積分等于0。 （4）這證明總幾率不守恒，因?yàn)椤Ｈ绻疾煊邢摅w積之內(nèi)總幾率的變化率，令：（3）式改寫為： （5）是空間內(nèi)粒子幾率減少或增加的速度，右方是指的包圍面S上幾率流動(dòng)的速度（流進(jìn)或流出），右方指由虛數(shù)勢(shì)能引起的，附加的幾率變化速率，題目所指的是這一項(xiàng)。 13對(duì)于一維自由運(yùn)動(dòng)粒子，設(shè)求。 （解）題給條件太簡(jiǎn)單，可以假設(shè)一些合理的條件，既然是自由運(yùn)動(dòng)，可設(shè)粒子動(dòng)量是，能量是E，為了能代表一種最普遍的一維自由運(yùn)動(dòng)，可以認(rèn)為粒子的波函數(shù)是個(gè)波包（許多平面波的疊加），其波函數(shù)： （1）這是一維波包的通用表示法，是一種福里哀變換，上式若令應(yīng)有 （2）但按題意，此式等于。但我們知道一維函數(shù)一種表示是： （3）將（2）（3）二式比較：知道，并且求得，于是（1）成為 （4）這是符合初條件的波函數(shù)，但之間尚有約束條件（因?yàn)槭亲杂闪Ｗ樱偰芰康扔趧?dòng)能），代入（4） （5）將此式變形成高斯積分，容易得到所需結(jié)果： 利用積分 ： 寫出共軛函數(shù)（前一式變號(hào)）： 本題也可以用Fresnel積分表示，為此可將（6）式積分改為：用課本公式得，兩者相乘，可得相同的結(jié)果。# 14在非定域勢(shì)中粒子的薛定諤方程式是： （1）求幾率守恒對(duì)非定域勢(shì)的要求。此時(shí)，只依賴于波函數(shù)在空間一點(diǎn)的幾率波是否存在？ 解按題意，是要求寫出幾率守恒的條件，從這個(gè)條件尋出應(yīng)當(dāng)遵守的要求。幾率守恒的條件是： 或 (2 )與13題類似，可寫出1的共軛方程式： (3 )將1和3中的和想等同的式子代入到2式中去，就得到如下的條件：將前式等號(hào)左方第一項(xiàng)變成面積分高斯定理，第二項(xiàng)變成六重積分： (4 )前式等號(hào)左方第一項(xiàng)由于波函數(shù)平方可積條件（）可消去，因和形式相同,對(duì)易： （5）這積分式定積分，它等于零的可能性要求被積函數(shù)為零，即： 因此必須是實(shí)函數(shù)。#15寫出動(dòng)量表象中的薛定諤方程式。解本題可有二中A含時(shí)間薛定諤方程式，B定態(tài)薛定諤方程式。A寫出含時(shí)間薛氏方程式： （1）為將前式變換成動(dòng)量表象，可寫出含時(shí)間的表象變換式： （2） （3）為了能用（3）變換（1）式，將（1）式遍乘，對(duì)空間積分： 左方變形 (4)等號(hào)右方第一積分是可以用三重積分的分部積分來變形的，這式寫成標(biāo)量： (5)計(jì)算（5）的x部分分部積分法：關(guān)于的積分按同法計(jì)算，（5）式的結(jié)果是再計(jì)算（4）式右方第二積分 （7）但最后一個(gè)積分中指坐標(biāo)空間，指動(dòng)量相空間，最后將（4）（6）（7）綜合起來就得到動(dòng)量表象的積分方程式如下： （8）若要將定態(tài)薛定諤方程式從坐標(biāo)表象變成動(dòng)量表象，運(yùn)算步驟和上面只有很少的差別，設(shè)粒子能量為E，坐標(biāo)表象的薛氏方程： 動(dòng)量表象方程也是積分方程式，其中G（）是這個(gè)方程式的核（Kernel） （9）#16*設(shè)在曲線坐標(biāo)（）中線元ds表為 寫出這曲線坐標(biāo)中的薛定諤方程式，寫出球面坐標(biāo)系中的薛定諤方程式。（解）同樣關(guān)于y,z有類似的二式。（這里為書寫方便q的上標(biāo)改成下標(biāo)。）*參看Amer.J.Phys.Vol.41.1973-11令為坐標(biāo)變換系數(shù)：設(shè)沿曲線坐標(biāo)等勢(shì)面的單位矢量是則 （1）代入直角坐標(biāo)薛定諤方程式： （2）但 在球坐標(biāo)情形式正交坐標(biāo)系代入后得 化簡(jiǎn)得#17證明從單粒子的薛定諤方程式得出的速度場(chǎng)是非旋的，即 （證明）薛定諤方程式為： （1）根據(jù)它的解和它的共軛波函數(shù)可寫出幾率密度和幾率流密度： 速度算符 因而證明v是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的對(duì)數(shù)的梯度。梯度