ab672c69d01a4a9190fab99f609f111c.pdf在初等數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生探究思維能力第 二 篇-用幾何畫板輔助教學(xué)重慶濱江實(shí)驗(yàn)學(xué)校 朱 波【摘 要】 本文借用了兩道幾何探究性題目，從而說明了幾何畫板這一軟件在探究軌跡這一類幾何題目中的應(yīng)用，表現(xiàn)了用多媒體課件教學(xué)的優(yōu)勢，從而提倡在平時的教學(xué)中盡量借助幾何畫板來反映有關(guān)軌跡運(yùn)動的探究問題。【關(guān)鍵詞】 幾何畫板 軌跡 探究問題從在初等數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生探究思維能力（第一篇）一文中最后一道例題，我們還有很大的發(fā)散潛力。我們再來回顧一下此題。過定O外一定點(diǎn)A，引該圓的割線ABC，求所得諸弦的中點(diǎn)P的軌跡。從上圖，我們可以看到一些特殊點(diǎn)，E、F、B0、C0。我們思考以下幾個問題：（1）E、F這兩個點(diǎn)是什么點(diǎn)？（2）E、F與割線在O上截成的弦線段有什么樣的關(guān)系？以上兩個問題有助于幫助學(xué)生探究中點(diǎn)P的軌跡。第（1）個問題中，E、F兩個點(diǎn)實(shí)際上是O的兩個切點(diǎn)。那么這兩個切點(diǎn)是怎樣形成的呢？實(shí)際上就是在割線ABC走到與O相切時，成了E或F點(diǎn)，那么這時的弦BC中點(diǎn)P到哪里去了呢？實(shí)際上因?yàn)橄褺C變成了一個點(diǎn)，那么P點(diǎn)也與BC重合成了一點(diǎn)，即E或F。第（2）個問題中，E、F與割線在O上截成的弦線段是特殊與一般的關(guān)系。現(xiàn)在我們再來看，中點(diǎn)P究竟形成一條什么樣的軌跡。我們?yōu)榱四茏寣W(xué)生看得更清楚，借用了幾何畫板軟件做了一課件，從動畫的手段來反映這個問題。制作課件的步驟如下：（一） 打開幾何畫板軟件，打開一個新繪圖畫面。（二） 用工具箱上的畫圓工具，在新畫板畫面上畫出一個O（三） 用工具箱上的畫線段工具，在O的旁邊畫出一條線段AB（四） 用工具箱上的 選擇箭頭同時選擇點(diǎn)B與O的圓周，在編輯菜單下選擇按鈕選項(xiàng)下的動畫選項(xiàng)，會屏幕上出現(xiàn)一個對話框：其中在中間有一行字“點(diǎn)B繞著圓C1單向快速地移動”，這樣就描述了點(diǎn)運(yùn)行的軌跡。按下動畫標(biāo)簽在屏幕上此時會產(chǎn)生一個動畫按鈕（五） 按下這個動畫按鈕。此時線段的B點(diǎn)會在O上繞著O的邊緣上運(yùn)動國，那么線段AB與O必然有另一交點(diǎn)。（六）點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵選擇構(gòu)造 交點(diǎn)，那么必然形成另一交點(diǎn)C（七）選擇B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵，選擇構(gòu)造 線段（八）選擇線段BC點(diǎn)擊鼠右鍵，選擇構(gòu)造 中點(diǎn)此時會在線段BC上形成一個中點(diǎn)D。（九）選擇點(diǎn)D，點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵，選中跟蹤中點(diǎn)軌跡最后再點(diǎn)擊屏幕上的動畫按鈕 這時再讓學(xué)生觀察屏幕，可以發(fā)現(xiàn)在O內(nèi)形成了一道黑色的圓弧，這一道黑色的圓弧即為圓的一部分，這道圓弧即為O中移動弦BD的中點(diǎn)E的軌跡。從上面的幾何畫板制作的課件屏示的這種點(diǎn)的運(yùn)動軌跡來看，應(yīng)該是比較直觀的，從而能夠解決黑板上無法展示運(yùn)動過程的問題。那么從這里就反映出了多媒體教學(xué)的優(yōu)勢。剩下的問題就是讓學(xué)生明白，為什么軌跡會形成一段圓弧。實(shí)際上只需要連結(jié)的圓心O點(diǎn)和割線ABC與O相切時的一個切點(diǎn)E，那么點(diǎn)A、E、O三點(diǎn)構(gòu)成的一個三角形即為一直角形，那么斜邊AO為軌跡所在圓的直徑。從以上的論述我們可以總結(jié)出這樣一種授課思路：對有關(guān)幾何問題的探究性問題的教學(xué)，可以適當(dāng)?shù)赜脦缀萎嫲逯瞥梢恍﹦赢嫷恼n件，讓學(xué)生有一個比較直觀的印象，這樣有助于學(xué)生的理解。下面，我們再把上面這道題的原文修改一下，便可以發(fā)展成另外一道探究性題目：過定O外一定點(diǎn)A，引該圓的切線段AB，切點(diǎn)為B，求：當(dāng)B點(diǎn)在O上轉(zhuǎn)一周后又回到原來的位置時，線段AB的中點(diǎn)C的軌跡。此題仍可使用幾何畫板軟件制成課件進(jìn)行演示，操作步驟如下：（一） 打開幾何畫板軟件，打開一個新繪圖（二） 用工具箱上的畫圖工具在屏幕上畫一個O（三） 用畫直線段的工具在圓的旁邊畫出一條線段AB（四） 選擇線段AB，點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵，選擇構(gòu)造 中點(diǎn)，生成一個中點(diǎn)C（五） 選擇點(diǎn)C，點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵，選擇顯示 軌跡跟蹤中點(diǎn)（六） 同時選中O與點(diǎn)B，選擇編輯菜單下的按鈕項(xiàng) 動畫此時按下屏幕上的動畫按鈕，然后可以看見線段的中點(diǎn)C在屏幕上形成了一個黑圓，即表示中點(diǎn)C的軌跡是一個圓。 通過以上幾何畫板的課件演示，學(xué)生就會明白，這樣運(yùn)動的點(diǎn)走過的軌跡究竟是一個什么樣的圖形；而若僅是在黑板上用粉筆畫出一個圖形，始終只能是靜態(tài)的，無法展示動態(tài)的效果。對探究性問題，由于不好在黑板上表達(dá)出探究問題的過程，所以多以課件演示代替黑板上手工畫圖，這樣容易產(chǎn)生一個連續(xù)的圖形效果。下面的問題就是如何證明中點(diǎn)C的軌跡是一個圓：可有兩種證明思路，下面簡述一下：第一種：用平面幾何的思路，如下圖:實(shí)際上關(guān)健是證明C1CC2為Rt，那么只需要證明，B1BB2C1CC2，證明略。第二種：用平面解析幾何的思路，如下圖：以A、O兩點(diǎn)的連線為坐標(biāo)系的X軸，過O點(diǎn)和AO連線垂直的的直線為Y軸，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，C點(diǎn)坐標(biāo)為：又因?yàn)锽點(diǎn)的軌跡方程為 x2+y2=R2，所以代入B點(diǎn)軌跡方程得：+=整理得：這樣可知C點(diǎn)的軌跡是一個圓，圓心為（,0）,半徑為.總結(jié)以上兩道探究性題目的課件制作，我們可以發(fā)現(xiàn)，用幾何畫線可以很直觀地反映出有關(guān)軌跡