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9 5絕對收斂級數和條件收斂級數的性質 定理1對于級數 將它的所有正項保留而將負項換為0 組成一個級數記為 將它的所以負項變號 乘上因子 1 而將正項換為0 也組成一個正項級數記為亦即那么 i 若級數絕對收斂 則級數和級數都收斂 ii 若級數條件收斂 則級數和級數都發散 證明 i 若級數絕對收斂 由于按比較判別法 級數和級數都收斂 ii 若為條件收斂 用反證法證明定理的第二結論 假設級數和級數中至少有一個是收斂的 不妨假設為收斂級數 那么 由于于是得知亦必為收斂 又由于 所以得知級數絕對收斂 此與已知條件矛盾 因此證明了兩個級數和都發散 定理2絕對收斂級數的更序級數仍為絕對收斂 且其和相同 證明 i 我們先證明當為收斂的正項級數的情形 考慮更序級數的部分和 因為所以 取大于所有下標后 顯然有又由于正項級數 于是對一切成立按照正項級數收斂的基本定理 更序級數亦收斂 設其和為 故有 另一方面級數也可視為級數的更序級數故又有 得知 ii 再來證明為任意絕對收斂級數的情形 仍舊記級數和分別為的所有正項和所有組成的級數 由定理1知道 這兩個級數都收斂 設它們的和分別是和 則有由 i 中的結論知道 的更序級數成立著這就表明了更序級數是絕對收斂的 再設和分別為級數和的更序級數 由 i 的結論知道 而 所以這樣就證明了定理 注意 這個定理對條件收斂級數而言 卻不一定成立 例如萊布尼茲型級數 定理3 柯西定理 若級數和都絕對收斂 其和分別為和 則它們各項之積按照任何方法排列所構成的級數絕對收斂 且其和為 證明略 例如 級數 絕對收

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