第五章數列 5 4數列求和 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 審題路線圖系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 求數列的前n項和的方法 1 公式法 等差數列的前n項和公式sn 等比數列的前n項和公式 當q 1時 sn 當q 1時 sn na1 知識梳理 1 答案 2 分組轉化法把數列的每一項分成兩項或幾項 使其轉化為幾個等差 等比數列 再求解 3 裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差求和 正負相消剩下首尾若干項 常見的裂項公式 4 倒序相加法把數列分別正著寫和倒著寫再相加 即等差數列求和公式的推導過程的推廣 5 錯位相減法主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和 即等比數列求和公式的推導過程的推廣 6 并項求和法一個數列的前n項和中 可兩兩結合求解 則稱之為并項求和 形如an 1 nf n 類型 可采用兩項合并求解 例如 sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 思考辨析 答案 答案 b 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 c 解析答案 1 2 3 4 5 b 解析答案 1 2 3 4 5 4 若數列 an 的通項公式為an 2n 2n 1 則數列 an 的前n項sn 2n 1 2 n2 解析答案 1 2 3 4 5 1008 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 解當n 1時 a1 s1 1 a1也滿足an n 故數列 an 的通項公式為an n 分組轉化法求和 題型一 解析答案 2 設bn 1 nan 求數列 bn 的前2n項和 解由 1 知an n 故bn 2n 1 nn 記數列 bn 的前2n項和為t2n 則t2n 21 22 22n 1 2 3 4 2n 記a 21 22 22n b 1 2 3 4 2n b 1 2 3 4 2n 1 2n n 故數列 bn 的前2n項和t2n a b 22n 1 n 2 解析答案 例1 2 中 求數列 bn 的前n項和tn 引申探究 解析答案 思維升華 解由 1 知bn 2n 1 n n 當n為偶數時 tn 21 22 2n 1 2 3 4 n 1 n 思維升華 某些數列的求和是將數列分解轉化為若干個可求和的新數列的和或差 從而求得原數列的和 這就要通過對數列通項結構特點進行分析研究 將數列的通項合理分解轉化 特別注意在含有字母的數列中對字母的討論 思維升華 已知數列 an 的通項公式是an 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 求其前n項和sn 跟蹤訓練1 解析答案 解sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 所以當n為偶數時 當n為奇數時 例2 2015 湖北 設等差數列 an 的公差為d 前n項和為sn 等比數列 bn 的公比為q 已知b1 a1 b2 2 q d s10 100 1 求數列 an bn 的通項公式 錯位相減法求和 題型二 解析答案 解析答案 思維升華 用錯位相減法求和時 應注意 1 要善于識別題目類型 特別是等比數列公比為負數的情形 2 在寫出 sn 與 qsn 的表達式時應特別注意將兩式 錯項對齊 以便下一步準確寫出 sn qsn 的表達式 3 在應用錯位相減法求和時 若等比數列的公比為參數 應分公比等于1和不等于1兩種情況求解 思維升華 跟蹤訓練2 解析答案 an an 1 an an 1 2 0 an an 1 0 an an 1 2 n 2 數列 an 是以3為首項 2為公差的等差數列 an 3 2 n 1 2n 1 2 已知bn 2n 求tn a1b1 a2b2 anbn的值 解tn 3 21 5 22 2n 1 2n 2tn 3 22 5 23 2n 1 2n 2n 1 2n 1 得tn 3 21 2 22 23 2n 2n 1 2n 1 6 8 2 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 解析答案 裂項相消法求和 題型三 解析答案 即a1 3或2 又an為正數 所以a1 2 解由題意知 令n 1 2 求數列 an 的通項公式 sn 3 sn n2 n 0 則sn n2 n或sn 3 又數列 an 的各項均為正數 所以sn n2 n sn 1 n 1 2 n 1 所以當n 2時 an sn sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 又a1 2 2 1 所以an 2n 解析答案 解析答案 解析答案 思維升華 思維升華 思維升華 跟蹤訓練3 解析答案 即2sn 1sn sn 1 sn 由題意得sn 1 sn 0 解析答案 返回 審題路線圖系列 審題路線圖系列 四審結構定方案 審題路線圖 解析答案 返回 溫馨提醒 審題路線圖 審題路線圖 解析答案 當n 1時 上式也成立 規范解答 解析答案 解析答案 溫馨提醒 溫馨提醒 返回 思想方法感悟提高 非等差 等比數列的一般數列求和 主要有兩種思想 1 轉化的思想 即將一般數列設法轉化為等差或等比數列 這一思想方法往往通過通項分解或錯位相消來完成 2 不能轉化為等差或等比的特殊數列 往往通過裂項相消法 錯位相減法 倒序相加法 并項法 數列的周期性等來求和 方法與技巧 1 直接應用公式求和時 要注意公式的應用范圍 如當等比數列公比為參數 字母 時 應對其公比是否為1進行討論 2 在應用錯位相減法時 注意觀察未合并項的正負號 結論中形如an an 1的式子應進行合并 3 在應用裂項相消法時 要注意消項的規律具有對稱性 即前剩多少項則后剩多少項 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 已知 an 為等差數列 其公差為 2 且a7是a3與a9的等比中項 sn為 an 的前n項和 n n 則s10的值為 a 110b 90c 90d 110 d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 已知函數f n n2cos n 且an f n f n 1 則a1 a2 a3 a100等于 a 100b 0c 100d 10200 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析若n為偶數 則an f n f n 1 n2 n 1 2 2n 1 所以an是首項為a2 5 公差為 4的等差數列 若n為奇數 則an f n f n 1 n2 n 1 2 2n 1 所以an是首項為a1 3 公差為4的等差數列 答案a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 數列 an 中 an 1 1 nan 2n 1 則數列 an 前12項和等于 a 76b 78c 80d 82解析由已知an 1 1 nan 2n 1 得an 2 1 n 1 an 1 2n 1 得an 2 an 1 n 2n 1 2n 1 取n 1 5 9及n 2 6 10 結果相加可得s12 a1 a2 a3 a4 a11 a12 78 故選b b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由題意 得a1 a2 a3 a100 12 22 22 32 32 42 42 52 992 1002 1002 1012 1 2 3 2 4 3 99 100 101 100 1 2 99 100 2 3 100 101 50 101 50 103 100 故選b b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 在等差數列 an 中 a1 0 a10 a11 0 若此數列的前10項和s10 36 前18項和s18 12 則數列 an 的前18項和t18的值是 解析由a1 0 a10 a11 0可知d 0 a10 0 a11 0 t18 a1 a10 a11 a18 s10 s18 s10 60 60 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 整數數列 an 滿足an 2 an 1 an n n 若此數列的前800項的和是2013 前813項的和是2000 則其前2015項的和為 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由an 2 an 1 an 得an 2 an an 1 an an 1 易得該數列是周期為6的數列 且an 2 an 1 0 s800 a1 a2 2013 s813 a1 a2 a3 2000 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由此可知an 1 an 2 an 3 an 4 an 5 an 6 0 s2015 s5 13 答案 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 已知數列 an 中 a1 3 a2 5 且 an 1 是等比數列 1 求數列 an 的通項公式 解 an 1 是等比數列且a1 1 2 an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若bn nan 求數列 bn 的前n項和tn 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解bn nan n 2n n 故tn b1 b2 b3 bn 2 2 22 3 23 n 2n 1 2 3 n 令t 2 2 22 3 23 n 2n 則2t 22 2 23 3 24 n 2n 1 兩式相減 得 t 2 22 23 2n n 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 t 2 1 2n n 2n 1 2 n 1 2n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 得 sn n2 n sn 1 0 由于 an 是正項數列 所以sn 1 0 所以sn n2 n n n n 2時 an sn sn 1 2n n 1時 a1 s1 2適合上式 所以an 2n n n 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 證明由an 2n n n 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 已知數列2008 2009 1 2008 2009 這個數列的特點是從第二項起 每一項都等于它的前后兩項之和 則這個數列的前2014項之和s2014等于 a 2008b 2010c 1d 0解析由已知得an an 1 an 1 n 2 an 1 an an 1 故數列的前8項依次為2008 2009 1 2008 2009 1 2008 2009 由此可知數列為周期數列 周期為6 且s6 0 2014 6 335 4 s2014 s4 2008 2009 1 2008 2010 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 當n 17時 an 0 從而b1 b2 b14 0 b17 b18 b15 a15a16a17 0 b16 a16a17a18 0 故s14 s13 s1 s14 s15 s15 s16 s16 s17 s18 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以b15 b16 a16a17 a15 a18 0 所以s16 s14 故當sn取得最大值時n 16 答案16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又an 0 2an 1 anan 1 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7