第3講導數與函數的單調性 極值 最值問題 高考定位常以指數 對數式為載體 考查函數單調性的求法或討論 以及考查函數極值 最值的求法 綜合考查與范圍有關的問題 真題感悟 考點整合 1 導數與函數的單調性 1 函數單調性的判定方法 設函數y f x 在某個區間內可導 如果f x 0 則y f x 在該區間為增函數 如果f x 0 則y f x 在該區間為減函數 2 函數單調性問題包括 求函數的單調區間 常常通過求導 轉化為解方程或不等式 常用到分類討論思想 利用單調性證明不等式或比較大小 常用構造函數法 2 極值的判別方法 當函數f x 在點x0處連續時 如果在x0附近的左側f x 0 右側f x 0 那么f x0 是極大值 如果在x0附近的左側f x 0 右側f x 0 那么f x0 是極小值 也就是說x0是極值點的充分條件是點x0兩側導數異號 而不是f x 0 此外 函數不可導的點也可能是函數的極值點 而且極值是一個局部概念 極值的大小關系是不確定的 即有可能極大值比極小值小 3 閉區間上函數的最值 在閉區間上連續的函數 一定有最大值和最小值 其最大值是區間的端點處的函數值和在這個區間內函數的所有極大值中的最大者 最小值是區間端點處的函數值和在這個區間內函數的所有極小值中的最小者 熱點一利用導數研究函數的單調性 微題型1 求解含參函數的單調區間 1 若a 0 求曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程 2 討論函數f x 的單調性 探究提高討論函數的單調性其實質就是討論不等式的解集的情況 大多數情況下 這類問題可以歸結為一個含有參數的一元二次不等式的解集的討論 常需依據以下標準分類討論 1 二次項系數為0 為正 為負 目的是討論開口方向 2 判別式的正負 目的是討論對應二次方程是否有解 3 討論兩根差的正負 目的是比較根的大小 4 討論兩根與定義域的關系 目的是根是否在定義域內 另外 需優先判斷能否利用因式分解法求出根 微題型2 已知函數的單調區間求參數范圍 例1 2 已知a r 函數f x x2 ax ex x r e為自然對數的底數 1 當a 2時 求函數f x 的單調遞增區間 2 若函數f x 在 1 1 上單調遞增 求a的取值范圍 3 函數f x 是否為r上的單調函數 若是 求出a的取值范圍 若不是 請說明理由 探究提高 1 已知函數的單調性 求參數的取值范圍 應用條件f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 解出參數的取值范圍 一般可用不等式恒成立的理論求解 應注意參數的取值是f x 不恒等于0的參數的范圍 2 可導函數f x 在某個區間d內單調遞增 或遞減 轉化為恒成立問題時 常忽視等號這一條件 導致與正確的解法擦肩而過 注意 這里 一定不能省略 1 當a 0時 求曲線y f x 在點 e f e 處的切線方程 e 2 718 2 求函數f x 的單調區間 熱點二利用導數研究函數的極值 例2 2015 山東卷 設函數f x ln x 1 a x2 x 其中a r 1 討論函數f x 極值點的個數 并說明理由 2 若 x 0 f x 0成立 求a的取值范圍 所以當x 1 x1 時 g x 0 f x 0 函數f x 單調遞增 當x x1 x2 時 g x 0 f x 0 函數f x 單調遞減 當x x2 時 g x 0 f x 0 函數f x 單調遞增 因此函數有兩個極值點 當a 0時 0 由g 1 1 0 可得x1 1 當x 1 x2 時 g x 0 f x 0 函數f x 單調遞增 當x x2 時 g x 0 f x 0 函數f x 單調遞減 所以函數有一個極值點 綜上所述 當a 0時 函數f x 有一個極值點 探究提高極值點的個數 一般是使f x 0方程根的個數 一般情況下導函數若可以化成二次函數 我們可以利用判別式研究 若不是 我們可以借助導函數的性質及圖象研究 訓練2 設函數f x ax3 2x2 x c 1 當a 1 且函數圖象過 0 1 時 求函數的極小值 2 若f x 在r上無極值點 求a的取值范圍 熱點三利用導數研究函數的最值 例3 2016 杭州質檢 已知a r 函數f x x3 3x2 3ax 3a 3 1 求曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程 2 當x 0 2 時 求 f x 的最大值 解 1 由題意得f x 3x2 6x 3a 故f 1 3a 3 又f 1 1 所以所求的切線方程為y 3a 3 x 3a 4 2 由于f x 3 x 1 2 3 a 1 0 x 2 故 當a 0時 有f x 0 此時f x 在 0 2 上單調遞減 探究提高含參數的函數的極值 最值 問題常在以下情況下需要分類討論 1 導數為零時自變量的大小不確定需要討論 2 導數為零的自變量是否在給定的區間內不確定需要討論 3 端點處的函數值和極值大小不確定需要討論 4 參數的取值范圍不同導致函數在所給區間上的單調性的變化不確定需要討論 訓練3 已知函數f x xlnx 1 如果一個函數具有相同單調性的區間不止一個 這些單調區間不能用 連接 而只能用逗號或 和 字隔開 2 可導函數在閉區間 a b 上的最值 就是函數在該區間上的極值及端點值中的最大值與最小值 3 可導函數極值的理解 1 函數在定義域上的極大值與極小值的大小關系不確定 也有可能極小值大于極大值 2 對于可導函數f x f x 在x x0處的導數f x0 0 是 f x 在x x0處取得極值 的必要不充分條件 3 注意導函數的圖象與原函數圖象的關系 導函數由正變負的零點是原函數的極大值點 導函數由負變正的零點是原函數的極小值點 4 求函數的單調區間時 若函數的導函數中含有帶參數的有理因式 因式根的個數 大小 根是否在定義域內可