廣東省江門市普通高中2015屆高三 上學期調考數學試卷（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1（5分）已知r為實數集，a=x|2x33x，b=x|x2，則ab=（）ax|x2bx|x3cx|2x3dr2（5分）i是虛數單位，則=（）a1bicidi3（5分）已知三個實數：、c=log3，它們之間的大小關系是（）aabcbacbcbcadbac4（5分）已知是非零向量，則“”是“”成立的（）a充分非必要條件b必要非充分條件c非充分非必要條件d充要條件5（5分）如圖，某幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖分別是直角三角形、等腰三角形和半圓，則該幾何體的體積為（）a4b8c2d46（5分）在abc中，a、b、c的對邊分別為a、b、c，若a=75，b=60，c=10，則b=（）a5b5c10d107（5分）在同一直角坐標系中，直線=1與圓x2+y2+2x4y4=0的位置關系是（）a直線經過圓心b相交但不經過圓心c相切d相離8（5分）已知函數f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x00，則a的取值范圍是（）a（2，+）b（1，+）c（，2）d（，1）二、填空題：本大題共5小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分25分（一）必做題（913題）9（5分）雙曲線9x216y2=144的離心率等于10（5分）abc是等腰直角三角形，已知a（1，1），b（1，3），abbc，點c在第一象限，點（x，y）在abc內部，則點c的坐標為，z=2xy的最大值是11（5分）如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，m、n分別是cd、cc1的中點，則異面直線a1m與dn所成的角的大小是12（5分）若f（x）=，則f（x）的最小值是13（5分）已知數列an滿足a1=，an=1（n1），計算并觀察數列an的前若干項，根據前若干項的變化規律推測，a2015=三.選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）14（5分）計算定積分：15已知定義在區間（，）上的函數f（x）=xsinx+cosx，則f（x）的單調遞增區間是三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（12分）已知函數f（x）=2sinx（sinx+cosx），xr（1）求f（x）的最小正周期t和最大值m；（2）若，求cos的值17（14分）已知an是等差數列，a2=3，a3=5（1）求數列an的通項公式；（2）對一切正整數n，設bn=，求數列bn的前n項和sn18（14分）如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是正方形，側棱pd底面abcd，pd=dc，e是pc的中點，作efpb交pb于點f（1）證明pa平面edb；（2）證明pb平面efd； （3）求二面角cpbd的大小19（12分）一艘船每小時的燃料費與船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小時的燃料費是80元已知船航行時其他費用為500元/時，在100km航程中，航速多少時船行駛總費用最少？此時總費用多少元？20（14分）在平面直角坐標系xoy中，點a，b的坐標分別是（0，3），（0，3）直線am，bm相交于點m，且它們的斜率之積是（1）求點m的軌跡l的方程；（2）若直線l經過點p（4，1），與軌跡l有且僅有一個公共點，求直線l的方程21（14分）已知函數f（x）=x3+ax21（ar是常數）（1）設a=3，x=x1、x=x2是函數y=f（x）的極值點，試證明曲線y=f（x）關于點對稱；（2）是否存在常數a，使得x，|f（x）|33恒成立？若存在，求常數a的值或取值范圍；若不存在，請說明理由（注：曲線y=f（x）關于點m對稱是指，對于曲線y=f（x）上任意一點p，若點p關于m的對稱點為q，則q在曲線y=f（x）上）廣東省江門市普通高中2015屆高三上學期調考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1（5分）已知r為實數集，a=x|2x33x，b=x|x2，則ab=（）ax|x2bx|x3cx|2x3dr考點：并集及其運算 專題：集合分析：求出不等式2x33x的解集a，再由并集的運算求出ab解答：解：由2x33x得，x3，則a=x|x3，又b=x|x2，則ab=x|x3，故選：b點評：本題考查并集及其運算，屬于基礎題2（5分）i是虛數單位，則=（）a1bicidi考點：復數代數形式的乘除運算 專題：數系的擴充和復數分析：利用復數代數形式的乘除運算法則求解解答：解：=故選：d點評：本題考查復數的乘除運算，是基礎題，解題時要注意運算法則的合理運用3（5分）已知三個實數：、c=log3，它們之間的大小關系是（）aabcbacbcbcadbac考點：對數值大小的比較 專題：函數的性質及應用分析：根據指數函數和對數函數的圖象和性質，以0和1作為中間量，可比較出a，b，c的大小解答：解：30=1、0=1、c=log3log31=0，abc，故選：a點評：本題考查的知識點是指數式與對數式的大小比較，熟練掌握指數函數和對數函數的圖象和性質，是解答的關鍵4（5分）已知是非零向量，則“”是“”成立的（）a充分非必要條件b必要非充分條件c非充分非必要條件d充要條件考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷 專題：簡易邏輯分析：根據“”成立，得到（）=0，結合是非零向量，推出，根據充要條件的判定方法可得結論解答：解：，（）=0，是非零向量，故選：d點評：題主要考查了數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，以及必要條件、充分條件與充要條件的判斷，屬于基礎題5（5分）如圖，某幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖分別是直角三角形、等腰三角形和半圓，則該幾何體的體積為（）a4b8c2d4考點：由三視圖求面積、體積 專題：空間位置關系與距離分析：根據幾何體的三視圖，得該幾何體是底面為半圓的圓錐，求出幾何體的體積即可解答：解：根據幾何體的三視圖，得該幾何體是底面為半圓的圓錐，該幾何體的體積為v幾何體=s底面h=3=2故選：c點評：本題考查了空間幾何體的三視圖的應用問題，解題時應根據三視圖，得出該幾何體是什么幾何圖形6（5分）在abc中，a、b、c的對邊分別為a、b、c，若a=75，b=60，c=10，則b=（）a5b5c10d10考點：正弦定理 專題：解三角形分析：由a與b的度數求出c的度數，根據sinb，sinc，以及c的值，利用正弦定理求出b的值即可解答：解：在abc中，a=75，b=60，c=10，c=45，由正弦定理=得：b=5，故選：b點評：此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵7（5分）在同一直角坐標系中，直線=1與圓x2+y2+2x4y4=0的位置關系是（）a直線經過圓心b相交但不經過圓心c相切d相離考點：直線與圓的位置關系 專題：直線與圓分析：求出圓心到直線的距離大于零且小于半徑，可得直線和圓相交但不經過圓心解答：解：圓x2+y2+2x4y4=0，即 （x+1）2+（y2）2=9，表示以（1，2）為圓心、半徑等于3的圓由于圓心到直線=1的距離為=23，故直線和圓相交但不經過圓心，故選：b點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題8（5分）已知函數f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x00，則a的取值范圍是（）a（2，+）b（1，+）c（，2）d（，1）考點：函數零點的判定定理 專題：綜合題；導數的概念及應用分析：分類討論：當a0時，容易判斷出不符合題意；當a0時，由于而f（0）=10，x+時，f（x），可知：存在x00，使得f（x0）=0，要使滿足條件f（x）存在唯一的零點x0，且x00，則必須極小值f（）0，解出即可解答：解：當a=0時，f（x）=3x2+1=0，解得x=，函數f（x）有兩個零點，不符合題意，應舍去；當a0時，令f（x）=3ax26x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下： x （，0） 0（0，）（，+） f（x）+ 0 0+ f（x） 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增x，f（x），而f（0）=10，存在x0，使得f（x）=0，不符合條件：f（x）存在唯一的零點x0，且x00，應舍去當a0時，f（x）=3ax26x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下： x （，）（，0）0（0，+） f（x） 0+ 0 f（x） 單調遞減 極小值 單調遞增 極大值 單調遞減而f（0）=10，x+時，f（x），存在x00，使得f（x0）=0，f（x）存在唯一的零點x0，且x00，極小值f（）0，化為a24，a0，a2綜上可知：a的取值范圍是（，2）故選：c點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題二、填空題：本大題共5小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分25分（一）必做題（913題）9（5分）雙曲線9x216y2=144的離心率等于考點：雙曲線的簡單性質 專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：雙曲線方程化為標準方程，可得a=5，b=3，c=4，從而可求雙曲線的離心率解答：解：雙曲線9x216y2=144可化為，所以a=4，b=3，c=5，所以離心率e=故答案為：點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的幾何性質，確定雙曲線的幾何量是關鍵10（5分）abc是等腰直角三角形，已知a（1，1），b（1，3），abbc，點c在第一象限，點（x，y）在abc內部，則點c的坐標為（3，3），z=2xy的最大值是3考點：簡單線性規劃 專題：不等式的解法及應用分析：根據等腰直角三角形的定義先求出c的坐標，利用線性規劃的知識即可得到結論解答：解：a（1，1），b（1，3），abbc，點c在第一象限，|ab|=31=2，設c（x，y），則x0，y0，abc是等腰直角三角形，|bc|=|x1|=2，解得x=3或x=1（舍），即c（3，3），由z=2xy得y=2xz，平移直線y=2xz，由圖象可知當直線y=2xz經過點c時，直線y=2xz的截距最小，此時z最大，此時z=2xy=233=3，故答案為：（3，3），3點評：本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決本題的關鍵11（5分）如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，m、n分別是cd、cc1的中點，則異面直線a1m與dn所成的角的大小是90考點：異面直線及其所成的角 專題：計算題分析：以d為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量的方法求出與夾角求出異面直線a1m與dn所成的角解答：解：以d為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系設棱長為2，則d（0，0，0），n（0，2，1），m（0，1，0），a1（2，0，2），=（0，2，1），=（2，1，2）=0，所以，即a1mdn，異面直線a1m與dn所成的角的大小是90，故答案為：90點評：本題考查空間異面直線的夾角求解，采用了向量的方法向量的方法能降低空間想象難度，但要注意有關點，向量坐標的準確否則容易由于計算失誤而出錯12（5分）若f（x）=，則f（x）的最小值是1考點：函數的最值及其幾何意義 專題：函數的性質及應用分析：根據分段函數的表達式，分別求出對應的取值范圍即可得到結論解答：解：作出函數f（x）的圖象如圖：當x0，f（x）=x0，當x0時，f（x）=x22x=（x1）211，故當x=1時，函數f（x）取得最小值為1，故答案為：1點評：本題主要考查函數最值的求解，根據分段函數的表達式結合函數的性質是解決本題的關鍵13（5分）已知數列an滿足a1=，an=1（n1），計算并觀察數列an的前若干項，根據前若干項的變化規律推測，a2015=5考點：歸納推理 專題：計算題；推理和證明分析：確定數列an是以3為周期的周期數列，即可得出結論解答：解：a1=，an=1，a2=5，a3=，a4=，數列an是以3為周期的周期數列，a2015=a2=5，故答案為：5點評：本題考查歸納推理，確定數列an是以3為周期的周期數列是解題的關鍵三.選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）14（5分）計算定積分：2考點：定積分 專題：導數的概念及應用分析：根據的導數為得到原函數是，寫出當自變量取兩個不同的值時，對應的函數值，讓兩個數字相減得到結果解答：解：=42=2故答案為：2點評：本題考查定積分，關鍵是求出原函數，屬于一道基礎題15已知定義在區間（，）上的函數f（x）=xsinx+cosx，則f（x）的單調遞增區間是，考點：兩角和與差的正弦函數 專題：導數的綜合應用；三角函數的圖像與性質分析：根據求導公式和題意求出f（x），結合定義域和余弦函數的性質求出f（x）0是x的范圍，奇求出函數f（x）的單調遞增區間解答：解：由題意得，f（x）=sinx+xcosxsinx=xcosx，根據余弦函數的性質得，當或時，f（x）0，所以f（x）的單調遞增區間是和，故答案為：和點評：本題考查余弦函數的性質，以及導數與函數的單調性關系，屬于中檔題三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（12分）已知函數f（x）=2sinx（sinx+cosx），xr（1）求f（x）的最小正周期t和最大值m；（2）若，求cos的值考點：三角函數中的恒等變換應用；三角函數的周期性及其求法 專題：三角函數的求值；三角函數的圖像與性質分析：（1）化簡可得f（x）=，可求最小正周期，最大值；（2）依題意得，即，從而可求，解答：解：（1）f（x）=sin2x+1cos2x（2分），=（4分）最小正周期（5分），最大值（6分）（2）依題意，（7分）即（8分），（10分）（12分）點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的周期性及其求法，屬于基本知識的考查17（14分）已知an是等差數列，a2=3，a3=5（1）求數列an的通項公式；（2）對一切正整數n，設bn=，求數列bn的前n項和sn考點：數列的求和 專題：等差數列與等比數列分析：（1）根據等差數列的通項公式由條件即可求出首項a1=1，公差d=2，所以可得到an=2n1；（2）根據an先求出bn并將它變成，看到該通項之后，可以想到能否在求和中使得一些項前后抵消，并且通過求前幾項的和會發現是可以的，并且是有規律的，根據這個規律即可求出bn的前n項和sn解答：解：（1）由得，a1=1，d=2；an=1+2（n1）=2n1；（2）=；sn=b1+b2+b3+bn=；通過前幾項的求和規律知：若n為奇數，則；若n為偶數，則點評：考查等差數列的通項公式，以及裂項的方法求數列前n項和，以及通過前幾項求和的規律找到求數列前n項和的方法18（14分）如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是正方形，側棱pd底面abcd，pd=dc，e是pc的中點，作efpb交pb于點f（1）證明pa平面edb；（2）證明pb平面efd； （3）求二面角cpbd的大小考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定 專題：空間位置關系與距離；空間角分析：方法一：（1）連結ac，ac交bd于o，連結eo，利用三角形中位線的性質，可得paeo，利用線面平行的判定可得結論；（2）證明depc，bc平面pdc，de平面pbc，可得depb，利用線面垂直的判定定理，可得pb平面efd；（3）確定efd是二面角cpbd的平面角，利用正弦函數即可求解；方法二：建立空間直角坐標系，d為坐標原點，設dc=a（1）連結ac，ac交bd于g，連結eg，證明，這表明paeg，可得結論；（2）利用向量的數量積公式，證明pbde，再利用線面垂直的判定定理，可得結論；（3）確定efd是二面角cpbd的平面角，利用向量的夾角公式，即可解決解答：方法一：（1）證明：連結ac，ac交bd于o，連結eo底面abcd是正方形，點o是ac的中點在pac中，eo是中位線，paeo而eo平面edb且pa平面edb，所以，pa平面edb（2）證明：pd底面abcd且dc底面abcd，pddcpd=dc，可知pdc是等腰直角三角形，而de是斜邊pc的中線，depc 同樣由pd底面abcd，得pdbc底面abcd是正方形，有dcbc，bc平面pdc而de平面pdc，bcde 由和推得de平面pbc而pb平面pbc，depb又efpb且deef=e，所以pb平面efd（3）解：由（2）知，pbdf，故efd是二面角cpbd的平面角由（2）知，deef，pddb設正方形abcd的邊長為a，則，在rtpdb中，在rtefd中，所以，二面角cpbd的大小為；方法二：如圖所示建立空間直角坐標系，d為坐標原點，設dc=a（1）證明：連結ac，ac交bd于g，連結eg依題意得底面abcd是正方形，g是此正方形的中心，故點g的坐標為且，這表明paeg而eg平面edb且pa平面edb，pa平面edb（2）證明；依題意得b（a，a，0），又，故pbde由已知efpb，且efde=e，所以pb平面efd（3）解：設點f的坐標為（x0，y0，z0），則（x0，y0，z0a）=（a，a，a）從而x0=a，y0=a，z0=（1）a所以由條件efpb知，即，解得點f的坐標為，且，即pbfd，故efd是二面角cpbd的平面角，且，所以，二面角cpbd的大小為點評：本題考查線面平行、線面垂直、考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題19（12分）一艘船每小時的燃料費與船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小時的燃料費是80元已知船航行時其他費用為500元/時，在100km航程中，航速多少時船行駛總費用最少？此時總費用多少元？考點：基本不等式在最值問題中的應用 專題：計算題；應用題；導數的綜合應用；不等式的解法及應用分析：設每小時燃料費與航速平方的比例系數為k，由條件求得k，設航速為xkm/h時，總費用為y元，求得y=80x+，可由基本不等式或函數的導數，即可得到最小值解答：解：設每小時燃料費與航速平方的比例系數為k，則80=k102，解得，設航速為xkm/h時，總費用為y元，則=（方法一）令，解得x=25（負值舍去），當0x25時，y0，x25時，y0，x=25是極小值點，也是最小值點，此時（元）（方法二）x0，=4000（元），等號成立當且僅當，解得x=25（負值舍去）答：航速為25km/h時，總費用最少，此時總費用為4000元點評：本題考查函數的最值的應用題，考查運用導數求最值，運用基本不等式求最值，考查運算能力，屬于中檔題20（14分）在平面直角坐標系xoy中，點a，b的坐標分別是（0，3），（0，3）直線am，bm相交于點m，且它們的斜率之積是（1）求點m的軌跡l的方程；（2）若直線l經過點p（4，1），與軌跡l有且僅有一個公共點，求直線l的方程考點：軌跡方程；直線的一般式方程 專題：計算題分析：（1）求m點的軌跡方程，所以設m（x，y），根據直線am，bm的斜率之積是，即可求得關于x，y的等式，即點m的軌跡方程：x2+2y2=18；（2）若直線l不存在斜率，則容易判斷它和軌跡l有兩個交點，不合題意；存在斜率時設斜率為k，然后根據直線l經過點p可寫出直線l的方程，將直線方程帶入軌跡方程可得到關于x的方程，讓該方程有一個解求k即可得到直線l的方程解答：解：（1）設m（x，y），則：（x0）；點m的軌跡方程為：x2+2y2=18（x0）；（2）若直線l不存在斜率，則方程為：x=4；x=4帶入軌跡方程可得y=1，即直線l和軌跡l