空間向量及其運算一、選擇題1若a，b，c為空間的一組基底，則下列各項中，能構成基底的一組向量是()aa，ab，ab bb，ab，abcc，ab，ab dab，ab，a2b解析若c、ab、ab共面，則c(ab)m(ab)(m)a(m)b，則a、b、c為共面向量，此與a，b，c為空間向量的一組基底矛盾，故c，ab，ab可構成空間向量的一組基底答案c2以下四個命題中正確的是()a空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示b若a，b，c為空間向量的一組基底，則ab，bc，ca構成空間向量的另一組基底cabc為直角三角形的充要條件是0d任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一組基底解析若ab、bc、ca為共面向量，則ab(bc)(ca)，(1)a(1)b()c，不可能同時為1，設1，則abc，則a、b、c為共面向量，此與a，b，c為空間向量基底矛盾答案b3有下列命題：若pxayb，則p與a，b共面；若p與a，b共面，則pxayb.若xy，則p，m，a、b共面；若p，m，a，b共面，則xy.其中真命題的個數是()a1 b2 c3 d4解析其中為正確命題答案b4. 如圖，在底面abcd為平行四邊形的四棱柱abcda1b1c1d1中，m是ac與bd的交點，若a，b，c則下列向量中與相等的向量是()aabc b.abcc.abc dabc解析 abc.答案a5如圖所示，已知空間四邊形oabc，oboc，且aobaoc，則cos，的值為()a0 b.c. d.解析設a，b，c由已知條件a，ba，c，且|b|c|，a(cb)acab|a|c|a|b|0，cos，0.答案a6如圖，在大小為45的二面角aefd中，四邊形abfe，cdef都是邊長為1的正方形，則b，d兩點間的距離是()a.b.c1d.解析 ，|2|2|2|22221113，故|.答案d7下列命題中若ab，bc，則ac；不等式|ab|a|b|的充要條件是a與b不共線；若非零向量c垂直于不共線的向量a和b，dab(、r，且0)，則cd.正確命題的個數是()a0 b1 c2 d3解析只有命題是正確命題答案b二、填空題8如圖所示，已知空間四邊形oabc，其對角線為ob、ac，m、n分別為oa、bc的中點，點g在線段mn上，且2，若xyz，則x，y，z的值分別為_解析()()x，y，z的值分別為，.答案，9. 設r，向量，且，則解析 .答案 10在平行六面體(即六個面都是平行四邊形的四棱柱)abcdabcd中，ab1，ad2，aa3，bad90，baadaa60，則ac的長為_解析 如圖，所以|ac|.答案 11已知abcda1b1c1d1為正方體，()232；()0；向量與向量的夾角是60；正方體abcda1b1c1d1的體積為|.其中正確命題的序號是_解析 由，得()23()2，故正確；中，由于ab1a1c，故正確；中a1b與ad1兩異面直線所成角為60，但與的夾角為120，故不正確；中|0.故也不正確答案 12如圖，空間四邊形oabc中，oa8，ab6，ac4，bc5，oac45，oab60，則oa與bc所成角的余弦值等于_x解析設a，b，c.oa與bc所成的角為，a(cb)acaba(a)a(a)a2aa2a2416.cos .答案三、解答題13已知非零向量e1，e2不共線，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求證：a、b、c、d共面證明 令(e1e2)(2e18e2)v(3e13e2)0.則(23v)e1(83v)e20.e1，e2不共線，易知是其中一組解，則50.a、b、c、d共面14如右圖，在棱長為a的正方體abcda1b1c1d1中，g為bc1d的重心，(1)試證a1、g、c三點共線；(2)試證a1c平面bc1d；(3)求點c到平面bc1d的距離解析 (1)證明，可以證明：()，即a1、g、c三點共線(2)證明設a，b，c，則|a|b|c|a，且abbcca0，abc，ca，(abc)(ca)c2a20，即ca1bc1，同理可證：，因此a1c平面bc1d.(3) abc，2a2b2c23a2，即|a，因此|a.即c到平面bc1d的距離為a.15把邊長為a的正方形abcd沿對角線ac折起成直二面角，點e、f分別是ad、bc的中點，點o是原正方形的中心，求：(1)ef的長；(2)折起后eof的大小解析 如圖，以o點為原點建立空間直角坐標系oxyz，則a（0，a,0），b（a,0,0），c（0，a,0），d（0,0，a），e（0，a，a），f（a，a,0）.(1)|2222a2，|ef|a.(2)，0aa0，|，|， cos，eof120.16如圖所示，已知空間四邊形abcd的每條邊和對角線長都等于1，點e，f，g分別是ab、ad、cd的中點，計算：(1)；(2)；(3)eg的長；(4)異面直線ag與ce所成角的余弦值解析設a，b，c.則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，bc，(2)(a) a2a