天津工程師范學(xué)院 機(jī)械控制工程基礎(chǔ) 院級(jí)精品課 1 習(xí)題集習(xí)題集 第五章第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 5 5 1 1 設(shè)系統(tǒng)特征方程為設(shè)系統(tǒng)特征方程為 022 23 sss 試問(wèn)該系統(tǒng)是否穩(wěn)定 解 由特征方程列勞斯表如下 2 1 2 0 2 1 0 1 2 3 S S S S 由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)臨界穩(wěn)定 即系統(tǒng)不穩(wěn)定 5 5 2 2 已知系統(tǒng)特征方程式如下已知系統(tǒng)特征方程式如下 試分別用勞斯判據(jù)或胡爾維茨判據(jù)確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性試分別用勞斯判據(jù)或胡爾維茨判據(jù)確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1 0100920 23 sss 解 由特征方程列勞斯表如下 100 9 100 4 20 1 0 1 2 3 S S S S 由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)穩(wěn)定 2 0200920 23 sss 解 由特征方程列勞斯表如下 200 9 200 20 20 1 0 1 2 3 S S S S 由勞斯判據(jù)可知 勞斯表第一列符號(hào)改變兩次 系統(tǒng)有兩個(gè)右根 系統(tǒng)不穩(wěn)定 3 025103 234 ssss 解 由特征方程列勞斯表如下 天津工程師范學(xué)院 機(jī)械控制工程基礎(chǔ) 院級(jí)精品課 2 2 20 1 5 20 153 47 10 3 0 1 2 3 4 S S S S S 由勞斯判據(jù)可知 勞斯表第一列符號(hào)改變兩次 系統(tǒng)有兩個(gè)右根 系統(tǒng)不穩(wěn)定 5 5 3 3 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別為設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別為 5 1 1 sss sK sG 解 1 5 1 1 1 5 1 sss sK sG所以開(kāi)環(huán)增益 5 1 KK 由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 1 1 5 1 1 1 sKsss sK s特征方程為 0 1 1 5 1 1 sKsss 即 0 1 8 02 0 22 kskss 由特征方程列勞斯表如下 K K K KK S S S S 1 2 0 1 8 0 8 0 2 0 0 1 2 3 由勞斯判據(jù)可知 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定需使 02 0 1 8 0 0 KK K 解得 3 4 K 5 5 4 4 設(shè)潛艇潛水深度控制系統(tǒng)如下圖所示設(shè)潛艇潛水深度控制系統(tǒng)如下圖所示 試問(wèn)放大器增益試問(wèn)放大器增益 A K應(yīng)取多大可以保證系統(tǒng)穩(wěn)定應(yīng)取多大可以保證系統(tǒng)穩(wěn)定 天津工程師范學(xué)院 機(jī)械控制工程基礎(chǔ) 院級(jí)精品課 3 解 由系統(tǒng)方框圖可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 22 2 1 1 0 09 0 1 1 0 sKss sK s A A 特征方程為 01 0 2 009 0 1 0 23 AAA KsKsKs 由特征方程列勞斯表如下 A A A AAA A K K K KKK K S S S S 1 0 2 009 0 1 0 1 0 2 009 0 1 0 1 0 1 0 1 2 3 由勞斯判據(jù)可知 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定 則 01 0 2 009 0 1 0 01 0 AAA A KKK K 解得 55 4 A K 5 5 5 5 試分析下圖所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性試分析下圖所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 由系統(tǒng)方框圖可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 110 1 1 10 2 sss s s 特征方程為 01010 23 sss 由特征方程列勞斯表如下 10 10 10 1010 1 1 0 1 2 3 S S S S 由勞斯判據(jù)可知 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定需使 01010 010 解得 1 5 5 6 6 已知系統(tǒng)特征方程為已知系統(tǒng)特征方程為 084632 2345 sssss 試用勞試用勞斯判據(jù)方法求出系統(tǒng)在斯判據(jù)方法求出系統(tǒng)在 s s 右半平面和虛軸上的根的數(shù)值右半平面和虛軸上的根的數(shù)值 天津工程師范學(xué)院 機(jī)械控制工程基礎(chǔ) 院級(jí)精品課 4 解 由特征方程列勞斯表如下 8 4 8 0 6 3 8 8 6 0 2 1 0 1 2 3 4 5 S S S S S S 由勞斯表第一列可知 系統(tǒng)有兩個(gè)純虛根 一個(gè)右根 5 5 7 7 設(shè)系統(tǒng)特征方程式為設(shè)系統(tǒng)特征方程式為 0100102 234 sTsss 試按穩(wěn)定要求確定試按穩(wěn)定要求確定 T T 的取值范圍的取值范圍 解 由特征方程列勞斯表如下 100 100 10 100 200 5 10 5 2 1 0 1 2 3 4 T T T S S S S S 由勞斯判據(jù) 系統(tǒng)穩(wěn)定 則 0200 5 10 05 T T 解得 25 T 5 5 8 8 已知系統(tǒng)特征方程如下已知系統(tǒng)特征方程如下 試求系統(tǒng)在試求系統(tǒng)在 s s 右平面的根數(shù)及虛根值右平面的根數(shù)及虛根值 1 0483224123 2345 sssss 解 應(yīng)用勞斯判據(jù)可得 過(guò)程略 虛根兩個(gè) 右根 0 個(gè) 2 01236 2345 sssss 解 應(yīng)用勞斯判據(jù)可得 過(guò)程略 虛根 0 個(gè) 右根 2 個(gè) 3 02023 23 sss 解 應(yīng)用勞斯判據(jù)可得 過(guò)程略 虛根 0 個(gè) 右根 2 個(gè) 4 012012212010525 2345 sssss 解 應(yīng)用勞斯判據(jù)可得 過(guò)程略 虛根 0 個(gè) 右根 0 個(gè) 5 01087444 23456 ssssss 解 應(yīng)用勞斯判據(jù)可得 過(guò)程略 虛根 2 個(gè) 右根 2 個(gè) 6 0253520123 2345 sssss 天津工程師范學(xué)院 機(jī)械控制工程基礎(chǔ) 院級(jí)精品課 5 解 應(yīng)用勞斯判據(jù)可得 過(guò)程略 虛根 2 個(gè) 右根 0 個(gè) 5 5 9 9 對(duì)下列特征方程對(duì)下列特征方程 01 234 ssKss 應(yīng)用勞斯判據(jù)應(yīng)用勞斯判據(jù) 以確定反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍以確定反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍 K K 為正整數(shù)為正整數(shù) 解 由特征方程列勞斯表如下 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 KKK KK K S S S S S 由勞斯判據(jù) 系統(tǒng)穩(wěn)定 則 0 1 1 K KKK KK K 為正整數(shù) 該不等式無(wú)解 系統(tǒng)不能達(dá)到穩(wěn)定 5 5 1010 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 2 1 sss K sG 試確定試確定 K的穩(wěn)定范圍的穩(wěn)定范圍 解 由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2 1 Ksss K s 特征方程為 023 23 Ksss 即 由特征方程列勞斯表如下 0 1 2 3 2 6 3 1 K K K S S S S 由勞斯判據(jù)可知 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定需使 0 06 K K 解得 60 K 天津工程師范學(xué)院 機(jī)械控制工程基礎(chǔ) 院級(jí)精品課 6 5 5 1111 單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 15 0 1 15 0 2 ssss sK sG 試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的 K K 值范圍值范圍 解 由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 15 0 15 0 1 15 0 2 sKssss sK s特征方程為 0 15 0 15 0 1 2 sKssss 即 0 15 0 25 15 0 234 ksKsss 由特征方程列勞斯表如下 K K K K KKK K S S S S S 5 1 15 0 2 5 1 25 2 15 0 15 0 5 03 15 0 5 03 5 1 5 0 0 1 2 3 4 由勞斯判據(jù)可知 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定需使 05 1 025 2 15 0 15 0 5 03 0 15 0 5 03 K KKK K 解得 5350 K 5 12 試確定如下圖所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 由系統(tǒng)方框圖可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 110 10 1 110 10 sss s s特征方程為 0 110 10 1 sss 即 010101 2 ss 由特征方程列勞斯表如下 天津工程師范學(xué)院 機(jī)械控制工程基礎(chǔ) 院級(jí)精品課 7 10 10 101 1 0 1 2 S S S 由勞斯判據(jù)可知 系統(tǒng)穩(wěn)定 5 5 1313 設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性如圖所示設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性如圖所示 試判別系統(tǒng)穩(wěn)定性試判別系統(tǒng)穩(wěn)定性 其中其中 p p 為開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)為開(kāi)環(huán)右極點(diǎn) v v 為開(kāi)環(huán)為開(kāi)環(huán) 傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)目傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)目 Im Re 0 1 P 0 V 2 b Im Re 0 1 P 1 V 0 a Im Re 0 1 P 0 V 3 c Im Re 0 1 P 1 V 1 d 由圖可知 2 1 N NP2 所以閉 環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 由圖可知 0 N NP2 所以閉環(huán)系 統(tǒng)穩(wěn)定 由圖可知 2 1 N NP2 所以閉 環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 由圖可知 0 N NP2 所以閉環(huán)系 統(tǒng)穩(wěn)定 天津工程師范學(xué)院 機(jī)械控制工程基礎(chǔ) 院級(jí)精品課 8 Im Re 0 1 P 2 V 0 i Im Re 0 1 P 2 V 0 h Im Re 0 1 P 1 V 0 e Im Re 0 1 P 0 V 2 f Im Re 0 1 P 0 V 0 g 由圖可知 2 1 N NP2 所以閉 環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 由圖可知 0 N NP2 所以閉環(huán)系 統(tǒng)穩(wěn)定 由圖可知 0 N NP2 所以閉環(huán) 系統(tǒng)穩(wěn)定 由圖可知 1 N NP2 所以閉環(huán) 系統(tǒng)不穩(wěn)定 由圖可知 1 N NP2 所以閉環(huán)系 統(tǒng)穩(wěn)定 天津工程師范學(xué)院 機(jī)械控制工程基礎(chǔ) 院級(jí)精品課 9 5 5 1414某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和 NyquistNyquist 圖如圖圖如圖 a a 和和 b b 所示所示 圖中圖中 2 1 1 ss sG 2 3 1 s s sH 試判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性試判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性 并確定閉環(huán)特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù)并確定閉環(huán)特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù) 5 5 1515 控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示結(jié)構(gòu)如下圖所示 圖中圖中K K T T 均為正數(shù)均為正數(shù) 試用乃氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)試用乃氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn) 定性定性 并給出閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)參數(shù)并給出閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)參數(shù)K K T T 的取值范圍的取值范圍 解 根據(jù)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)求取頻率特性 并畫出大致頻率特性為如圖 所示 由圖可知 1 系統(tǒng)穩(wěn)定 時(shí) 2N P1P2 1N1 K 2 系統(tǒng)不穩(wěn)定 時(shí) 2N P1P2 1N1 K 3 臨界穩(wěn)定 閉環(huán)有純虛根 系統(tǒng) 點(diǎn) 時(shí) 曲線穿過(guò) 011 K 所以系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) 應(yīng)滿足1 K 天津工程師范學(xué)院 機(jī)械控制工程基礎(chǔ) 院級(jí)精品課 10 5 5 1616 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為用乃奎斯特穩(wěn)定判用乃奎斯特穩(wěn)定判 據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 要求畫出乃奎斯特曲線的大致形狀來(lái)說(shuō)明要求畫出乃奎斯特曲線的大致形狀來(lái)說(shuō)明 解 求取系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為 3 1 6 2 3 1 2 2 222 2 2