8.7 立體幾何中的向量方法,-2-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,1.直線的方向向量與平面的法向量 (1)直線l上的非零向量e以及與 的非零向量叫做直線l的方向向量. (2)如果表示非零向量n的有向線段所在直線 平面,那么稱向量n垂直于平面,記作 .此時把 叫做平面的法向量.,e共線,垂直于,n,向量n,-3-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,2.線面關系的判定 設直線l1的方向向量為e1=(a1,b1,c1),直線l2的方向向量為e2=(a2,b2,c2),平面的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面的法向量為n2=(x2,y2,z2). (1)如果l1l2,那么e1e2 . (2)如果l1l2,那么e1e2 . (3)若l1,則e1n1e1n1=0 . (4)若l1,則e1n1e1=n1 . (5)若,則n1n2n1=kn2 . (6)若,則n1n2n1n2=0 .,e2=e1,a2=a1,b2=b1,c2=c1,e1e2=0,a1a2+b1b2+c1c2=0,a1x1+b1y1+c1z1=0,a1=x1,b1=y1,c1=z1,x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2,x1x2+y1y2+z1z2=0,-4-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,3.利用空間向量求空間角 (1)兩條異面直線所成的角 范圍:兩條異面直線所成的角的取值范圍是 . 向量求法:設異面直線a,b的方向向量為a,b,直線a與b的夾角為,a與b的夾角為,則有cos = . (2)直線與平面所成的角 范圍:直線和平面所成的角的取值范圍是 . 向量求法:設直線l的方向向量為a,平面的法向量為u,直線與平面所成的角為,a與u的夾角為,則有sin = 或cos =sin .,|cos |,|cos |,-5-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,(3)二面角 范圍:二面角的取值范圍是 . 向量求法: 若AB,CD分別是二面角-l-的兩個面內與棱l垂直的異面直線,則 設n1,n2分別是二面角-l-的兩個半平面,的法向量,則圖中向量n1與n2的夾角的補角的大小就是二面角的大小;而圖中向量n1與n2的夾角的大小就是二面角的大小.,0,-6-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,-7-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,2,-8-,知識梳理,雙基自測,3,4,1,5,1.下列結論正確的打“”,錯誤的打“”. (1)直線的方向向量是唯一確定的. ( ) (2)平面的單位法向量是唯一確定的. ( ) (3)若兩條直線的方向向量不平行,則這兩條直線不平行. ( ) (4)若空間向量a平行于平面,則a所在直線與平面平行. ( ) (5)兩條直線的方向向量的夾角就是這兩條直線所成的角. ( ),答案,-9-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,2.(教材習題改編P113T11)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為 ( ),答案,解析,-10-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,3. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1在空間直角坐標系中,如圖所示,且CA=CC1=2CB,則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為( ),答案,解析,-11-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為 .,答案,-12-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,-13-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,5.已知P是二面角-AB-棱上的一點,分別在平面,上引射線PM,PN,如果BPM=BPN=45,MPN=60,那么二面角-AB-的大小為 .,答案,-14-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,-15-,考點1,考點2,考點3,例1 如圖所示,平面PAD平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點.求證:PB平面EFG. 思考用向量法證明平行和垂直的常用方法有哪些?,-16-,考點1,考點2,考點3,證明 平面PAD平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,PAD是直角三角形,AB,AP,AD兩兩垂直. 以點A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).,-17-,考點1,考點2,考點3,-18-,考點1,考點2,考點3,解題心得1.用向量法證明平行類問題的常用方法,-19-,考點1,考點2,考點3,2.用向量法證明垂直類問題的常用方法,-20-,考點1,考點2,考點3,對點訓練1 如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點,PO平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)求證:APBC; (2)若點M是線段AP上一點,且AM=3.試證明平面AMC平面BMC.,-21-,考點1,考點2,考點3,證明 (1)如圖所示,以點O為坐標原點,分別以射線OD,OP為y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系Oxyz. 則O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).,-22-,考點1,考點2,考點3,-23-,考點1,考點2,考點3,例2如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD的中點. (1)求證:B1EAD1. (2)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由. 思考立體幾何開放性問題的求解方法有哪些?,-24-,考點1,考點2,考點3,-25-,考點1,考點2,考點3,-26-,考點1,考點2,考點3,解題心得立體幾何開放性問題的求解方法有以下兩種: (1)根據題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想,找出點或線的位置,然后加以證明,得出結論; (2)假設所求的點或線存在,并設定參數(shù)表達已知條件,根據題目要求進行求解,若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍,則存在這樣的點或線,否則不存在.本題是設出點P的坐標,借助向量運算,判定關于z0的方程是否有解.,-27-,考點1,考點2,考點3,對點訓練2如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側棱的長都是底面邊長的 倍,P為側棱SD上的點. (1)求證:ACSD. (2)若SD平面PAC,側棱SC上是否存在一點E,使得BE平面PAC?若存在,求SEEC的值;若不存在,試說明理由.,-28-,考點1,考點2,考點3,-29-,考點1,考點2,考點3,-30-,考點1,考點2,考點3,考向一 利用空間向量求異面直線所成的角 例3如圖,四邊形ABCD為菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一側的兩點,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC. (1)證明:平面AEC平面AFC; (2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值. 思考如何利用向量法求異面直線所成的角?,-31-,考點1,考點2,考點3,-32-,考點1,考點2,考點3,從而EG2+FG2=EF2, 所以EGFG. 又ACFG=G,可得EG平面AFC. 因為EG平面AEC, 所以平面AEC平面AFC.,-33-,考點1,考點2,考點3,-34-,考點1,考點2,考點3,考向二 利用空間向量求直線與平面所成的角 例4(2018全國,理18)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點,以DF為折痕把DFC折起,使點C到達點P的位置,且PFBF. (1)證明:平面PEF平面ABFD; (2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值. 思考如何利用向量法求線面角?,-35-,考點1,考點2,考點3,(1)證明：由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF. 又BF平面ABFD, 所以平面PEF平面ABFD. (2)解：作PHEF,垂足為H. 由(1)得,PH平面ABFD.,建立如圖所示的空間直角坐標系H-xyz. 由(1)可得,DEPE.,-36-,考點1,考點2,考點3,-37-,考點1,考點2,考點3,考向三 利用空間向量求二面角的大小 例5如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90. (1)證明:平面PAB平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值. 思考如何利用向量法求二面角?,-38-,考點1,考點2,考點3,(1)證明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD. 由于ABCD,故ABPD,從而AB平面PAD. 又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.,-39-,考點1,考點2,考點3,(2)解:在平面PAD內作PFAD,垂足為F. 由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD.,-40-,考點1,考點2,考點3,設m=(x,y,z)是平面PAB的法向量,-41-,考點1,考點2,考點3,考向四 利用空間向量求點到平面的距離 例6如圖,BCD與MCD都是邊長為2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2 ,求點A到平面MBC的距離. 思考如何利用向量法求點到平面的距離?,-42-,考點1,考點2,考點3,解：如圖,取CD的中點O,連接OB,OM,則OBCD,OMCD. 又平面MCD平面BCD, 所以MO平面BCD. 以O為坐標原點,直線OC,BO,OM分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系. 因為BCD與MCD都是邊長為2的正三角形,設平面MBC的法向量為n=(x,y,z),-43-,考點1,考點2,考點3,-44-,考點1,考點2,考點3,2.利用向量法求線面角的方法: (1)分別求出斜線和它在平面內的射影的方向向量,轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角); (2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(或鈍角的補角),取其余角就是斜線和平面所成的角.,-45-,考點1,考點2,考點3,3.利用向量法求二面角的方法: (1)分別在二面角的兩個半平面內找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小; (2)通過平面的法向量來求:設二面角的兩個半平面的法向量分別為n1和n2,則二面角的大小等于(或-).應注意結合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角.,-46-,考點1,考點2,考點3,4.利用向量法求點到平面的距離的方法:,-47-,考點1,考點2,考點3,對點訓練3 (1)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,E是PC的中點.已知AB=2,AD=2 ,PA=2.求: PCD的面積; 異面直線BC與AE所成的角的大小.,-48-,考點1,考點2,考點3,-49-,考點1,考點2,考點3,-50-,考點1,考點2,考點3,-51-,考點1,考點2,考點3,(2)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,且AB=AD=2,AA1= ,BAD=120. 求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值; 求二面角B -A1D -A的正弦值.,-52-,考點1,考點2,考點3,(2)解:在平面ABCD內,過點A作AEAD,交BC于點E. 因為AA1平面ABCD, 所以AA1AE,AA1AD.,-53-,考點1,考點2,考點3,-54-,考點1,考點2,考點3,(3)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD平面ABCD,點M在線段PB上,PD平面MAC,PA=PD= ,AB=4. 求證:M為PB的中點; 求二面角B-PD-A的大小; 求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.,-55-,考點1,考點2,考點3,證明:設AC,BD交點為E,連接ME. 因為PD平面MAC,平面MAC平面PDB=ME,所以PDME. 因為ABCD是正方形,所以E為BD的中點. 所以M為PB的中點. 解:取AD的中點O,連接OP,OE. 因為PA=PD,所以OPAD. 又因為平面PAD平面ABCD,且OP平面PAD,所以OP平面ABCD. 因為OE平面ABCD,所以OPOE. 因為ABCD是正方形,所以OEAD.,-56-,考點1,考點2,考點3,如圖建立空間直角坐標系O-xyz,-57-,考點1,考點2,考點3,-58-,考點1,考點2,考點3,(4)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,ACB=90,D,E,F分別為AC,AA1,AB的中點. 求證:B1C1平面DEF; 求EF與AC1