1、第2章誤差的基本性質(zhì)與處理,本章分別詳細(xì)闡述隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來源、性質(zhì)、數(shù)據(jù)處理的方法以及消除或減小的措施。特別是在隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)處理中，分別掌握等精度測量和不等精度測量的不同數(shù)據(jù)處理方法。通過學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，使讀者能夠根據(jù)不同性質(zhì)的誤差選取正確的數(shù)據(jù)處理方法并進(jìn)行合理的數(shù)據(jù)處理。,教學(xué)目標(biāo),三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對測量精度影響的措施 掌握等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法 掌握不等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法,重點(diǎn)與難點(diǎn),當(dāng)對同一測量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測量時(shí)，得到一系列不同的測量值（常稱為測量列），每個(gè)測量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)后

2、，不能預(yù)測下一個(gè)數(shù)據(jù)的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 隨機(jī)誤差是由很多暫時(shí)未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面： 測量裝置方面的因素 環(huán)境方面的因素 人為方面的因素,零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號處理電路的隨機(jī)噪聲等。,溫度、濕度、氣壓的變化，光照強(qiáng)度、電磁場變化等。,瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)取?第一節(jié)隨機(jī)誤差,一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因,隨機(jī)誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有在非正態(tài)分布，而多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布。我們首先來分析服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的特性。 設(shè)被測量值的真值為，一系列測得值為，則測量列的隨機(jī)誤差可表示為： (2-1) 式中。 正態(tài)分布

3、的分布密度與分布函數(shù)為 (2-2) (2-3) 式中：標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差） e自然對數(shù)的底，基值為2.7182。 它的數(shù)學(xué)期望為 (2-4) 它的方差為： (2-5),第一節(jié)隨機(jī)誤差,二、正態(tài)分布,其平均誤差為： (P=57.62%) (2-6) 此外由可解得或然誤差為 ： (P=50%) (2-7) 由式（2-2）可以推導(dǎo)出： 有 , 可推知分布具有對稱性，即絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對稱性； 當(dāng)=0時(shí)有 ，即 ，可推知單峰性，即絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性； 雖然函數(shù)的存在區(qū)間是-,+，但實(shí)際上，隨機(jī)誤差只是出現(xiàn)在一個(gè)有限的區(qū)

4、間內(nèi)，即-k,+k,稱為誤差的有界性； 隨著測量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于零： 這稱為誤差的補(bǔ)償性。,返回本章目錄,從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差都具有的四個(gè)特征：對稱性、單峰性、有界性、抵償性。由于多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布，因此正態(tài)分布在誤差理論中占有十分重要的地位。,第一節(jié)隨機(jī)誤差,圖2-1為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標(biāo)。值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，值為曲線右半部面積重心B的橫坐標(biāo)，值的縱坐標(biāo)線則平分曲線右半部面積。,第一節(jié)隨機(jī)誤差,對某量進(jìn)行一系列等精度測量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，因此其獲得的測量值不完全相同，此時(shí)應(yīng)以算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。 (一)算術(shù)平均值的意義 設(shè)

5、為n次測量所得的值，則算術(shù)平均值為: (2-8),第一節(jié)隨機(jī)誤差,三、算術(shù)平均值,下面來證明當(dāng)測量次數(shù)無限增加時(shí)，算術(shù)平均值必然趨近于真值Lo。 即 由前面正態(tài)分布隨機(jī)誤差的第四特征可知 ，因此 由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋涣窟M(jìn)行無限多次測量，就可得到不受隨機(jī)誤差影響的測量值，或其影響很小，可以忽略。這就是當(dāng)測量次數(shù)無限增大時(shí)，算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)上稱之為最大或然值）被認(rèn)為是最接近于真值的理論依據(jù)。但由于實(shí)際上都是有限次測量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測量的真值。,第一節(jié)隨機(jī)誤差,一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測量的真值

6、進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨機(jī)誤差稱為殘余誤差，簡稱殘差： (2-9) 此時(shí)可用更簡便算法來求算術(shù)平均值。任選一個(gè)接近所有測得值的數(shù) 作為參考值，計(jì)算每個(gè)測得值 與 的差值： (2-10) 式中的 為簡單數(shù)值，很容易計(jì)算，因此按（2-10）求算術(shù)平均值比較簡單。,若測量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測量總體期望的一個(gè)最佳的估計(jì)量 ，即滿足無偏性、有效性、一致性，并滿足最小二乘法原理；在正態(tài)分布條件下滿足最大似然原理。,第一節(jié)隨機(jī)誤差,例 2-1 測量某物理量10次，得到結(jié)果見表2-1，求算術(shù)平均值。 解：任選參考值 =1879.65， 計(jì)算差值 和 列于表 很容易求得算術(shù)平均值 1879.64

7、。 （二）算術(shù)平均值的計(jì)算校核 算術(shù)平均值及其殘余誤差的計(jì)算是否正確，可用求得的殘余誤差代數(shù)和來校核。 由 ，式中的是根據(jù)（2-8）計(jì)算的，當(dāng)求得的為未經(jīng)湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，則有： (2-11) 殘余誤差代數(shù)和為零這一性質(zhì)，可用來校核算術(shù)平均值及其殘余誤差計(jì)算的正確性。但當(dāng)實(shí)際得到的為經(jīng)過湊整的非準(zhǔn)確數(shù)，存在,第一節(jié)隨機(jī)誤差,舍入誤差，即有： 成立。而 經(jīng)過分析證明，用殘余誤差代數(shù)和校核算術(shù)平均值及其殘差，其規(guī)則為： 殘差代數(shù)和應(yīng)符合： 當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為零； 當(dāng)，求得的為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為正，其大小為求時(shí)的余數(shù)； 當(dāng)，求得的為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為負(fù)，其大小為求時(shí)的虧數(shù)。 殘差代數(shù)

8、和絕對值應(yīng)符合： 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，。 式中的A為實(shí)際求得的算術(shù)平均值末位數(shù)的一個(gè)單位。 以上兩種校核規(guī)則，可根據(jù)實(shí)際運(yùn)算情況選擇一種進(jìn)行校核，但大多數(shù)情況選用第二種規(guī)則可能較方便，它不需要知道所有測得值之和。,第一節(jié)隨機(jī)誤差,例2-2 用例2-1數(shù)據(jù)對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。 解：因n為偶數(shù)， A0.01，由表2-1知 故計(jì)算結(jié)果正確。 例2-3 測量某直徑11次，得到結(jié)果如表2-2所示，求算術(shù)平均值并進(jìn)行校核。 解：算術(shù)平均值為： 取2000.067,第一節(jié)隨機(jī)誤差,用第一種規(guī)則校核，則有： 用第二種規(guī)則校核，則有： 故用兩種規(guī)則校核皆說明計(jì)算結(jié)果正確。,第一節(jié)隨機(jī)誤差,（一）均方

9、根誤差（標(biāo)準(zhǔn)偏差） 為什么用來作為評定隨機(jī)誤差的尺度？可以從高斯（正態(tài)）分布的分布密度 推知：,第一節(jié)隨機(jī)誤差,四、測量的標(biāo)準(zhǔn)差(精度指標(biāo)),由于值反映了測量值或隨機(jī)誤差的散布程度，因此值可作為隨機(jī)誤差的評定尺度。值愈大，函數(shù) 減小得越慢；值愈小， 減小得愈快，即測量到的精密度愈高，如圖2-2所示。 標(biāo)準(zhǔn)差不是測量到中任何一個(gè)具體測量值的隨機(jī)誤差，的大小只說明，在一定條件下等精度測量列隨機(jī)誤差的概率分布情況。在該條件下，任一單次測得值的隨機(jī)誤差，一般都不等于，但卻認(rèn)為這一系列測量列中所有測得值都屬于同樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的概率分布。在不同條件下，對同一被測量進(jìn)行兩個(gè)系列的等精度測量，其標(biāo)準(zhǔn)差也不相同。

10、,第一節(jié)隨機(jī)誤差,（二）或然誤差 測量列的或然誤差，它將整個(gè)測量列的n個(gè)隨機(jī)誤差分為個(gè)數(shù)相等的兩半。其中一半（n/2個(gè)）隨機(jī)誤差的數(shù)值落在- +范圍內(nèi)，而另一半隨機(jī)誤差的數(shù)值落在- +范圍以外： ， 查 表，得到 時(shí)，z=0.6745，故有 其實(shí)際意義是：若有n個(gè)隨機(jī)誤差，則有n/2個(gè)落在區(qū)間-,+之內(nèi)，而另外n/2個(gè)隨機(jī)誤差則落在此區(qū)間之外。 （三）算術(shù)平均誤差 測量列算術(shù)平均誤差的定義是：該測量列全部隨機(jī)誤差絕對值的算術(shù)平均值，用下式表示： 由概率積分可以得到與的關(guān)系： 目前世界各國大多趨于采用作為評定隨機(jī)誤差的尺度。這是因?yàn)椋?的平方恰好是隨機(jī)變量的數(shù)字特征之一（方差），本身又,第一節(jié)隨

11、機(jī)誤差,恰好是高斯誤差方程 式中的一個(gè)參數(shù)，即 ，所以采用，正好符合概率論原理，又與最小二乘法最切合； 對大的隨機(jī)誤差很敏感，能更準(zhǔn)確地說明測量列的精度； 極限誤差與標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系簡單： ； 公式推導(dǎo)和計(jì)算比較簡單。 五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計(jì)算方法 （一）等精度測量 單次測量標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算 (即測量列標(biāo)準(zhǔn)偏差) 1、貝塞爾(Bessel)公式 (2-13) 式中， 稱為算術(shù)平均值誤差將它和 代入上式，則有 (2-14),第一節(jié)隨機(jī)誤差,將上式對應(yīng)相加得 ： ，即 (2-15) 若將式(2-14)平方后再相加得： (2-16) 將式(2-15)平方有： 當(dāng)n適當(dāng)大時(shí)，可以認(rèn)為 趨近于零，并將代入式(

12、2-16)得： (2-17) 由于 ，代入式(2-17)得 ： ，即 （即BESSEL公式） (2-18),第一節(jié)隨機(jī)誤差,2、別捷爾斯法 由貝賽爾公式得： 進(jìn)一步得： 則平均誤差有： 由式2-6得： 故有： (2-26) 此式稱為別捷爾斯（Peters）公式，它可由殘余誤差 的絕對值之和求出單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差 。 (2-27),第一節(jié)隨機(jī)誤差,例2-4 用別捷爾斯法求得表2-3的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：計(jì)算得到的值分別填于表中，因此有 3、極差法 用貝賽爾公式和別捷爾斯公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差均需先求算術(shù)平均值，再求殘余誤差，然后進(jìn)行其他運(yùn)算，計(jì)算過程比較復(fù)雜。當(dāng)要求簡便迅速,第一節(jié)隨機(jī)誤差,算出標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，可用極

13、差法。 若等精度多次測量測得值 服從正態(tài)分布，在其中選取最大值 與最小值 ，則兩者之差稱為極差： (2-28) 根據(jù)極差的分布函數(shù)，可求出極差的數(shù)學(xué)期望為 (2-29) 因 故可得 的無偏估計(jì)值，若仍以 表示，則有 (2-30) 式中 的數(shù)值見表2-4。,n,2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20,1.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74,第一節(jié)隨機(jī)誤差,例2-5 仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，用

14、極差法求得標(biāo)準(zhǔn)差。 解： 4、最大誤差法 在某些情況下，我們可以知道被測量的真值或滿足規(guī)定精度的用來代替真值使用的量值（稱為實(shí)際值或約定值），因而能夠算出隨機(jī)誤差 ，取其中絕對值最大的一個(gè)值 ，當(dāng)各個(gè)獨(dú)立測量值服從正態(tài)分布時(shí)，則可求得關(guān)系式： (2-31) 一般情況下，被測量的真值為未知，不能按（2-31）式求標(biāo)準(zhǔn)差，應(yīng)按最大殘余誤差 進(jìn)行計(jì)算，其關(guān)系式為： (2-32) 式（2-31）和（2-32）中兩系數(shù) 、 的倒數(shù)見表2-5。,第一節(jié)隨機(jī)誤差,最大誤差法簡單、迅速、方便，且容易掌握，因而有廣泛用途。當(dāng) 時(shí)，最大誤差法具有一定精度。 例2-6 仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標(biāo)準(zhǔn)差，

15、則有 ，而 故標(biāo)準(zhǔn)差為,第一節(jié)隨機(jī)誤差,例2-7 某激光管發(fā)出的激光波長經(jīng)檢定為 ，由于某些原因未對本次檢定波長作誤差分析，但后來又用更精確的方法測得激光波長 ，試求原檢定波長的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：因后測得的波長是用更精確的方法，故可認(rèn)為其測得值為實(shí)際波長(或約定真值)，則原檢定波長的隨機(jī)誤差 為： 故標(biāo)準(zhǔn)差為： 5、四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn) 貝塞爾公式的計(jì)算精度較高，但計(jì)算麻煩； 別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺，它的計(jì)算速度較快，但計(jì)算精度較低，計(jì)算誤差為貝氏公式的1.07倍； 用極差法計(jì)算，非常迅速方便，可用來作為校對公式，當(dāng)n10時(shí)可,第一節(jié)隨機(jī)誤差,用來計(jì)算，此時(shí)計(jì)算精度

16、高于貝氏公式； 用最大誤差法計(jì)算更為簡捷，容易掌握，當(dāng)n10時(shí)可用最大誤差法，計(jì)算精度大多高于貝氏公式，尤其是對于破壞性實(shí)驗(yàn)(n=1)只能應(yīng)用最大誤差法。 （二）多次測量的測量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 在多次測量的測量列中，是以算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，因此必須研究算術(shù)平均值測量精度指標(biāo)(不可靠性的評定標(biāo)準(zhǔn))。 。 如果在相同條件下對同一量值作多組重復(fù)的系列測量，每一系列測量都有一個(gè)算術(shù)平均值，由于隨機(jī)誤差的存在，各個(gè)測量列的算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞著被測量的真值有一定的分散，此分散說明了算術(shù)平均值的不可靠性，而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差則是表征同一被測量的各個(gè)獨(dú)立測量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為

17、算術(shù)平均值的測量精度指標(biāo). 由式(2-8)已知算術(shù)平均值 為： 取方差得 因 故有,第一節(jié)隨機(jī)誤差,所以 (2-21) 即在n次測量的等精度測量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測量標(biāo)準(zhǔn)差的 ，當(dāng)n愈大，算術(shù)平均值越接近被測量的真值，測量精度也愈高。 增加測量次數(shù)，可以提高測量 精度，但測量精度是與n的平方根成 反比，因此要顯著提高測量精度， 必須付出較大的勞動(dòng)。由圖2-3可知, 一定時(shí)，當(dāng)n10以后， 的減小很 慢。此外，由于增加測量次數(shù)難以 保證測量條件的恒定，從而引入新的 誤差，因此一般情況下取n=10以內(nèi)較為適宜。總之，提高測量精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y量次數(shù)。,第一節(jié)隨機(jī)誤

18、差,評定算術(shù)平均值的精度標(biāo)準(zhǔn)，也可用或然誤差R或平均誤差T，相應(yīng)公式為： (P=50%)(2-22) (P=57.6%)(2-23) 若用殘余誤差表示上述公式，則有： (2-24) (2-25) 例2-8 用游標(biāo)卡尺對某一尺寸測量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下(單位為mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08 。求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。 解：本例題中的測量數(shù)據(jù)與表2-3中的測量數(shù)據(jù)一樣，表中的算術(shù)平均值 為 。因?yàn)?，,第一節(jié)隨機(jī)誤差,與表中的 結(jié)果一致，故計(jì)算正確。 根據(jù)上述各個(gè)誤差計(jì)算公式可得： 六

19、、測量的極限誤差 測量的極限誤差是極端誤差，測量結(jié)果（單次測量或測量列的算術(shù)平均值）的誤差不超過該極端誤差的概率為p，并使差值（1-p）可予忽略。 （一）單次測量的極限誤差 測量列的測量次數(shù)足夠多和單次測量誤差為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概,第一節(jié)隨機(jī)誤差,率論知識，正態(tài)分布曲線和橫坐標(biāo)軸間所包含的面積等于其相應(yīng)區(qū)間確定的概率，即： 當(dāng)研究誤差落在區(qū)間（-,+）之間的概率時(shí)，則得： (2-33) 將上式進(jìn)行變量置換，設(shè) 經(jīng)變換，上式成為： (2-34) 這樣我們就可以求出積分值p，為了應(yīng)用方便，其積分值一般列成表格形式，稱為概率函數(shù)積分值表。當(dāng)t給定時(shí)，(t)值可由該表查出。現(xiàn)已查出t=1,2,3,4等

20、幾個(gè)特殊值的積分值，并求出隨機(jī)誤差不超出相應(yīng)區(qū)間的概率p=2(t)和超出相應(yīng)區(qū)間的概率p=1-2(t)，如表2-6所示（圖24）。 由表可以看出，隨著t的增大，超出|的概率減小得很快。 當(dāng),第一節(jié)隨機(jī)誤差,t=2，即|=2時(shí)，在22次測量中只有1次 的誤差絕對值超出2范圍；而當(dāng)t=3，即 |=3時(shí)，在370次測量中只有1次誤差絕 對值超出3范圍。由于在一般測量中，測 量次數(shù)很少超過幾十次，因此可以認(rèn)為絕對 值大于3的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把 這個(gè)誤差稱為單次測量的極限誤差 ，即 (2-35) 當(dāng)t3時(shí)，對應(yīng)的概率p99.73。 在實(shí)際測量中，有時(shí)也可取其它t值來表示單次測量的極限誤差。如,第

21、一節(jié)隨機(jī)誤差,取t2.58，p99； t2，p95.44； t1.96，p95等。 因此一般情況下，測量列單次測量的極限誤差可用下式表示： (2-36) 若已知測量的標(biāo)準(zhǔn)差，選定置信系數(shù)t，則可由上式求得單次測量的極限誤差。 （二）算術(shù)平均值的極限誤差 正態(tài)分布:測量列的算術(shù)平均值與被測量的真值之差稱為算術(shù)平均值誤差 ，即 。當(dāng)多個(gè)測量列的算術(shù)平均值誤差 為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概率論知識，同樣可得測量列算術(shù)平均值的極限表達(dá)式為： (2-37) 式中的t為置信系數(shù)， 為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。通常取t3，則 (2-38) 實(shí)際測量中有時(shí)也可取其它t值來表示算術(shù)平均值的極限誤差。 t分布:當(dāng)測量列的測量次

22、數(shù)較少時(shí)，應(yīng)按“學(xué)生氏”分布(“student” distribution)或稱t分布來計(jì)算測量列算術(shù)平均值的極限誤差，即 (2-39),第一節(jié)隨機(jī)誤差,式中的 為置信系數(shù)，它由給定的置信概率 和自由度 來確定，具體數(shù)值見附錄3； 為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水平），通常取 =0.01或0.02,0.05；n為測量次數(shù)； 為n次測量的算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差。 對于同一測量列，按正態(tài)分布和t分布分別計(jì)算時(shí)，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此求得的算術(shù)平均值極限誤差也不同。 例2-9 對某量進(jìn)行6次測量，測得數(shù)據(jù)如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.

23、42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。 解：算術(shù)平均值 標(biāo)準(zhǔn)差 因測量次數(shù)較少，應(yīng)按t分布計(jì)算算術(shù)平均值的極限誤差。 已知 ，取 ，則由附錄表3查得 ，則有：,第一節(jié)隨機(jī)誤差,若按正態(tài)分布計(jì)算，取 ，相應(yīng)的置信概率 ，由附錄表1查得t2.60，則算術(shù)平均值的極限誤差為： 由此可見，當(dāng)測量次數(shù)較少時(shí)，按兩種分布計(jì)算的結(jié)果有明顯的差別。 七、不等精度測量 在實(shí)際測量中遇到的不等精度測量主要有兩種： 不同測量次數(shù)進(jìn)行的對比測量。（實(shí)驗(yàn)條件不變） 比如：用同一儀器測量某參數(shù)，先后得到兩個(gè)測量列，第一個(gè)測量列中有n1個(gè)測量值，第二個(gè)測量列中有n2個(gè)測量值；同時(shí)得到兩個(gè)參數(shù)的估計(jì)值：x1,x2.

24、不同精度的儀器進(jìn)行的測量。（實(shí)驗(yàn)條件發(fā)生改變）,第一節(jié)隨機(jī)誤差,不等精度測量存在的意義： 在實(shí)際測量過程中，由于客觀條件的限制，測量條件是變動(dòng)的，得到了不等精度測量。 對于精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)而言，為了得到極其準(zhǔn)確的測量結(jié)果，需要在不同的實(shí)驗(yàn)室，用不同的測量方法和測量儀器，由不同的人進(jìn)行測量。如果這些測量結(jié)果是相互一致的。那么測量結(jié)果就是真正可以信賴的。這是人為地改變測量條件而進(jìn)行的不等精度測量。 對于某一個(gè)未知量，歷史上或近年來有許多人進(jìn)行精心研究和精密測量，得到了不同的測量結(jié)果。我們就需要將這些測量結(jié)果進(jìn)行分析研究和綜合，以便得到一個(gè)最為滿意的準(zhǔn)確的測量結(jié)果。這也是不等精度測量。 對于不等精度測量

25、，計(jì)算最后測量結(jié)果及其精度（如標(biāo)準(zhǔn)差），不,第一節(jié)隨機(jī)誤差,能套用前面等精度測量的計(jì)算公式，需推導(dǎo)出新的計(jì)算公式。 （一）權(quán)的概念 在等精度測量中，各個(gè)測量值認(rèn)為同樣可靠，并取所有測得值的算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。在不等精度測量中，各個(gè)測量結(jié)果的可靠程度不一樣，因而不能簡單地取各測量結(jié)果地算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果，應(yīng)讓可靠程度大的測量結(jié)果在最后測量結(jié)果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各測量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來表示，這數(shù)值即稱為該測量結(jié)果的“權(quán)”，記為 ，可以理解為當(dāng)它與另一些測量結(jié)果比較時(shí)，對該測量結(jié)果所給予信賴程度。 （二）權(quán)的確定方法 測量結(jié)果的權(quán)說明了測量的可靠程

26、度，因此可根據(jù)這一原則來確定權(quán)的大小。 最簡單的方法可按測量的次數(shù)來確定權(quán)，即測量條件和測量者水平皆相同，則重復(fù)測量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由測量的次數(shù)來確定權(quán)的大小，即 。 假定同一被測量有m組不等精度的測量結(jié)果，這m組測量結(jié)果是從單次測量精度相同而測量次數(shù)不同的一系列測量值求得的算術(shù)平均值。因,第一節(jié)隨機(jī)誤差,為單次測量精度皆相同，其標(biāo)準(zhǔn)差均為，則各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為： (2-40) 由此得下列等式 因?yàn)?，故上式又可寫成 (2-41) 或表示為 (2-42) 即：每組測量結(jié)果的權(quán)（ ）與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差平方（ ）成反比，若已知 （各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差），則可由（2-4

27、2）得到相應(yīng) 的大小。測量結(jié)果的權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對可靠程度，它是一個(gè)無量綱的數(shù)，允許各組的權(quán)數(shù)同時(shí)增大或減小若干倍，而各組間的比例關(guān)系不變，但通常皆將各組的權(quán)數(shù)予以約簡，使其中最小的權(quán)數(shù)為不可再放簡的整數(shù)，以便用簡單的數(shù)值來表示各組的權(quán)。 例2-10 對一級鋼卷尺的長度進(jìn)行了三組不等精度測量，其結(jié)果為,第一節(jié)隨機(jī)誤差,求各測量結(jié)果的權(quán)。 解：由式(2-42)得 因此各組的權(quán)可取為 （三）加權(quán)算術(shù)平均值 若對同一被測量進(jìn)行m組不等精度測量，得到m個(gè)測量結(jié)果為： ，設(shè)相應(yīng)的測量次數(shù)為n1,n2, nm，即： (2-43) 根據(jù)等精度測量算術(shù)平均值原理，全部測量的算術(shù)平均值 應(yīng)為：,第一節(jié)隨

28、機(jī)誤差,將式(2-43)代入上式得： 或簡寫為 (2-44) 當(dāng)各組的權(quán)相等，即 時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均值可簡化為： (2-45) 由上式求得的結(jié)果即為等精度的算術(shù)平均值，由此可見等精度測量是不等精度測量得特殊情況。為簡化計(jì)算，加權(quán)算術(shù)平均值可表示為： (2-46) 式中的 為接近 的任選參考值。,第一節(jié)隨機(jī)誤差,例2-11 工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長度為999.9425mm(三次測量的)，999.9416mm(兩次測量的)，999.9419mm(五次測量的)，求最后測量結(jié)果。 解：按測量次數(shù)來確定權(quán)： ，選 ，則有 (四) 單位權(quán)的概念 由式（2-41）知

29、，此式又可表示為 (2-47) 式中 為某精度單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，具有同一方差 的等精度單次測量值的權(quán)數(shù)為1。若已知 ，只要確定 ，根據(jù)（2-47）式就可求出各組的方差 。由于測得值的方差 的權(quán)數(shù)為1在此有特殊用途，故稱等于1的權(quán)為單位權(quán)，而 為具有單位權(quán)的測得值方差， 為具有單位權(quán)的測得值標(biāo)準(zhǔn)差。 利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等權(quán)的測量問題化為等權(quán)測量問題來處理。單位權(quán)化的實(shí)質(zhì)，是使任何一個(gè)量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值權(quán)數(shù)為1。,第一節(jié)隨機(jī)誤差,例如，將不等精度測量的各組測量結(jié)果 皆乘以自身權(quán)數(shù)的平方根 ，此時(shí)得到的新值z的權(quán)數(shù)就為1。證明之： 設(shè) 取方差 以權(quán)數(shù)字 表示

30、上式中的方差，則 由此可知，單位權(quán)化以后得到的新值 的權(quán)數(shù) 為1，用這種方法可以把不等精度的各組測量結(jié)果皆進(jìn)行了單位權(quán)化，使該測量列轉(zhuǎn)化為等精度測量列。,不等精度測量列，經(jīng)單位權(quán)化處理后，就可按等精度測量列來處理。,第一節(jié)隨機(jī)誤差,（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 對同一個(gè)被測量進(jìn)行 m 組不等精度測量，得到 m 個(gè)測量結(jié)果為： 若已知單位權(quán)測得值的標(biāo)準(zhǔn)差，則由式（2-40）知 全部（mn個(gè)）測得值的算術(shù)平均值 的標(biāo)準(zhǔn)差為： 比較上面兩式可得： (2-48) 因?yàn)?代入式（2-48）得 (2-49),第一節(jié)隨機(jī)誤差,1)當(dāng)各組測得的總權(quán)數(shù) 為已知時(shí)，可由任一組的標(biāo)準(zhǔn)差 和相應(yīng)的權(quán) ，或者由單位權(quán)的

31、標(biāo)準(zhǔn)差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 。 2)當(dāng)各組測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為未知時(shí)，則不能直接用式（2-49），而必須由各測量結(jié)果的殘余誤差來計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。 已知各組測量結(jié)果的殘余誤差為： 將各組 單位權(quán)化，則有： 上式中各組新值已為等精度測量列的測量結(jié)果，相應(yīng)的殘差也成為等精度測量列的殘余誤差，則可用等精度測量時(shí)的Bessel公式推導(dǎo)得到： (2-50) 將式（2-50）代入式（2-49）得 (2-51),第一節(jié)隨機(jī)誤差,用式（2-51）可由各組測量結(jié)果的殘余誤差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，但是只有組數(shù)m足夠多時(shí)，才能得到較為精確的 值。一般情況下的組數(shù)較少，只能得到近似的估計(jì)值。 例2

32、-12 求例2-11的加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：由加權(quán)算術(shù)平均值 ，可得各組測量結(jié)果的殘余誤差為： ，又已知 代入式(2-51)得 八、隨機(jī)誤差的其他分布 (了解內(nèi)容) 正態(tài)分布是隨機(jī)誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一分布規(guī)律。下面介紹幾種常見的非正態(tài)分布。 (一)均勻分布 在測量實(shí)踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主要特點(diǎn)是，誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，故又稱矩形,第一節(jié)隨機(jī)誤差,分布或等概率分布。均勻分布的分布密度 （圖2-5）和分布函數(shù) 分別為： （2-52） （2-53） 它的數(shù)學(xué)期望為： （2-54） 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： （2-55） （2

33、-56） (二)反正弦分布 反正弦分布實(shí)際上是一種隨機(jī)誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其特點(diǎn)是該隨機(jī)誤差與某一角度成正弦關(guān)系。反正弦分布的分布密度 （圖2-6）和分布函數(shù) 分別為： (2-57),第一節(jié)隨機(jī)誤差,（2-57） 它的數(shù)學(xué)期望為： （2-58） 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： （2-59） （2-60） （三）三角形分布 當(dāng)兩個(gè)誤差限相同且服從均勻分布的隨機(jī)誤差求和時(shí)，其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱辛普遜（Simpson）分布。實(shí)際測量中，若整個(gè)測量過程必須進(jìn)行兩次才能完成，而每次測量的隨機(jī)誤差服從相同的均勻分布，則總的測量誤差為三角形分布誤差。 三角形分布的分布密度 （圖2-7）和分布函數(shù) 分

34、別為： (2-61),第一節(jié)隨機(jī)誤差,（2-63） 它的數(shù)學(xué)期望為： （2-64） 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： （2-65） （2-66） 如果對兩個(gè)誤差限為不相等的均勻分布隨機(jī)誤差求和時(shí)，則其和的分布規(guī)律不再是三角形分布而是梯形分布。 在測量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布及二點(diǎn)分布等，在此不做一一敘述。 （四） 分布 令 為 個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量，每個(gè)隨機(jī)變量都服從標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布。定義一個(gè)新的隨機(jī)變量 (2-67) 隨機(jī)變量 稱為自由度為的卡埃平方變量。自由度 表示上式中項(xiàng)數(shù)或,第一節(jié)隨機(jī)誤差,獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。 分布的分布密度 如圖2-8所示。 (2-68)

35、 式中的 函數(shù)。 它的數(shù)學(xué)期望為： (2-69) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-70) (2-71) 在本書最小二乘法中要用到 分布，此外它也是 t 分布和 F 分布的基礎(chǔ)。 由圖2-8的兩條 理論曲線看出，當(dāng) 逐漸增大時(shí)，曲線逐漸接近對稱。可以證明當(dāng) 足夠大時(shí)，曲線趨近正態(tài)曲線。值得提出的是，在這里稱 為自由度，它的改變將引起分布曲線的相應(yīng)改變。 （五）t 分布,第一節(jié)隨機(jī)誤差,令 和 是獨(dú)立的隨機(jī)變量， 具有自由度為 的 分布函數(shù)， 具有標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機(jī)變量為 (2-72) 隨機(jī)變量t稱自由度為 的學(xué)生氏t變量。 t分布的分布密度 為（圖2-9）： (2-73) 它的數(shù)

36、學(xué)期望為： (2-74) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-75) (2-76) t分布的數(shù)學(xué)期望為零，分布曲線對稱于縱坐標(biāo)軸，但它和標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布密度曲線不同，如圖2-9所示。可以證明，當(dāng)自由度較小時(shí)，t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度 時(shí)，t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t分布是一種重要分布，當(dāng)測量列的測量次數(shù)較少時(shí)，極限誤差的估計(jì)，或者在檢驗(yàn)測量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時(shí)經(jīng)常用到它。,第一節(jié)隨機(jī)誤差,（六）F分布 若 具有自由度為 的卡埃平方分布函數(shù)， 具有自由度為 的卡埃平方分布函數(shù)，定義新的隨機(jī)變量為 (2-77) 隨機(jī)變量F稱為自由度為 、 的F變量。 F分布的分布密度 如圖2-10所示。 (

37、2-78) 它的數(shù)學(xué)期望為： (2-79) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-80) (2-81) F分布也是一種重要分布，在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。,第一節(jié)隨機(jī)誤差,第二節(jié) 系統(tǒng)誤差,系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因 系統(tǒng)誤差的特征與分類 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法 系統(tǒng)誤差的減小和消除方法,研究系統(tǒng)誤差的重要意義,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,實(shí)際上測量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。因此測量結(jié)果的精度，不僅取決于隨機(jī)誤差，還取決于系統(tǒng)誤差的影響。由于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差同時(shí)存在測量數(shù)據(jù)之中，而且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復(fù)測量又不能減小它對測量結(jié)果的影響，這種潛伏使得系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差具有更大的危

38、險(xiǎn)性，因此研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重要。,系統(tǒng)誤差是指在確定的測量條件下，某種測量方法和裝置，在測量之前就已存在誤差，并始終以必然性規(guī)律影響測量結(jié)果的正確度，如果這種影響顯著的話，就要影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確度。,一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來源于： 測量裝置方面的因素 環(huán)境方面的因素 測量方法的因素 測量人員的因素,計(jì)量校準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計(jì)原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。,測量時(shí)的實(shí)際溫度對標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差

39、。,采用近似的測量方法或計(jì)算公式引起的誤差等。,測量人員固有的測量習(xí)性引起的誤差等。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,二、系統(tǒng)誤差的分類和特征,系統(tǒng)誤差的特征是在同一條件下，多次測量同一測量值時(shí)，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。由系統(tǒng)誤差的特征可知，在多次重復(fù)測量同一值時(shí)，系統(tǒng)誤差不具有抵償性，它是固定的或服從一定函數(shù)規(guī)律的誤差。從廣義上講，系統(tǒng)誤差是指服從某一確定規(guī)律變化的誤差。,圖2-11為各種系統(tǒng)誤差隨測量過程t變化而表現(xiàn)出不同特征。曲線a為不變的系統(tǒng)誤差，曲線b為線性變化的系統(tǒng)誤差，曲線c為非線性變化的系統(tǒng)誤差，曲線d為周期性變化的系統(tǒng)誤差，曲線e為

40、復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。,根據(jù)系統(tǒng)誤差在測量過程中所具有的不同變化特性，將系統(tǒng)誤差分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差兩大類。,（一）不變系統(tǒng)誤差 固定系統(tǒng)誤差是指在整個(gè)測量過程中，誤差的大小和符號始終是不變的。 如千分尺或測長儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差，量塊或其它標(biāo)準(zhǔn)件尺寸的偏差等，均為不變系統(tǒng)誤差。它對每一測量值的影響均為一個(gè)常量，屬于最常見的一類系統(tǒng)誤差。,（二）變化系統(tǒng)誤差 變化系統(tǒng)誤差指在整個(gè)測量過程中，誤差的大小和方向隨測試的某一個(gè)或某幾個(gè)因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化，其種類較多，又可分為以下幾種：, 線性變化的系統(tǒng)誤差 在整個(gè)測量過程中，隨某因素而線性遞增或遞減的系統(tǒng)誤差。,例如，量塊中心長度

41、隨溫度的變化：,第二節(jié)系統(tǒng)誤差, 周期變化的系統(tǒng)誤差 在整個(gè)測量過程中，隨某因素作周期變化的系統(tǒng)誤差。,例如，儀表指針的回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心有一個(gè)偏心量 e ，則指針在任一轉(zhuǎn)角 處引起的讀數(shù)誤差為 。此誤差變化規(guī)律符合正弦曲線規(guī)律，當(dāng)指針在 0 和 180 時(shí)誤差為零，而在 90 和 270 時(shí)誤差絕對值達(dá)最大。, 復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差 在整個(gè)測量過程中，隨某因素變化，誤差按確定的更為復(fù)雜的規(guī)律變化，稱其為復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。,例如，微安表的指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力距間不嚴(yán)格保持線性關(guān)系，而表盤仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差就屬于復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。這些復(fù)雜規(guī)律一般可用代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式或

42、其它正交函數(shù)多項(xiàng)式來描述。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,由于形成系統(tǒng)誤差的原因復(fù)雜，目前尚沒有能夠適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法。但是 我們可針對不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差，可按照下述兩類方法加以識別： 1、用于發(fā)現(xiàn)測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差，包括實(shí)驗(yàn)對比法、殘余誤差觀察法、殘余誤差校核法和不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法； 2、用于發(fā)現(xiàn)各組測量之間的系統(tǒng)誤差，包括計(jì)算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗(yàn)法和 t 檢驗(yàn)法。,三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,1、實(shí)驗(yàn)對比法 實(shí)驗(yàn)對比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進(jìn)行不同條件的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。 這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。,2、殘余誤差觀察法 殘余誤差觀察法是根據(jù)測量列的各個(gè)殘

43、余誤差大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差。 這種方法適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。,（一）測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,將測量列按測量次序分前后兩組。測量列中前K個(gè)殘余誤差相加，后n-K個(gè)殘余誤差相加(當(dāng)n為偶數(shù)，取K=n/2；n為奇數(shù)，取K=(n+1)/2)，兩者相減得： 當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，有：,若：,則有理由認(rèn)為測量列存在線性系統(tǒng)誤差。 它能有效地發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。但要注意的是，有時(shí)按殘余誤差校核法求得差值=0，仍有可能存在系統(tǒng)誤差。,3、殘余誤差校核法(有三種方法), 用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差： (前后分組核算法或馬列科夫準(zhǔn)則),第二節(jié)系統(tǒng)

44、誤差, 用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差：阿卑赫梅特準(zhǔn)則（Abbe-Helmert準(zhǔn)則） 若一等精度測量列，按測量先后順序?qū)堄嗾`差排列為 ，如果存在著按此順序呈周期性變化的系統(tǒng)誤差，則相鄰的殘余誤差的差值( )符號也將出現(xiàn)周期性的正負(fù)號變化，因此由差值( )可以判斷是否存在周期性系統(tǒng)誤差，但是這種方法只有當(dāng)周期性系統(tǒng)誤差是整個(gè)測量誤差的主要成分時(shí)，才有實(shí)用效果。否則，差值( )符號變化將主要取決于隨機(jī)誤差，以致不能判斷出周期性系統(tǒng)誤差。在此情況下，可用統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則進(jìn)行判斷，令,若 (2-85) 則認(rèn)為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。 Abbe-Helmert準(zhǔn)則能有效地發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,

45、用于發(fā)現(xiàn)變值系統(tǒng)誤差：阿貝（Abbe）檢驗(yàn)法（梁晉文版，P50） 等精度測量列，按測量先后順序?qū)堄嗾`差排列為：,則認(rèn)為該測量列中含有變值系統(tǒng)誤差，但不能判斷類型。,設(shè)：,若：,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,4、不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法 對等精度測量，可用不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，通過比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。按貝塞爾公式： 按別捷爾斯公式： 令 若 (2-86) 則懷疑測量列中存在系統(tǒng)誤差。,在判斷含有系統(tǒng)誤差時(shí)，違反“準(zhǔn)則”時(shí)就可以直接判定，而在遵守“準(zhǔn)則”時(shí)，不能得出“不含系統(tǒng)誤差”的結(jié)論，因?yàn)槊總€(gè)準(zhǔn)則均有局限性，不具有“通用性”。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,則任意兩組結(jié)果 與 間不存在系統(tǒng)誤差的標(biāo)志是：,若對同一量獨(dú)立測

46、量得 m 組結(jié)果，并知它們的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差為：,(二)測量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法,(2-87),而任意兩組結(jié)果之差為：,其標(biāo)準(zhǔn)差為：,1、計(jì)算數(shù)據(jù)比較法（費(fèi)業(yè)泰版）,對同一量進(jìn)行多組測量得到很多數(shù)據(jù)，通過多組數(shù)據(jù)計(jì)算比較，若不存在系統(tǒng)誤差，其比較結(jié)果應(yīng)滿足隨機(jī)誤差條件，否則可認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,2、秩和檢驗(yàn)法用于檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)間的系統(tǒng)誤差（費(fèi)業(yè)泰版） 對某量進(jìn)行兩組測量，這兩組間是否存在系統(tǒng)誤差，可用秩和檢驗(yàn)法根據(jù)兩組分布是否相同來判斷。,若獨(dú)立測得兩組的數(shù)據(jù)為：,將它們混和以后，從1開始，按從小到大的順序重新排列，觀察測量次數(shù)較少那一組數(shù)據(jù)的序號，它的測得值在混合后的次序

47、編號（即秩），再將所有測得值的次序相加，得到的序號和即為秩和 T。,1） 兩組的測量次數(shù) ，可根據(jù)測量次數(shù)較少的組的次數(shù) n1 和測量次數(shù)較多的組的次數(shù) n2 ，由秩和檢驗(yàn)表2-10查得 T- 和 T+ （顯著度0.05），若 (2-88) 則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,2） 當(dāng) ，秩和 T 近似服從正態(tài)分布 括號中第一項(xiàng)為數(shù)學(xué)期望，第二項(xiàng)為標(biāo)準(zhǔn)差，此時(shí) T- 和 T+ 可由正態(tài)分布算出。 根據(jù)求得的數(shù)學(xué)期望值 a 和 標(biāo)準(zhǔn), 選取概率 ，由正態(tài)分布分表（附錄表1）查得 t ，則有: T-=a-t , T+ (=a+t) 若: T- T T+ 則兩組間無系統(tǒng)誤差;否則,有系

48、統(tǒng)誤差.,（教材P38頁）,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,解：將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表,查表2-10得,例2-16 對某量測得兩組數(shù)據(jù)如下，判斷兩組間有無系統(tǒng)誤差。 xi: 14.7, 14.8, 15.2, 15.6 ; yi：14.6, 15.0, 15.1,已知,計(jì)算秩和 T=1+4+5=10,因 故無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。,注意：若兩組數(shù)據(jù)中有相同的數(shù)值，則該數(shù)據(jù)的秩按所排列的兩個(gè)次序的平均值計(jì)算。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,令變量: (2-89) 由數(shù)理統(tǒng)計(jì)知，變量t是服從自由度為( )的t分布變量。,3、t 檢驗(yàn)法 （費(fèi)業(yè)泰版）,當(dāng)兩組測量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，或偏離正態(tài)不大但樣本數(shù)不是太少（最好不少于

49、20）時(shí)，可用t檢驗(yàn)法判斷兩組間是否存在系統(tǒng)誤差。,設(shè)獨(dú)立測得兩組數(shù)據(jù)為：,其中,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,注意: (2-89)式中使用的 和 ,不是方差的無偏估計(jì)，若將貝塞爾計(jì)算的 和 用于上式，則該式應(yīng)作相應(yīng)的變動(dòng)。,由 及取 ，查t分布表(附錄表3)得 ，又因 ， 故無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。,則,解：,取顯著性水平，由t分布表（附錄表3）查出 中的 。若 ，則無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。,例2-17 對某量測得兩組數(shù)據(jù)為： x：1.9， 0.8， 1.1， 0.1，-0.1，4.4，5.5，1.6，4.6，3.4 y：0.7，-1.6，-0.2，-1.2，-0.1，3.4，3.7，0.8，0.

50、0，2.0,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,四、系統(tǒng)誤差的減小和消除 （一）消誤差源法 用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。它要求測量人員，對測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個(gè)環(huán)節(jié)作仔細(xì)分析，并在正式測試前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除或減弱到可忽略的程度。由于具體條件不同，在分析查找誤差源時(shí)，并無一成不變的方法，但以下幾方面是應(yīng)予考慮的： 所用基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺等）是否準(zhǔn)確可靠； 所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，并有有效周期的檢定證書； 儀器的調(diào)整、測件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理； 所采用的測量方法和計(jì)算方法是否正確，有無理論誤差； 測量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫

51、度、振動(dòng)、塵污、氣流等； 注意避免測量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,（二）加修正值法 這種方法是預(yù)先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計(jì)算出來，取與誤差大小相同而符號相反的值作為修正值，將測得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。如量塊的實(shí)際尺寸不等于公稱尺寸，若按公稱尺寸使用，就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。因此應(yīng)按經(jīng)過檢定的實(shí)際尺寸（即將量塊的公稱尺寸加上修正量）使用，就可避免此項(xiàng)系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生。 采用加修正值的方法消除系統(tǒng)誤差，關(guān)鍵在確定修正值或修正函數(shù)的規(guī)律對恒定系統(tǒng)誤差，可采用檢定方法，對已知基準(zhǔn)量 重復(fù)測量取其均值 ， 即為其修正值。 對可變系

52、統(tǒng)誤差，按照某變化因素，依次取得已知基準(zhǔn)量 的一系列測值 ，再計(jì)算其差值 ，按最小二乘法確定它隨該因素變化的函數(shù)關(guān)系式，取其負(fù)值即為該可變系統(tǒng)誤差的修正函數(shù)。關(guān)于最小二乘法將在本課程后面介紹。 由于修正值本身也包含有一定的誤差，因此用這種方法不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉，總要?dú)埩羯倭康南到y(tǒng)誤差。由于這些殘留的系統(tǒng)誤差相對隨機(jī)誤差而言已不明顯了，往往可以把它們統(tǒng)歸成偶然誤差來處理。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,（三）改進(jìn)測量方法 在測量過程中，根據(jù)具體的測量條件和系統(tǒng)誤差的性質(zhì)，采取一定的技術(shù)措施，選擇適當(dāng)?shù)臏y量方法，使測得值中的系統(tǒng)誤差在測量過程中相互抵消而不帶入測量結(jié)果之中，從而實(shí)現(xiàn)減弱或消除系統(tǒng)誤差的目

53、的。 1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法 在沒有條件或無法獲之基準(zhǔn)測量的情況，難以用檢定法確定恒定系統(tǒng)誤差并加以消除。這時(shí)必須設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臏y量方法，使恒定系統(tǒng)誤差在測量過程中予以消除，常用的方法有： 反向補(bǔ)償法：先在有恒定系統(tǒng)誤差的狀態(tài)下進(jìn)行一次測量，再在該恒定系統(tǒng)誤差影響相反的另一狀態(tài)下測一次，取兩次測量的平均值作為測量結(jié)果，這樣，大小相同但符號相反的兩恒定系統(tǒng)誤差就在相加后再平均的計(jì)算中互相抵消了。 例如，在紅顯上測螺紋的螺距、半角等參數(shù)，就是采用抵消法來消除恒定系統(tǒng)誤差的典型例子。如測螺距，左右各測一次，得 與 （正確值為P）為： ，為儀器兩頂尖不同心使被測螺紋件偏斜而產(chǎn)生的恒定系統(tǒng)誤差。將 平均

54、后，即可抵消：,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,在使用絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)測微小位移時(shí)，為消除微絲杠與螺母間的配合間隙等 因素引起的定回誤差，往往采用往返兩個(gè)方向的兩次讀數(shù)取均值作為測量結(jié)果，以補(bǔ)償定回誤差的影響。 代替法：代替法的實(shí)質(zhì)是在測量裝置上對被測量測量后不改變測量條件，立即用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量代替被測量，放到測量裝置上再次進(jìn)行測量，從而求出被測量與標(biāo)準(zhǔn)量的差值，即： 被測量標(biāo)準(zhǔn)差差值 抵消法：這種方法要求進(jìn)行兩次測量，以便使兩次讀數(shù)時(shí)出現(xiàn)的系統(tǒng)誤差大小相等，符號相反，取兩次測得值的平均值，作為測量結(jié)果，即可消除系統(tǒng)誤差。這種方法跟反向補(bǔ)償法相似。 交換法：這種方法是根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。

55、 如圖2-18等臂天平稱重,先將被測量X放于 天平一側(cè)，砝碼放于其另一側(cè)，調(diào)至天平平衡， 則有 。若將X與P交換位置，由于 （ 存在恒定統(tǒng)誤差的緣故），天平將失去平衡 。 原砝碼P調(diào)整為砝碼才使天平再次平衡，于是有,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,，則取 ，即可消除天平兩臂不等造成的系統(tǒng)誤差。 2、消除線性系統(tǒng)誤差的方法對稱法 對稱法是消除線性系統(tǒng)誤差的有效方 法，如圖2-19所示。隨著時(shí)間的變化，被 測量作線性增加，若選定某時(shí)刻為對稱中 點(diǎn)，則此對稱點(diǎn)的系統(tǒng)誤差算術(shù)平均值皆 相等。即 利用這一特點(diǎn)，可將測量對稱安排，取各對稱點(diǎn)兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測得值，即可消除線性系統(tǒng)誤差。 例如測定量塊平面平行性時(shí)（

56、見圖2-20）, 先以標(biāo)準(zhǔn)量塊A的中心0點(diǎn)對零，然后按圖中所 示被檢量塊B上的順序逐點(diǎn)檢定，再按相反順序 進(jìn)行檢定，取正反兩次讀數(shù)的平均值作為各點(diǎn) 的測得值，就可消除因溫度變化而產(chǎn)生的線性 系統(tǒng)誤差。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法半周期法 對周期性誤差，可以相隔半個(gè)周期進(jìn)行兩次測量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。周期性系統(tǒng)誤差一般可表示為： 設(shè) 時(shí)，誤差為： 當(dāng) 時(shí)，即相差半周期的誤差為： 取兩次讀數(shù)平均值則有 由此可知半周期法能消除周期性系統(tǒng)誤差。 例如儀器度盤安裝偏心、測微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心的偏心 等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。 4、消

57、除復(fù)雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差的方法 通過構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)回歸統(tǒng)計(jì)，對復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償和修正。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,采用組合測量等方法，使系統(tǒng)誤差以盡可能多的組合方式出現(xiàn)于被測量中，使之具有偶然誤差的抵償性，即以系統(tǒng)誤差隨機(jī)化的方式消除其影響，這種方法叫組合測量法。如用于檢定線紋尺的組合定標(biāo)法和度盤測量中的定角組合測量法以及力學(xué)計(jì)量中檢定砝碼的組合測量法等。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,在一系列重復(fù)測量數(shù)據(jù)中，如有個(gè)別數(shù)據(jù)與其它的有明顯差異，則它（或它們）很可能含有粗大誤差（簡稱粗差），稱其為可疑數(shù)據(jù)，記為 。根據(jù)隨機(jī)誤差理論，出現(xiàn)大誤差的概率雖然小，但也是可能的。因此，如果不恰當(dāng)剔除含大誤差的數(shù)據(jù)，會造成測量精密度偏高的假象。反之如果對混有粗大誤差的數(shù)據(jù)，即異常值，未加剔除，必然會