函數與導數領域中的典型壓軸小題全歸納與剖析

目錄

01模擬基礎練..................................................................2

題型一：唯一零點求值問題.......................................................2

題型二：不動點與穩定點.........................................................3

題型三：運用反函數思想妙解壓軸題...............................................5

題型四：倍值函數...............................................................7

題型五：最值函數...............................................................9

題型六：嵌套函數..............................................................12

題型七：共零點問題............................................................14

題型八：雙參數比值型問題......................................................16

題型九：指數函數與對數函數的交點..............................................18

題型十：曼哈頓距離問題........................................................20

題型十一：平口單峰函數........................................................23

題型十二：三次函數............................................................25

題型十三：指對同構............................................................26

題型十四：切線放縮與夾逼......................................................28

題型十五：整數解問題..........................................................29

題型十六：導數中的“最短距離”問題..............................................32

題型十七：等高線問題..........................................................33

重難點突破：多變量問題........................................................37

02重難創新練.................................................................39

1/52

題型一：唯一零點求值問題

1.已知函數/(x)=/-2x+a(e，T+eTM)有唯一零點，則。=

A.--B.-C.yD.1

【答案】C

【解析】因為/(x)=x2-2x+a(e*T+eT+i)=(x-iy+a(ei+er+i)-l,設f=x-l,貝1]

/(尤)=g(/)=/+4.+eV)_l,因為g(/)=g(T),所以函數g⑺為偶函數，若函數Ax)有唯一零點，則

函數g(f)有唯一零點，根據偶函數的性質可知，只有當，=0時，g⑺=0才滿足題意，即x=l是函數/(X)的

唯一零點，所以2a-1=0,解得“=[.故選：C.

2

2.已知函數〃刈=--4》+乖1+b+2)有唯一零點，則。的值為()

A.2B.1C.D.-1

【答案】A

【解析】因為/(X)=(X-2)2-4+《62+e-z),

所以/(4-%)=(2-%)2-4+?(e2-x+e^2)=/(x)

所以〃4-x)=/(x),故函數〃x)關于直線x=4-;+苫=2對稱,

故由函數/(x)存在唯一零點得零點只在x=2處取得即/(2)=0,

所以〃2)=-4+°(1+1)=0,解得a=2.

故選：A.

3.(2024?遼寧沈陽?模擬預測)已知函數g(x),〃(x)分別是定義在H上的偶函數和奇函數，且

g(x)+/z(x)=e'+x,若函數〃司=2卜一”+加(?1)-6萬有唯一零點，則正實數丸的值為()

2/52

A.7B.：C.2D.3

23

【答案】A

,一g(x)+7z(x)=ex+x

【解析】由已知條件可知，，/、一工/\7/、

+=e-x=g^x)-h［x)

由函數奇偶性易知g(x)=三0

令”(x)=2忖+2g(無)-6萬,步(X)為偶函數.

X-X

當xNO時，'(x)=27/?2+A->0,

“(X)單調遞增，當x<0時，"(X)單調遞減，“(X)僅有一個極小值點OJ(x)

“(x)圖象右移一個單位，所以僅在1處有極小值，

則函數只有1一個零點，即/⑴=0,

解得2=:，

2

故選：A

題型二：不動點與穩定點

4.設函數〃x)=々nx+2x+L,若曲線,”［.sin無+乎上存在點(x。,%),使得，(/(%))=%成立,

V33322

則實數a的取值范圍是.

~13

【答案】I；/-?-2

【解析】因為(如外)在曲線尸？?sinx+苫^上,-1<sinx<1,/.1j/0e.

由于〃尤)=?nx+gx+ga在定義域內是增函數，

所以若/(.%)>為,則/(/(%))>/Vo)>％,與/(/(%))=%矛盾，

若/(%)<%,則/(八%))<>(%)<%,與/(/(%))=%矛盾，所以/(%)="，

則問題轉化為小)=工在口，e］內有解，即方程?nx+；x+*/在口，e］內有解，

得方程。=5/一2111%-1在口，e］內有解，令gOO'f_21nx—x,

3/52

貝I]g，(x)=(3x+2)(x-l),xe[1,e]時，g，(x)>0,

X

17

即g(x)在Ie]上單調遞增，所以g⑴Wg(x)^g(e)=>-^g(x)^-e-e-2.

"1Q

故答案為：-,-e2~e-2

5.已知函數/(x)=--+x-?(aeR),若曲線>=(e為自然對數的底數)上存在點(%,%)使得

Xe+1

/(7■(%))=%,則實數。的取值范圍為.

【答案】

2ex+1(l-e2x)

【解析】結合函數的解析式：>=受可得：戶JJ,

e+1(e"+1)

令_/=0，解得：x=0,

當x>0時，y'>Q,當x<0,y'<0,

貝(JxG(-00,0),函數單調遞增，xe(0,+00)時，函數y單調遞減，

則當x=0時，取最大值，最大值為e,

.力o的取值范圍(0,e],

結合函數的解析式：〃x)=^+x-a(aeR)可得：/，(力止學±1,

xx

xE(0,e),f'(x)>0,

則/'(x)在(0,e)單調遞增，

下面證明/'(yo)=yo.

假設/(yo)=c>yo,則/(/(則))=f(c)>f(yo)=。>M，不滿足/(/(yo))=yo.

同理假設/(則)=c<yo,則不滿足/(/(則))=yo.

綜上可得：f(yo)=yo.

令函數/(x)=^+x-a=x.

設g(x)=《，求導才(力=上等，

當工￡(0,e),gf(x)>0,

g(x)在(0,e)單調遞增，

當x=e時取最大值，最大值為g(e)=g,

4/52

當X—>0時，6Z—>-00,

...a的取值范圍.

6.(2024?河南?二模)6知函數/(x)=乂？+2彳一2耳，若曲線>=—x?+2x上存在點(%,%)使得

/(/(%))=%，則a的取值范圍是.

【答案】[0,1]

【解析】若曲線歹=一爐+2x上存在點(Xo/o),故%=-/2+2/41,

設/(%)=，，則/(。=%，即(，,%)、(%,。都在/=/(》)圖象上，不難發現該兩點關于了=工對稱，故

Jx3+2x-2a=x(xe[0,1])有解

n尤3-x?+2x=2"(xe[0,1])有解，

h(x)=x3-x2+2xh'(x)=3x2-2x+2,A=22-4x2x3<0，即〃(x)>0n〃(尤)在[0,1]上單調遞增，所

以2ae(MO),[(l)]=(O,2]nae[(M]

故答案為：[0/

題型三：運用反函數思想妙解壓軸題

7.若占滿足2*=5-尤多滿足x+log2x=5,則玉+x2等于.

【答案】5

【解析】由題意5-再=2為，故有5-3=1。82工2

故4和X]是直線y=5-x和曲線了=2*、曲線y=log2x交點的橫坐標.

根據函數y=2"和函數y=log?x互為反函數，它們的圖象關于直線N=x對稱,

故曲線y=2*和曲線y=log2x的圖象交點關于直線y=x對稱.

即點(再,5-再)和點伍,5-迎)構成的線段的中點在直線y=x上，

即五±三二5-占+5f,解得玉+苫2=5,

22

5/52

故答案為：5.

8.已知函數/(x)=2，+x-2,g(x)=log2x+x-2,/z(x)=/+x-2的零點分別為0,b,c,貝!j

a+b+c=.

【答案】3

【解析】如圖，在平面直角坐標系中，作函數了=2工，y=log2X,了=丁的圖象，它們的圖象與函數y=-x+2

的交點的橫坐標就是a,b,c.

因為y=2"y=bg2尤互為反函數，其圖象關于直線＞=x對稱，y=-x+2與＞=x垂直，所以。+6=2.

又〃(1)=1+1-2=0,所以c=l.

所以a+6+c=3.

故答案為：3

9.設點尸在曲線丁=/+1(；^0)上，點。在曲線了=必1(x21)上，則|尸。1的最小值為.

【答案】亞

44

【解析】由y=/+l,得：x2=y-1,x=±Jy-l.

所以夕=尤2+1(&20)與＞=五二1互為反函數.

則它們的圖象關于＞=x對稱.

要使\PQ\的距離最小，則線段尸。垂直直線了=x.

點尸在曲線＞=/+1(》±0)上，點。在曲線了=，1-1上,

設尸(x,V+l),Q(x,JTH).

又P,Q的距離為尸或。中一個點到＞=x的最短距離的兩倍.

以。點為例，0點到直線V=x的最短距離

6/52

所以當=即x=3時，d取得最小值逑,

248

則|尸目的最小值等于2xhg=孚.

故答案為：￡1

4

題型四：倍值函數

10.已知"X)是定義在實數集R上的奇函數,°為非正的常數，且當x>0時，/.若存在實數優<”,

使得〃x)的定義域與值域都為[%"],則實數a的取值范圍是

【答案】㈠叫

【解析】Qa<0,

當尤>0時,為減函數,

???/(X)是定義在實數集尺上的奇函數，所以“X)的圖象關于原點對稱，

，x<0時，/(x)=-/(-x)=qx+x2為減函數，

又由奇函數特性可知/(0)=0

ax-x2,x>0

所以y(x)=，o,x=o

ax+x2,x<0

7/52

可由圖像易知函數y=/(x)是實數集R上的減函數，

If(m\=n

由題可得，

當時，/(m)-v6,所以/(加)=幾無角軍；

當加/時，/(m)>0,所以/(加)二〃無角軍；

??"(x)的定義域與值域都為［加，句,

am+m2=n

「?2，

［an-n=m

兩式相加可知：。=〃一加+1>0(舍)或冽+〃=0,

a=—YYI—1〉一1>

/.—1<QV0.

故答案為：(-L0］.

11.(2024?高三?黑龍江大慶?開學考試)定義區間值，尤2］長度尤2-%(%>王)為，己知函數

S+：)x%c0)的定義域與值域都是［孫同，則區間［九取最大長度時。的值

ax

為.

【答案】3

【解析】因為所以/(x)在(--0)和(0,+8)上都是單調遞增函數，所以

crxaax

m<n<0^0<m<n

因為值域是［加,可,所以加=巴把——

aamaan

即m,n為方程x="二：0)x+1=o兩個不同的實根，

aax

所以A=(/+q)2_4/>o/.a>1或〃<—3

向長度為>正「二不二'不

所以當：=；,。=3時，］冽,可長度取最大值，

8/52

故答案為：3

12.定義在區間K，%］長度為工2-%(%>匹)，已知函數〃x)="?x2(aGR,存0)的定義域與值域

ax

都是［見則區間［見汨取最長長度時。的值是.

【答案】7

【解析】函數"X)=小-J-的定義域為(--°)U(0,+功，顯然/(X)在(-8,0),(0,+8)上單調遞增，

aax

_ff(m)=m

依題意，(-8,0)或M,〃］U(0,+e),因此/(x)在阿㈤上單調遞增，則有［、，

2

于是得加，”是方程"X)=x的同號相異實根，即方程flV-(a+a)x+2=0的同號相異實根，

［2

則A=(Q2+〃)2—8a2>0,解得〃<_2也一1或4>20—1，Rm+n=l+—,mn=-此時加/同號，

aaf

n-m="m+ri?-4冽"=J(1+—)2=J--+—+l=^-7(--y)2+y<2J

當且僅當工=工，即a=7時取等號，

a7

所以區間［%〃］取最長長度時，。的值是7.

故答案為：7

題型五：最值函數

13.設aeR,對任意實數x,記/(x)=111也{岡-2,/-辦+3a-5},其中min{a,6}=.若了⑺至少

有3個零點，則實數a的取值范圍為.

【答案】［10,+8)

【解析】設g(尤)=x、ax+3”5,/z(x)=|x|-2,由國-2=0可得x=±2.

要使得函數〃x)至少有3個零點，則函數g(x)至少有一個零點，則A=a=12a+2020,

解得a42或aZ10.

①當a=2時，g(x)=1-2x+l,作出函數g(x)、〃(x)的圖象如下圖所示：

9/52

此時函數/(x)只有兩個零點，不合乎題意;

②當0<2時，設函數g(x)的兩個零點分別為毛、x2(xj<X2)

要使得函數〃尤)至少有3個零點，則94一2,

a八

一<—2

所以，2，解得ae0；

g(-2)=4+5tz-5>0

③當°=10時，g(x)=x2-10x+25,作出函數g(x)、6(x)的圖象如下圖所示:

由圖可知，函數/(X)的零點個數為3,合乎題意;

④當a>10時，設函數g(x)的兩個零點分別為X3、x4(x3<x4),

要使得函數/'(x)至少有3個零點，則花22,

a八

—>2

可得2,尚牟得。>4,止匕時a>10.

g(2)=4+(7-5>0

綜上所述，實數。的取值范圍是［10,口).

故答案為：［10,+s).

10/52

14.設max{a,6,c}表示0,b,c中最大的數.設.0<a<6<c<l,H.b>2a,則max{6-a,c-6,l-c}的最小

值為.

【答案】：

【解析】令6—。=九。一/）=〃,1一。二P,其中私〃,P>0,

b=\-n-p

所以

a=l-m-n-p

若Z?N2a,貝ljb=l—〃一,22（1—冽一〃一夕），故2m+〃+221,

^M=max[b-a,c-b,l-c]=max{加，%p},

2M>2m

，故〃加+〃+夕貝工，

因此M>n42221,2

M>p

可知max{6-a,c-6,l-c}的最小值為;,

故答案為：:

15.（2024?貴州?三模）以maxM（minAf）表示數集“中最大（?。┑臄?設a>0,6>0,c>0,已知/c+b2c=正

貝Umin<max

【答案】蚯

【解析】由/c+62c=1,得/+°2=，,

c

設max，，」」\=M,則Af1之，1

,M>—=a2+b2>lab,

[abcab'c

J__]_C711c7

由3“=2屈?屈+“”+2ab——iH—I+2ctb

y[a4bslab\ab

>3?,-=.-=.2tzZ）=3V2,

TabTab

當且僅當。=b=c=擊時，取等號,

11

所以min{max=蚯.

ac

故答案為：V2.

11/52

題型六：嵌套函數

16.(2024?安徽安慶?三模)已知函數/(幻=》卜-/)+02，+加/卜-0*)有三個零點為，x2,x3,且

x1<0<x2<x3,其中加eA,e=2.718為自然對數的底數，則的范圍為.

【答案”0,7y

【解析】由/(x)=0,兩邊同時除以/(x-e)變形為^+^7+機=0,

*土HI-/M=0

有/尤?

-------1

/

Y1

設一=，即，H----Fm=0,所以/+(冽一1?+1一加=o

ext—\

令g(x)=2,貝lJg'(x)=W，所以g(x)在(-*1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減,

exex

且g(O)=O，g(l)=L當X>O時，g(x)>0其大致圖像如下.

要使關于x的方程上+上一+旭=0有三個不相等的實數解a，x2,x3,且毛<0</<退.

exx-ex

結合圖像可得關于t的方程g(0="+(加-1"+1-加=0一定有兩個不等的實數根％,t2

且4<0<%2<1，從而1<加<1+?一.

ee-e

tx+t2=\-m,tct2=\-m,貝W=W='2?

所以「磯方巾乎)=(5(3

二[(4T)(%2T)]2=[他_(4+%2)+1]2=[1—冽一(1一加)+1『=1

12/52

故答案為：,，￡]

e*T,x>0

17.已知函數/(x)={13

若函數8(尤)=/(尤)一5有4個零點為，x2,X3,x,則

一一x2-x+l,x<04

[4

x1+x2+x3+x4=；若關于X的方程尸(x)-g/(x)+a=o(ae&有8個不相等的實數根，貝!I。

的取值范圍是.

【答案】磊

>0

【解析】由題意，函數/(')=<1

—x9—x+1,x0

4

根函數的圖象變換，函數/(x)=/T的圖象關于x=l對稱,

根據二次函數的性質，可得函數〃目=-32-x+1的圖象關于》=一2對稱,

在坐標系中作出函數/(無)的圖象，如圖所示,

3

函數g(x)=/(x)—5有4個零點與，%，了3，%,

可得幺產=-2,七么=1,所以西+迎+馬+匕=一2；

令/(x)=f,貝1J方程/2(x)_g/(x)+a=0可化為f2_g/+a=0,

因為了“x)-g/(x)+“=0有8個不等的實數根，

則方程“X)，必有4個實數根，所以1</<2,

所以〃一｝+。=。在法(1,2)有2個不同的實數根,

令〃(/)=〃一｝+。，可得其對稱軸的方程為y不

5Q75

則滿足〃(1)=]_彳+々〉0,解得:<〃<今,

''2216

7/(2)=4-5+Q>0

所以實數。的取值范圍是邑3多25).

216

325

故答案為：-2；(―,—)

13/52

18.若函數/(x)=丁+foc+c.有極值點匹,々，且〃X])=尤一則關于x的方程3(/(x)y+2q/(x)+6=0的

不同實根個數是.

【答案】3

因/(X)=3x2+2ax+b,故由題設可知/'(x)=3/+2依+6=0有兩解七,馬，因此方程3/2(x)+2af(x)+b=0

有兩個根/色)=%,/(4)=%.如圖，由于/(國)=尤-因此一定存在唯一的再<x0使得/(%)=/(%)=再，

故方程3/(x)+2/(x)+6=0有三個實數根，故答案為3.

題型七：共零點問題

14

19.已知函數/(%)=2及+ln(x-〃+2),g(x)=——t,若函數〃(x)=—/一〃/一。一〃)％+〃一8在(—，3)上是

x3

增函數，且/(x)g(x)(0在定義域上恒成立，則實數,的取值范圍是.

【答案】1u{/}

【解析】由于函數訪(x)=gx3-"X?-(1一〃)x+“-8在(F,+8)上是增函數，所以力'")=4/-2內-(1-“)20恒

成立，故A=4〃2+16(1-〃)40,即(〃-2)240,所以“=2.故/(；08(月40即(2a+111》)&—卜0在(0,+8)

2Zx+Inx<02^x+lnx>0

上恒成立，等價于1八①，或1八②.

一一Z>0一一t<0

、xlx

14/52

,所以冽(x)在(O,e)上加(x)<0,m(x)

由①得<③，構造函數冽(x)=----(x>0),(%)=ln,1

,12t<—i

遞減，在(e,+oo)上加(x)>0,機(x)遞增，最小值為加(e)=--,所以③等價于《—e,解得/V-7r.

e[?<02e

2-皿

由②得,X④.由-孚=!解得X=[.根據機(X)和了」的單調性可知，當且僅當f=L=e2時，④成

2xx

立.

綜上所述，，的取值范圍是,泡-：U{e2}.

故答案為U{/}.

20.設函數〃x)=(x+a)ln(x+6),若/(x)20恒成立，則/+〃的最小值為.

【答案】1/0.5

2

【解析】當％〈一。時，x+a<0；當、>一。時，x+〃〉0,

當一—6時，ln(x+b)<0；當x〉l—b時，ln(x+b)〉0；

若/(%)之。恒成立,則必須一。=1一6,即b-〃=1,

所以/+/=/+(q+])2=2心+口+1>1,

所以當。=-1,6=1時，/+〃取到最小值9

222

故答案為：

21.設函數/(x)=(x+a)ln(x+6).若/(x)20,則就的最小值為.

【答案】一/一0.25

4

【解析】當入之一6+1時，ln(x+/?)>lnl=0,止匕時要使/(x)20,還需％恒成立，即還需一6+1+。20,

當一6<x(一b+l時，ln(x+6)?lnl=0,止匕時要使/(x)20,還需X+Q?0恒成立，即還需一b+l+aWO,

綜上所述，-b+1+a=0f即b=l+〃，

15/52

以qb=Q(1+Q)=|QH——￡所以…小值為］，等號成立當且僅當.—

4

故答案為：］.

題型八：雙參數比值型問題

A_1

22.已知不等式x<ae*+6對任意xe&恒成立(其中e為自然對數的底數，a,6eR)則二的最小值

a

為.

【答案】"e

【解析】令/(x)=ae*+6-x,利用導數研究函數的單調性，求出其最小值，則最小值大于等于零，即可得

至lJl+6+lnaNO,則。一12Tna—2,所以3口3也匚，令g(a)=^匕，(a>0)利用導數求出g(a)

aaa

的最小值即可得解；令/(x)=ae'+6-x,則/(x)20恒成立，

所以/'(x)=ae-l

當aWO時，/'(x)<0,不符合題意，舍去；

當a>0時，由/，(x)=0,得x=-lna,當x<-lna時，/<x)<0即/(x)在(-co,-Ina)上單調遞減，當

x>-Ina時，/(x)>0即/(x)在(—Ina,+s)上單調遞增，

所以/'(x)的最小值為/(-Ina)?"++In?>0,即1+6+lnaNO,

貝！Jb-1>-ln?-2,

bt、i6—1、—In_2./\—Intz—2(八、，/、一l+lna+2Intz+1

所以——>-------，令g(〃)=--------，(。>0),則g'(〃)=-----2——=——，

aaaaa

所以當時，g'(")>0即g(“)在。+力上單調遞增，當0<a<；時，g，(a)<0即g⑷在(0,［上單調

-ln--2

遞減,故g(a)min=g［1|=-f—=-e,

故答案為：口

16/52

23.已知a,6eR,若關于x的不等式InxVa(x-2)+6對一切正實數x恒成立，則當6取最小值時，實

數6的值為.

【答案】ln3-1

【解析】不等式Inx<a(x-2)+6對一切正實數%恒成立，

即直線V=a(x-2)+6恒在曲線了=lnx的上方.

當a+6最小，即直線了=a(x-2)+b與x=3交點的縱坐標最小.

根據圖象可知，

當x=3時，y=a+b>\n3,

所以當直線>=a(x-2)+b與曲線y=lnx相切于點(3,ln3)時，6取最小值ln3.

因為(lnx)=；,所以a=§,所以6=ln3-§.

故答案為：ln3-§

〃一3

24.已知不等式x-31nx+lRlnx+〃(m,n&R,且切片-3)對任意實數x>0恒成立，則——的最大值

為.

【答案】-ln2.

【解析】令f(x)=x-3/HX+1-minx-n,

則/(x)=1-"上(x>0),

X

若以+3<0,則/(x)>0,f(x)單調遞增，由當x—?()時，f(x)-—oo,不合題意；

???冽+3>0,由了(x)=0,得工=加+3,

當(0,m+3)時，f(x)<0,當］￡(m+3,+00)時，f(%)>0,

???當工=冽+3時，f(x)有最小值，貝(加+3)=m+3-3ln(冽+3)+1-mln(m+3)一收0,

即幾-3<m+l-（加+3）In（加+3）,

17/52

n-3m+1,/c、

-------<---------l?(m+3),

m+3m+3

x+]

令g(x)=--------l〃(x+3),

x+3

m/、21-x-1

“g'x-(x+3)2-I+3-(x+3)2■

當x￡(-3,-1)時，g，(x)>0,當(-L+oo)時，gr(x)<0,

?,?當％=-1時，g(x)有最大值為-勿2.

〃一

即23的最大值為-歷2.

故答案為：-In2.

題型九：指數函數與對數函數的交點

25.函數/(x)=xe'-l的零點為。，函數8(%)二武也、-1)-。的零點為6,則下列結論正確的是()

A.a+—=2B.a+—>2C.ab=2eD.ab>2e

ee

【答案】B

【解析】/(a)=ae"-1,則e"=—,a>0,即。=ln'=-ln。，即〃+lna=0；

aa

g(Z?)=/)(lnZ?-l)-e=0,b>0,則ln2=s二—ln￡,BP-+ln-=0.

ebbbb

設g(x)=x+lnx,則函數在(0,+e)上單調遞增，g(a)=g^,

e

ci——,Bpab=e,

b

a+—=a+—>2Aa'—=2,當a=l時，Q+lna=0不成立，故owl,

ea\a

等號不成立，故——a-\—>2,ACD錯誤B正確.

ea

故選：B

26.設4,笠2分另I」是函數/(x)=x〃"一l和g(%)=%logqXT的零點(其中?！?)，則%1+2%的取值范圍是()

A.2+8)B.(2,+oo)c.[3,+co)D.(3,+00)

【答案】D

【解析】解法一：(圖象法)根據題意可知4吃分別為尸就與＞=!和y=bgN與歹=:交點的橫坐標,，再根

18/52

據同底數的指數對數函數互為反函數，有玉=：.代入%+2%=2%+，,再根據區間（1,+⑹上單調遞增，所以

國+2X2>3.

解法二：（定義法）根據函數零點的定義可知不、Z是方程優=工和log“x='的根，又。>1,所以函數

XX

尸（X）=優-L在（0,+8）上單調遞增，所以玉=’.代入玉+2X2=+,在區間（1,+到上單調遞增，所以

XX?%2

國+2x2>3.解懈法一：（圖象法）

根據函數零點的定義可知函數尸優與y」的圖象交點為

同理可得函數y=k）gaX與y的圖象交點為卜2，J

又因為函數y=優與y=k）gaX的圖象關于直線〉=x對稱,

函數>=」的圖象也關于直線v=x對稱，

X

（1

所以點占,一與點無2，一關于直線了=》對稱，所以不=一.

Ix"【工2J/

由a>1可知9>1，所以玉+2%=2X2+丁在區間（1,+?0上單調遞增,

所以玉+2尤2>3.

故選:D

解法二：（定義法）

根據函數零點的定義可知為是方程優=-的根，

所以為也是函數尸（無）=小-工的零點.

X

111

同理可得x2是方程log“X=—的根，即log。X2=—,

XX?

111

所以，所以一也是函數/（、）=優-一的零點.

ax

-2X2x

1_1

又a>1,所以函數尸（x）=4-一在（0,+8）上單調遞增，所以石=一.

由〃>1可知%>1,所以玉++,在區間（1,+8）上單調遞增,

所以再+2%2>3.

故選:D

19/52

27.數學家已經證明：指數函數/(x)=優與對數函數g(x)=log.x(a>0,。H1)的圖象當且僅當i<°/時

有兩個不同的公共點.若對任意的x>0,都有0麻>多恒成立，則實數b的取值范圍是_______.(注：e是

b

自然對數的底數)

【答案】(-,+?)

e

【解析】由題意可得>=*在>=竽的上方，由對數的性質和指數函數的單調性，可得6的范圍.“若對任意

b

的X>0,都有*>空恒成立”等價于“函數y=/=(/)，恒在函數y="=lne?x的上方“，

bb

所以修>對，即

故答案為：(L+8).

e

題型十：曼哈頓距離問題

28.已知點尸(士,必)是單位圓/+必=1上的動點，點。(%,%)是直線2工+>-6=0上的動點，定義

￡Pe=|x1-x2|+|y1-j2|,則的最小值為()

A.3--B.6-V5C.述D.空

253

【答案】A

【解析】過尸，。作x軸，V軸的垂線，垂足及其他交點如圖所示，

則|x,-x2|=EF=PH=GQ,\yi-y^=CD=PG=QH,

由于直線2尤+了一6=0的斜率是一2,

當產,0都在第一象限時，

@LPQ=卜-耳+|必-刃=PG+GQ=PG+；GK

=PK--GK>PK--PK=~PK

222

取x/=x2e[0,1]時等號成立，

貝Uyi=11-X；,y2=6~2x2=6-2xi,

貝！I\xi-x2\+\yi-y2\=\yi-y2\=6-2xt-Jl-x；

20/52

71

令Ax/=cos。(。￡[0,—]),

則M-"1=6-2cos6-sin0=6-V5sin()N6-石；

?LpQ^x.-x^y.-y^QH+PH=2HL+PH=PL+HL>PL

取以="￡[0，1]時等號成立，

則X/=Jl-y；,X2=3-^-=3-y.

1

貝J|x/-x2\+\yi-y2\=\xi-x2\=3-^--y[i-yf,

A71

令y/=sin6(?e[0,—]),

貝！J|x/-尤21=3-'sin。-cos6=3-—sin(6+夕)>3-—.

222

當尸，。中至少有一個點不在第一象限時，明顯W-Xzl+L-刃的取值會比都在第一象限時大,

綜上可得：M-xR+歷-列的最小值是3-立L

2

故選：A.

29.(2024?廣東惠州?三模)在平面直角坐標系中，定義兩點9區,必)與。(%，%)之間的“直角距離”為

"(尸,。)=|尤1一切+小一必|?給出下列命題:

(1)若尸(1,2),Q(sina,cosa)(a《尺)，則"(尸,。)的最大值為3-亞;

(2)若尸,。是圓f+/=1上的任意兩點，則"(P,°)的最大值為2亞；

(3)若尸(1,3),點。為直線y=2x上的動點，則"(尸,。)的最小值為g.

其中為真命題的是

A.(1)(2)(3)B.(2)C.(3)D.(2)(3)

【答案】D

21/52

【解析】對于（1）,d（P,Q）=|l-sintz|+|2-cosa|=3-收sin[a+?J,

,.,aeR,."（P,。）的最大值為3+。,故⑴不正確.

對于（2）,要使"（尸,。）最大，必有己。兩點是圓上關于原點對稱的兩點，可設尸^-,^-2V2旦

/

則或尸,0）=20.故（2）正確;

3

對于（3）,設0（x（）,2xo）,則4（尸,0）=鬲-1|+|2/-3|,去掉絕對值后可知當％=5時，"（尸,。）取得最小值

7,故（3）正確.故選D.

考點：信息題.

30.“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創詞匯，其定義如下：在直角坐標平面上任意兩點

4（%,1）,8（%，外）的曼哈頓距離"（48）=|國一4+|必-%|,則下列結論正確的是（）

A.若點P（2,4）,0（-2,l）,則〃尸,0）=6

B.若點W（-l,0）,N（l,0）,則在x軸上存在點尸，使得d（尸,M）+d（尸,N）=l

C.若點點p在直線龍-2y+6=0上，則d（尸,M）的最小值是5

D.若點W在圓/+丁=4上，點N在直線2x-y+8=0上，則/（MN）的值可能是4

【答案】D

【解析】A選項，4/（P,e）=|2-（-2）|+|4-l|=7,A錯誤；

B選項,設產（機,0）,則d