第十四章全等三角形14.3角的平分線課時1角平分線的性質(zhì)目錄1.學習目標3.知識點1 作已知角的平分線6.課堂小結(jié)2.新課導入4.知識點2 角的平分線的性質(zhì)7.當堂小練CONTENTS9.拓展與延伸5.知識點3 證明幾何命題的一般步驟8.對接中考1.能用尺規(guī)作圖作一個角的平分線，知道作圖的理論依據(jù).2.探索并證明角的平分線的性質(zhì)，能夠利用該性質(zhì)解決幾何問題.3.熟練掌握證明幾何命題的一般步驟.學習目標知識回顧角平分線的概念：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.OABC如圖，OC是∠AOB的平分線.

新課導入請你作出∠AOB的平分線OC，你有怎樣的方法？AOB用量角器度量；將角剪下來，用折紙的方法對折．前面我們學習了全等三角形的性質(zhì)和判定，知道可以通過證明三角形全等，來證明線段相等或角相等.本節(jié)利用這個方法研究角的平分線，研究角的平分線上的點具有什么特性，以及滿足什么條件的點在角的平分線上.新課講解知識點1作已知角的平分線探究如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的任意一點，M，N分別是OA，OB上的點，我們研究PM與PN的關(guān)系.研究幾何圖形的關(guān)系時，我們往往關(guān)注其中的一些特殊情況.在圖中，當OM與ON滿足什么關(guān)系時，PM=PN？在△OPM和△OPN中，OP=OP，∠POM=∠PON，如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN

(SAS)，就有PM=PN.新課講解探究

反過來，如圖，M，N分別是∠AOB的邊OA，OB上的點，OM=ON.點P在∠AOB的內(nèi)部，PM=PN，你能證明出點P在∠AOB的平分線上嗎？AOBMNPOM=ON，PM=PN，OP=OP，∴△OPM≌△OPN

(SSS)，∴∠POM=∠PON，∴點P在∠AOB的平分線上.證明：連接OP，在△OPM和△OPN中新課講解思考由上述結(jié)論，你能想到如何作一個角的平分線嗎？①根據(jù)上述結(jié)論，可以先在角的兩邊上分別作出與角的頂點距離相等的兩點；②再在角的內(nèi)部作出與這兩點距離相等的點；③以角的頂點為端點，作過這個點的射線，就能得到角的平分線了.AOBMNP新課講解ABO已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.

MNC為什么呢？新課講解思考ABOMNC作圖依據(jù)是什么？利用“SSS”證明全等兩個三角形全等，則對應(yīng)角相等新課講解

注意例新課講解1.已知：∠AOB，如圖所示.求作：∠AOB的補角的平分線.（不寫作法，保留作圖痕跡）解：如圖所示，射線OD就是∠AOB的補角的平分線.AOBCEFD新課講解作平角的平分線的方法就是過直線上一點作這條直線的垂線的方法.結(jié)論已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的平分線.AOBEFC練一練知識點2角的平分線的性質(zhì)新課講解探究由此，我們可以猜想角平分線有什么性質(zhì)？如圖，OC是∠AOB的平分線.點P1，P2，P3，…在OC上，過點P1，P2，P3，…，分別畫OA與OB的垂線，垂足分別為D1與E1、D2與E2、D3與E3…，分別比較P1D1與P1E1、P2D2與P2E2、P3D3與P3E3…，你有什么發(fā)現(xiàn)？P1D1=P1E1、P2D2=P2E2、P3D3=P3E3.角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.新課講解我們證明這個性質(zhì).首先，要分清其中的“已知”和“求證”.已知：一個點在一個角的平分線上；求證：這個點到這個角兩邊的距離相等.為了更直觀、清楚地表達題意，我們通常在證明之前畫出圖形，并用符號表示已知和求證.新課講解如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.分析：如果能證明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE.由題意可知，△OPD和△OPE具備“角角邊”的條件.證明：∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△OPD和△OPE中，∠AOC=∠BOC，∠PDO=∠PEO，OP=OP，∴△OPD≌△OPE（AAS），∴PD=PE

.新課講解角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.∵OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.幾何語言：角平分線的性質(zhì)：角的平分線的性質(zhì)的兩個必要條件：(1)點在角平分線上；(2)這個點到角兩邊的距離即點到角兩邊的垂線段的長度.兩者缺一不可.新課講解1.角的平分線的性質(zhì)是由兩個條件（角平分線，垂線）得到一個結(jié)論（線段相等）.2.利用角的平分線的性質(zhì)證明線段相等時，證明的線段是“垂直于角兩邊的線段”，如圖①所示，而不是“垂直于角平分線的線段”，如圖②所示.注意新課講解例2.如圖，OD平分∠EOF，在OE，OF

上分別取點A，B，使OA=OB，P為OD

上一點，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.求證：PM=PN.方法點撥：在圖中找出符合角的平分線的性質(zhì)的模型，利用角的平分線的性質(zhì)證明線段相等.證明：∵OD

平分∠EOF，∴∠BOD=∠AOD.在△BOD

和△AOD

中，∴△BOD≌△AOD(SAS).OB=OA，∠BOD=∠AOD，OD=OD，∴∠BDO=∠ADO，即DO

平分∠BDA.又∵

P為DO上一點，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN.新課講解例3.把兩個同樣大小的含30°角的三角尺按照如圖(1)所示方式疊合放置，得到如圖(2)的Rt△ABC和Rt△ABD，設(shè)M是AD與BC的交點，則這時MC的長度就等于點M到AB的距離，你知道這是為什么嗎？請說明理由.解：如圖，過點M作MH⊥AB于點H.∵∠BAD=30°，∠CAB=60°，∴∠MAC=∠BAC-∠MAB=30°=∠MAB,∴AM平分∠CAB.∵MH⊥AB，MC⊥AC,∴MH=MC，即MC的長度等于點M到AB的距離.新課講解練一練1.如圖，已知AC平分∠BAD，F(xiàn)在AD上，CE⊥AB，CD⊥AD，點E，D分別為垂足，CF=CB．求證：BE=FD．新課講解練一練2.如圖，在△ABC

中，∠C=90°，AD

平分∠CAB，交BC于點D，BD=2CD，點D到AB

的距離為5.6cm，求BC

的長.解題秘方：依據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CD的長，進而得出BD

的長，依據(jù)BC=CD＋BD即可得解.解：如圖，過點D

作DE⊥AB

于點E.∵∠C=90°，AD

平分∠CAB，點D

到AB

的距離為5.6cm，∴

CD=DE=5.6cm.又∵BD=2CD，∴BD=2×5.6=11.2(cm).∴BC=CD＋BD=5.6＋11.2=16.8(cm).知識點3證明幾何命題的一般步驟新課講解證明一個幾何命題時的步驟：已知：一個點在一個角的平分線上求證：這個點到角兩邊的距離相等；第一步：明確命題中的已知和求證.第二步：根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證；第三步：經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.1.所畫圖形應(yīng)符合題意，并具有一般性和代表性.在畫圖的時候要考慮是否存在不同的情形，若存在，則要分別畫出圖形，再分別進行證明；2.證明過程中的每一步推理都要有依據(jù)，比如：已知條件、定義、定理等.注意新課講解例4.求證：三角形的一邊的兩端點到這條邊上的中線所在的直線的距離相等.需要先將命題改寫成”如果……那么……“的形式，然后確定已知和求證.解：已知：如圖，AD為△ABC的中線，且CF⊥AD于點F，BE⊥AD交AD的延長線于點E.求證：BE=CF.證明：∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD.∵BE⊥AD交AD的延長線于點E，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°.在△BED和△CFD中，∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=CD，∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE=CF.新課講解例5.求證：兩角和其中一角的平分線對應(yīng)相等的兩個三角形全等.解：已知：如圖，在△

ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分別為∠BAC，∠B′A′C′的平分線，且∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′，AD=A′D′.求證：△ABC≌△A′B′C′

∠B=∠B′，∠1=∠2，AD=A′D′，∴△ABD≌△A′B′D′(AAS).∴AB=A′B′在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).∠B=∠B′，AB=A′B′，∠BAC=∠B′A′C′，新課講解練一練1.命題：全等三角形的對應(yīng)邊上的高相等.(1)寫成“如果??，那么??”的形式：_______________________________________________________________；如果兩條線段是一對全等三角形對應(yīng)邊上的高，那么這兩條線段相等(2)根據(jù)所給圖形寫出已知、求證和證明過程.解：已知：如題圖，△ABC≌△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′.求證：AD＝A′D′.證明：∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′.∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.新課講解練一練2.根據(jù)下列圖形，寫出命題“如果兩個直角三角形有一條直角邊和斜邊上的高分別對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等”的已知，求證和證明過程.

證明：∵EH⊥DF于H，CG⊥AB于G,∴∠DHE=∠AGC=90°.在Rt△ACG與Rt△DEH中，

∴Rt△ACG≌Rt△DEH(HL)，∴∠A=∠D，AC=DE，CG=EH，在△ABC與△DFE中，∠A=∠D，AC=DE，∠ACB=∠DEF，∴△ABC≌△DFE(ASA).新課講解1.證明一個命題的步驟不是固定不變的，要根據(jù)題目的情況而定，但是總體必須是完整的，并且證明的過程必須“步步有據(jù)”.2.證明幾何命題所畫圖形應(yīng)符合題意，并具有一般性和代表性.在畫圖時，要考慮是否存在不同的情形，若存在，則要分別畫出圖形，再分別證明.注意課堂小結(jié)角的平分線為證明線段相等提供了又一途徑.性質(zhì)定理過角平分線上一點向角兩邊作垂線段.

一個點：角平分線上的點；二距離：點到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等.輔助線添加當堂小練1.填空：下列結(jié)論一定成立的是（）①如圖1，OC平分∠AOB，點P在OC上，D，E分別為OA、OB上的點，則PD=PE.②如圖2，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE.③如圖3，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD┴OA，垂足分別為D.若PD=3，則點P到OB的距離為3.OBACPD圖3OBACPD圖2EOBACPD圖1E┐┐┐③當堂小練2.如圖，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論中錯誤的是 ()A.PC=PD.B.∠CPO=∠DPO.C.OC=OP.D.OC=OD.C當堂小練3.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC=2，DE=1，則S△ACD=_______.1當堂小練4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E，若AB=8cm，則△DEB的周長為（）A.10cmB.7cmC.8cmD.不能確定解析：在△ABC中，∠C=90°，∴DC⊥AC.∵DE⊥AB，AD平分∠CAB，∴DC=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中,

AD=AD，DC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE.∵AC=BC，∴AE=BC，∴△DEB的周長=DE+DB+EB=DC+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB=8cm.C當堂小練5.如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB,垂足分別為D，E.點F，G分別在OA，OB上，DF=EG，連接PF，PG.求證：PF=PG.