2025年南京市初中學業水平診斷數學一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分，在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的）1．近期，江蘇省城市足球聯賽（“蘇超”）火爆出圈，據統計，首輪比賽現場觀眾人數達35000人，第二輪現場觀眾人數增長至42000人，將第二輪現場觀眾人數用科學記數法表示，正確的是A． B． C． D．2．已知，，，則a，b，c之間滿足的等式是A． B． C． D．3．長跑因為其便捷性及有效性成為人們最喜愛的運動方式之一，普通人長跑5的平均速度約為，估計的值在A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間4．如圖，是正五邊形的外接圓，這個五邊形的邊長為a，半徑為R，邊行距為r，則下列關系是錯誤的是A． B．C． D．5．已知，下列結論不正確的是A． B．C．若m，n同號，則 D．若m，n異號，則6．記住是兩個實數a與b的一種運算.已知，函數為正比例函數，則A．12 B．16 C．20 D．24二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）7．計算：________.8．分解因式：________.9．在我國古代數學著作《孫子算經》中，有這樣一道題：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二.問物幾何？其最小正整數解記為a.又知，則a________b（填“”“”或“”）.10．分式方程的解是________.11．將平面鏡，按如圖所示的方式放置，從點M處射出一束光線經上的D點反射至上的E點，再經E點反射出的光線恰好與平行，若，則的度數________.12．如圖，四邊形為平行四邊形，以點A圓心，長半徑畫弧，交邊于點E，連接，，，則的長________.（結果保留根號和）.13．如圖，在一個正方形的網格上有A,B,C,D,E五個點，任意連接其中3個點，在構成的三角形中，是直角三角形的概率為________.14．為了適應新的考試評價改革，需要對學生的原始分進行轉換．一次數學測試中，全班最高分是95分，最低分是45分．現將全班學生成績作線性轉化、原始分記x，轉化后的分數記為y.滿足其中.裝換后使得最高分100分、最低分30分，某同學原始分是80分，則轉換后的分數是________.15．在平面直角系中.將拋物線向右平移2個單位得到拋物線，點在拋物線上.點在拋物線上.當，時，總有，，則a的取值范圍是________.16．鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素.如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應的弦構成一個正六邊形，中心為點O，弧所在圓的圓心C恰好是的內心，若，則陰影部分面積為________.17．在水平面內確定一條直線為基準線，規定：對該平面內不重合兩點M，N，若以為斜邊能作出直角三角形，且其中一條直角邊垂直于基準線，則稱兩條直角邊長度之和為點M，N的直角距離;若M，N兩點所在的直線垂直或平行于基準線，則線段的長度為點M，N的直角距離.記點M，N的直角距離.如圖，直線與基準線交于點O，點P在直線上，垂直于，垂足為Q，且，，.則的值為________.三、解答題（本大題共11小題，共88分）18．（7分）解方程19．（7分）計算20．（7分）已知點與點N關于y軸對稱，將點M向右平移4個單位長度得到點P.若N，P在函數的圖象上，求點M的坐標.21．如圖，在銳角中，D，E分別是，的中點，點M，F分別為上的點，且，.證明：四邊形為平行四邊形.22．（8分）【綜合與實踐】南京文化紀念品的包裝優化南京作為歷史文化名城，有眾多特色文化紀念品.某紀念品生產廠家在20周年廠慶前，為其經典的“南京云錦”主題紀念品設計了長方體包裝盒.但在實際生產與使用中發現，裝入紀念品后包裝盒邊角空余空間較多，造成了包裝材料的浪費，于是決定開展節省材料的探究活動.任務1平面圖形的探究南京的傳統建筑中常常能看到矩形的窗戶等元素.對于面積固定的矩形，我們來探究其周長的變化規律.已知秦淮河畔某古建筑修復時用到的一種矩形裝飾磚面積為36平方分米，通過列舉不同長和寬的情況，得到以下表格：長（分米）36181296寬（分米）12345周長（分米）7440302624根據表格，可猜測：矩形的面積一定時，________時周長最小.為了證明上述猜測，小寧同學假設矩形面積為，設兩鄰邊長分別為和（s，t均為非負數），則，經化簡可得.請表示出周長并補全后續的證明過程.任務2立體圖形的包裝改進廠家之前設計的長方體包裝盒尺寸為：長10厘米、寬8厘米、高6厘米，該包裝盒用于包裝以南京明城墻為原型的小型紀念品.現打算在保持底面積不變的前提下，將包裝盒形狀改為底面半徑為4厘米的圓柱體，高保持不變，從節省材料（即表面積最小）的角度來看，你覺得這樣的改進合理嗎？請判斷并說明理由.（取3.14，結果精確到0.1平方厘米）23．（8分）學校舉辦數學嘉年華活動，設計了一款“數字魔方大挑戰”游戲道具.有兩個特制的正方體魔方，魔方A的六個面分別標有數字1,2,2,3,3,3;魔方B的六個面分別標有數字,0,0,1,1.（1）若同時拋擲這兩個魔方，落地后朝上一面數字分別記為a和b.將a,b代入一元二次方程中，求該方程有實數根的概率.（2）同時拋擲這兩個魔方，求魔方A朝上一面數字大于魔方B朝上一面數字的概率.24．（8分）為了提升社區居民的健康水平和生活質量，市政府決定對社區內的健身師施進行全面升級計劃，采購兩種不同類型的健身器材共720臺.經過市場調研，發現A種器材的價格y（百元/臺）與采購數量x之間的函數關系如圖所示，而B種器材的價格為固定值30百元/臺.（1）當時，求出y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍.（2）假設A種器材采購數量不低于60臺，且B種器材采購數量不低于A中器材采購數量的3倍.如何分配兩種器材的采購數量才能使采購費用w（百元）最少最少是多少？25．（8分）如圖，這是小偉同學為準備實驗考試組裝的制取氧氣的實驗裝置．已知試管，，試管傾斜角a為，實驗時，導氣管緊貼水槽，延長交的延長線于點F，且垂直，平行（點C，D，N，F在同一條直線上）.經測量得，，，，請求出鐵架桿與水槽之間的水平距離．（結果精確到1，參考數據：，，）

26．（8分）如圖，四邊形內接于，是的直徑，與相交于點E，點F是延長線上一點，．（1）求證：是的切線;（2）若，，，求的半徑.27．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于點，該拋物線的對稱軸為直線，拋物線與x軸的另一個交點為B，與軸的交點為C，點D為線段上的一動點.（1）求a，b的值;（2）如圖①，連接，并延長交拋物線于點E，若垂直平分，求點E的坐標;（3）如圖②，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求P點的坐標，并求此時S的最大值．

28．在中，，D為直線上一點，E為直線上異于點C的一點，連接，，使．（1）如圖1，若點D在線段上，，求證;（2）如圖2，若點D在線段上，，求的長;（3）如圖3，若點D在線