平面向量測試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,4)\)，則\(\vec{a}+\vec{b}\)等于（）A.\((4,6)\)B.\((-2,-2)\)C.\((2,2)\)D.\((-4,-6)\)2.若向量\(\vec{a}=(x,1)\)，\(\vec{b}=(4,x)\)，且\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)共線，則\(x\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\pm2\)D.\(0\)3.已知\(\vert\vec{a}\vert=3\)，\(\vert\vec{b}\vert=4\)，且\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，則\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert\)等于（）A.\(5\)B.\(\sqrt{7}\)C.\(7\)D.\(25\)4.向量\(\vec{a}=(1,-1)\)，向量\(\vec{b}=(-1,2)\)，則\((2\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{a}\)等于（）A.\(-1\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(2\)5.已知\(\vec{a}=(3,-4)\)，則與\(\vec{a}\)同向的單位向量\(\vec{e}\)的坐標為（）A.\((\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)B.\((-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)C.\((\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)D.\((-\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)6.若\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(-4,7)\)，則\(\vec{b}\)在\(\vec{a}\)方向上的投影為（）A.\(\frac{\sqrt{13}}{5}\)B.\(\frac{\sqrt{65}}{5}\)C.\(\sqrt{13}\)D.\(\sqrt{65}\)7.已知\(\vec{AB}=(2,3)\)，\(\vec{AC}=(1,k)\)，若\(A\)，\(B\)，\(C\)三點共線，則\(k\)的值為（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(\frac{7}{3}\)C.\(\frac{5}{3}\)D.\(\frac{8}{3}\)8.向量\(\vec{a}=(m,1)\)，\(\vec{b}=(1,-2)\)，且\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，則\(\vert\vec{a}\vert\)等于（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\sqrt{10}\)C.\(2\sqrt{5}\)D.\(5\)9.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(2\vec{a}+3\vec{b}\)等于（）A.\((-4,-8)\)B.\((-5,-10)\)C.\((-3,-6)\)D.\((-2,-4)\)10.若\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)是兩個非零向量，且\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec{b}\vert=\vert\vec{a}-\vec{b}\vert\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec{a}+\vec{b}\)的夾角為（）A.\(30^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(60^{\circ}\)D.\(90^{\circ}\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列說法正確的是（）A.零向量與任意向量平行B.若向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)不共線，則\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)都是非零向量C.相等向量一定是平行向量D.平行向量一定是相等向量2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,1)\)，則（）A.\(\vec{a}+\vec{b}=(0,3)\)B.\(\vec{a}-\vec{b}=(2,1)\)C.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\)D.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{5}\)3.設向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，則下列為\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)共線的充要條件的有（）A.存在實數\(\lambda\)，使得\(\vec{a}=\lambda\vec{b}\)B.\(x_1y_2-x_2y_1=0\)C.\(\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}\)D.\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的方向相同或相反4.已知\(\vec{a}=(3,-1)\)，\(\vec{b}=(1,-2)\)，則下列正確的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=5\)B.與\(\vec{a}\)同向的單位向量是\((\frac{3\sqrt{10}}{10},-\frac{\sqrt{10}}{10})\)C.\(\vert\vec{a}-\vec{b}\vert=\sqrt{5}\)D.\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角為\(\frac{\pi}{4}\)5.下列向量中，能作為平面內一組基底的是（）A.\(\vec{e_1}=(0,0)\)，\(\vec{e_2}=(1,2)\)B.\(\vec{e_1}=(-1,2)\)，\(\vec{e_2}=(5,7)\)C.\(\vec{e_1}=(3,5)\)，\(\vec{e_2}=(6,10)\)D.\(\vec{e_1}=(2,-3)\)，\(\vec{e_2}=(\frac{1}{2},-\frac{3}{4})\)6.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-2,-4)\)，\(\vert\vec{c}\vert=\sqrt{5}\)，若\((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\frac{5}{2}\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec{c}\)的夾角可能為（）A.\(30^{\circ}\)B.\(60^{\circ}\)C.\(120^{\circ}\)D.\(150^{\circ}\)7.已知向量\(\vec{a}=(x,3)\)，\(\vec{b}=(-3,x)\)，則下列敘述中，正確的有（）A.存在實數\(x\)，使\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)B.存在實數\(x\)，使\((\vec{a}+\vec{b})\parallel\vec{a}\)C.存在實數\(x\)，\(m\)，使\((m\vec{a}+\vec{b})\parallel\vec{a}\)D.存在實數\(x\)，\(m\)，使\((m\vec{a}+\vec{b})\parallel\vec{b}\)8.已知\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)是兩個非零向量，\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec{b}\vert=\vert\vec{a}-\vec{b}\vert\)，則下列結論正確的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}\vert\vec{a}\vert^2\)B.\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角為\(60^{\circ}\)C.\((\vec{a}+\vec{b})\perp(\vec{a}-\vec{b})\)D.\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert=\sqrt{3}\vert\vec{a}\vert\)9.設向量\(\vec{a}=(2,1)\)，\(\vec{b}=(1,-2)\)，則（）A.\(\vec{a}\perp\vec{b}\)B.\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)C.\(\vec{a}+\vec{b}\)在\(\vec{a}\)方向上的投影為\(\frac{3\sqrt{5}}{5}\)D.\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert=\sqrt{10}\)10.已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)滿足\(\vert\vec{a}\vert=2\)，\(\vert\vec{b}\vert=1\)，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\)，則（）A.\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert=\sqrt{7}\)B.\(\vert\vec{a}-\vec{b}\vert=\sqrt{3}\)C.向量\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)方向上的投影為\(1\)D.向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角為\(60^{\circ}\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.向量\(\vec{a}=(1,0)\)與向量\(\vec{b}=(0,1)\)垂直。（）2.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)。（）3.單位向量都相等。（）4.若\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)共線，\(\vec{b}\)與\(\vec{c}\)共線，則\(\vec{a}\)與\(\vec{c}\)共線。（）5.向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)。（）6.若\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec{b}\vert\)，則\(\vec{a}=\vec{b}\)。（）7.向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec{b}\)方向上的投影是一個向量。（）8.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}\lt0\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角為鈍角。（）9.零向量的模長為\(0\)，沒有方向。（）10.若\(\vec{a}=(x,y)\)，則\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2}\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.已知向量\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec{b}=(3,4)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)以及\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert\)。-答案：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3+(-2)\times4=3-8=-5\)。\(\vec{a}+\vec{b}=(1+3,-2+4)=(4,2)\)，\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)。2.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(-1,2)\)，若\(m\vec{a}+\vec{b}\)與\(\vec{a}-2\vec{b}\)平行，求\(m\)的值。-答案：\(m\vec{a}+\vec{b}=(2m-1,3m+2)\)，\(\vec{a}-2\vec{b}=(2+2,3-4)=(4,-1)\)。因為兩向量平行，則\(-(2m-1)-4(3m+2)=0\)，解得\(m=-\frac{1}{2}\)。3.已知\(\vert\vec{a}\vert=3\)，\(\vert\vec{b}\vert=4\)，\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角為\(60^{\circ}\)，求\((\vec{a}+2\vec{b})\cdot(\vec{a}-3\vec{b})\)。-答案：\((\vec{a}+2\vec{b})\cdot(\vec{a}-3\vec{b})=\vec{a}^{2}-\vec{a}\cdot\vec{b}-6\vec{b}^{2}=\vert\vec{a}\vert^{2}-\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos60^{\circ}-6\vert\vec{b}\vert^{2}=9-3\times4\times\frac{1}{2}-6\times16=9-6-96=-93\)。4.已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-2,3)\)，求\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)方向上的投影。-答案：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times(-2)+2\times3=4\)，\(\vert\vec{b}\vert=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}\)，則\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)方向上的投影為\(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{b}\vert}=\frac{4}{\sqrt{13}}=\frac{4\sqrt{13}}{13}\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.在平面直角坐標系中，如何通過向量運算確定三角形的形狀（如直角、等腰、等