復(fù)旦附中高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\sqrt{x}$，其中$x>0$。若函數(shù)在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)$的符號(hào)為：

A.恒為正

B.恒為負(fù)

C.有正有負(fù)

D.不確定

2.設(shè)$A=\begin{bmatrix}1&-1\\1&0\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}$，則$A$與$B$的行列式分別為：

A.$|A|=2,|B|=1$

B.$|A|=1,|B|=2$

C.$|A|=1,|B|=1$

D.$|A|=2,|B|=2$

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=4n^2+5n$，求該數(shù)列的第10項(xiàng)$a_{10}$。

4.若平面直線$x-y+1=0$與平面直線$x+y-1=0$的夾角為$\frac{\pi}{3}$，則它們的法向量$\vec{n_1}$和$\vec{n_2}$滿足：

A.$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=1$

B.$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$

C.$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=-1$

D.$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=\frac{1}{2}$

5.已知復(fù)數(shù)$z=1+i$，求$z$的模和幅角。

6.設(shè)$a$和$b$為兩個(gè)非零向量，若向量$a+b$和$a-b$分別與$x$軸和$y$軸的正方向平行，則向量$a$和$b$的夾角$\theta$的取值范圍是：

A.$(0,\frac{\pi}{4})$

B.$(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$

C.$(\frac{\pi}{2},\pi)$

D.$(\pi,\frac{3\pi}{4})$

7.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$，求$f(x)$的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。

8.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$（$x>0$）在區(qū)間$(0,1)$上的圖形如下，則下列結(jié)論正確的是：

A.函數(shù)$f(x)$在$(0,1)$上單調(diào)遞增

B.函數(shù)$f(x)$在$(0,1)$上單調(diào)遞減

C.函數(shù)$f(x)$在$(0,1)$上有極小值

D.函數(shù)$f(x)$在$(0,1)$上有極大值

9.設(shè)函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(0)=2$，$f(1)=3$，$f(2)=5$，則$a+b+c$的值為：

10.設(shè)等比數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_1=1$，$q=\frac{1}{2}$，則$S_5$的值為：

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列關(guān)于平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的描述正確的是：

A.所有在直線$x=0$上的點(diǎn)的坐標(biāo)形式為$(x,0)$

B.所有在直線$y=0$上的點(diǎn)的坐標(biāo)形式為$(0,y)$

C.點(diǎn)$(1,2)$位于第一象限

D.點(diǎn)$(-1,-2)$位于第三象限

E.點(diǎn)$(0,0)$是坐標(biāo)原點(diǎn)

2.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，判斷以下說(shuō)法正確的是：

A.函數(shù)$f(x)$在$x=1$處取得極大值

B.函數(shù)$f(x)$在$x=2$處取得極小值

C.函數(shù)$f(x)$的圖像在$x=0$處有一個(gè)拐點(diǎn)

D.函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在$x=1$處為0

E.函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在$x=2$處為0

3.下列關(guān)于矩陣的運(yùn)算和性質(zhì)描述正確的是：

A.矩陣的轉(zhuǎn)置不改變矩陣的行列式

B.兩個(gè)同階矩陣相乘不改變矩陣的行列式

C.兩個(gè)可逆矩陣相乘仍然是可逆矩陣

D.兩個(gè)同階矩陣相加不改變矩陣的行列式

E.兩個(gè)同階矩陣相減不改變矩陣的行列式

4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=3$，公差$d=2$，判斷以下說(shuō)法正確的是：

A.第$n$項(xiàng)$a_n=3+2(n-1)$

B.前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{n(3+a_n)}{2}$

C.第$n$項(xiàng)$a_n=3+(n-1)\cdot2$

D.前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{n(3+3+2(n-1))}{2}$

E.前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{n(3+3n-2)}{2}$

5.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的性質(zhì)描述正確的是：

A.復(fù)數(shù)$a+bi$的模為$\sqrt{a^2+b^2}$

B.復(fù)數(shù)$a+bi$的幅角為$\arctan\left(\frac{a}\right)$

C.復(fù)數(shù)$a+bi$的共軛復(fù)數(shù)為$a-bi$

D.復(fù)數(shù)$a+bi$與其模的乘積等于原復(fù)數(shù)

E.復(fù)數(shù)$a+bi$與其模的商等于原復(fù)數(shù)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-6x^2+9x-1$，則$f'(x)=\boxed{\text{______}}$。

2.設(shè)矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，則$A$的行列式$|A|=\boxed{\text{______}}$。

3.等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=4n^2+5n$，則該數(shù)列的第10項(xiàng)$a_{10}=\boxed{\text{______}}$。

4.平面直線$x-y+1=0$與平面直線$x+y-1=0$的夾角$\theta=\boxed{\text{______}}$。

5.復(fù)數(shù)$z=1+i$的模$|z|=\boxed{\text{______}}$。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$的導(dǎo)數(shù)，并求出函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。

2.已知矩陣$A=\begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix}$和$B=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求矩陣$AB$和$BA$，并判斷矩陣$A$和$B$是否可逆。

3.求等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=5n^2+4n$的第10項(xiàng)$a_{10}$，并求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

4.求解平面直線$x-2y+3=0$與平面直線$2x+y-1=0$的交點(diǎn)坐標(biāo)。

5.求解復(fù)數(shù)方程$z^2-3iz+2=0$，并寫(xiě)出方程的解。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.A（知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性）

2.A（知識(shí)點(diǎn)：矩陣的行列式）

3.C（知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式）

4.A（知識(shí)點(diǎn)：平面直線的夾角）

5.B（知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模）

6.B（知識(shí)點(diǎn)：向量的夾角）

7.A、B、C（知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的極值和拐點(diǎn)）

8.B（知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性）

9.C（知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的求和公式）

10.A（知識(shí)點(diǎn)：等比數(shù)列的求和公式）

二、多項(xiàng)選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.B、C、D、E（知識(shí)點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)）

2.A、B、C（知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的極值和拐點(diǎn)）

3.C、D（知識(shí)點(diǎn)：矩陣的性質(zhì)）

4.A、C、D（知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式）

5.A、C、D（知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的性質(zhì)）

三、填空題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.$f'(x)=6x^2-12x+11$（知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）

2.$|A|=1$（知識(shí)點(diǎn)：矩陣的行列式）

3.$a_{10}=39$（知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式）

4.$\theta=\frac{\pi}{3}$（知識(shí)點(diǎn)：平面直線的夾角）

5.$|z|=\sqrt{2}$（知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模）

四、計(jì)算題答案及解題過(guò)程：

1.解：$f'(x)=3x^2-12x+11$，令$f'(x)=0$得$x=\frac{2}{3}$或$x=\frac{11}{3}$。當(dāng)$x\in(0,\frac{2}{3})$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$x\in(\frac{2}{3},\frac{11}{3})$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)$x\in(\frac{11}{3},+\infty)$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增。因此，$x=\frac{2}{3}$是極大值點(diǎn)，$x=\frac{11}{3}$是極小值點(diǎn)。又因?yàn)?f''(x)=6x-12$，當(dāng)$x=\frac{11}{3}$時(shí)，$f''(x)<0$，故$x=\frac{11}{3}$是拐點(diǎn)。

2.解：$AB=\begin{bmatrix}11&14\\7&10\end{bmatrix}$，$BA=\begin{bmatrix}5&8\\7&10\end{bmatrix}$。由于$|A|=1$，$|B|=2$，所以$A$和$B$均可逆。

3.解：$S_n=5n^2+4n$，$a_{10}=S_{10}-S_9=(5\cdot10^2+4\cdot10)-(5\cdot9^2+4\cdot9)=39$。