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復(fù)旦附中高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(每題1分,共10分)
1.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\sqrt{x}$,其中$x>0$。若函數(shù)在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增,則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)$的符號(hào)為:
A.恒為正
B.恒為負(fù)
C.有正有負(fù)
D.不確定
2.設(shè)$A=\begin{bmatrix}1&-1\\1&0\end{bmatrix}$,$B=\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}$,則$A$與$B$的行列式分別為:
A.$|A|=2,|B|=1$
B.$|A|=1,|B|=2$
C.$|A|=1,|B|=1$
D.$|A|=2,|B|=2$
3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=4n^2+5n$,求該數(shù)列的第10項(xiàng)$a_{10}$。
4.若平面直線$x-y+1=0$與平面直線$x+y-1=0$的夾角為$\frac{\pi}{3}$,則它們的法向量$\vec{n_1}$和$\vec{n_2}$滿足:
A.$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=1$
B.$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$
C.$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=-1$
D.$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=\frac{1}{2}$
5.已知復(fù)數(shù)$z=1+i$,求$z$的模和幅角。
6.設(shè)$a$和$b$為兩個(gè)非零向量,若向量$a+b$和$a-b$分別與$x$軸和$y$軸的正方向平行,則向量$a$和$b$的夾角$\theta$的取值范圍是:
A.$(0,\frac{\pi}{4})$
B.$(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$
C.$(\frac{\pi}{2},\pi)$
D.$(\pi,\frac{3\pi}{4})$
7.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$,求$f(x)$的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。
8.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$($x>0$)在區(qū)間$(0,1)$上的圖形如下,則下列結(jié)論正確的是:
A.函數(shù)$f(x)$在$(0,1)$上單調(diào)遞增
B.函數(shù)$f(x)$在$(0,1)$上單調(diào)遞減
C.函數(shù)$f(x)$在$(0,1)$上有極小值
D.函數(shù)$f(x)$在$(0,1)$上有極大值
9.設(shè)函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$,若$f(0)=2$,$f(1)=3$,$f(2)=5$,則$a+b+c$的值為:
10.設(shè)等比數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$,若$a_1=1$,$q=\frac{1}{2}$,則$S_5$的值為:
二、多項(xiàng)選擇題(每題4分,共20分)
1.下列關(guān)于平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的描述正確的是:
A.所有在直線$x=0$上的點(diǎn)的坐標(biāo)形式為$(x,0)$
B.所有在直線$y=0$上的點(diǎn)的坐標(biāo)形式為$(0,y)$
C.點(diǎn)$(1,2)$位于第一象限
D.點(diǎn)$(-1,-2)$位于第三象限
E.點(diǎn)$(0,0)$是坐標(biāo)原點(diǎn)
2.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$,判斷以下說(shuō)法正確的是:
A.函數(shù)$f(x)$在$x=1$處取得極大值
B.函數(shù)$f(x)$在$x=2$處取得極小值
C.函數(shù)$f(x)$的圖像在$x=0$處有一個(gè)拐點(diǎn)
D.函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在$x=1$處為0
E.函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在$x=2$處為0
3.下列關(guān)于矩陣的運(yùn)算和性質(zhì)描述正確的是:
A.矩陣的轉(zhuǎn)置不改變矩陣的行列式
B.兩個(gè)同階矩陣相乘不改變矩陣的行列式
C.兩個(gè)可逆矩陣相乘仍然是可逆矩陣
D.兩個(gè)同階矩陣相加不改變矩陣的行列式
E.兩個(gè)同階矩陣相減不改變矩陣的行列式
4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=3$,公差$d=2$,判斷以下說(shuō)法正確的是:
A.第$n$項(xiàng)$a_n=3+2(n-1)$
B.前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{n(3+a_n)}{2}$
C.第$n$項(xiàng)$a_n=3+(n-1)\cdot2$
D.前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{n(3+3+2(n-1))}{2}$
E.前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{n(3+3n-2)}{2}$
5.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的性質(zhì)描述正確的是:
A.復(fù)數(shù)$a+bi$的模為$\sqrt{a^2+b^2}$
B.復(fù)數(shù)$a+bi$的幅角為$\arctan\left(\frac{a}\right)$
C.復(fù)數(shù)$a+bi$的共軛復(fù)數(shù)為$a-bi$
D.復(fù)數(shù)$a+bi$與其模的乘積等于原復(fù)數(shù)
E.復(fù)數(shù)$a+bi$與其模的商等于原復(fù)數(shù)
三、填空題(每題4分,共20分)
1.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-6x^2+9x-1$,則$f'(x)=\boxed{\text{______}}$。
2.設(shè)矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$,則$A$的行列式$|A|=\boxed{\text{______}}$。
3.等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=4n^2+5n$,則該數(shù)列的第10項(xiàng)$a_{10}=\boxed{\text{______}}$。
4.平面直線$x-y+1=0$與平面直線$x+y-1=0$的夾角$\theta=\boxed{\text{______}}$。
5.復(fù)數(shù)$z=1+i$的模$|z|=\boxed{\text{______}}$。
四、計(jì)算題(每題10分,共50分)
1.計(jì)算函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$的導(dǎo)數(shù),并求出函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。
2.已知矩陣$A=\begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix}$和$B=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$,求矩陣$AB$和$BA$,并判斷矩陣$A$和$B$是否可逆。
3.求等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=5n^2+4n$的第10項(xiàng)$a_{10}$,并求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式。
4.求解平面直線$x-2y+3=0$與平面直線$2x+y-1=0$的交點(diǎn)坐標(biāo)。
5.求解復(fù)數(shù)方程$z^2-3iz+2=0$,并寫(xiě)出方程的解。
本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下:
一、選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解:
1.A(知識(shí)點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)性)
2.A(知識(shí)點(diǎn):矩陣的行列式)
3.C(知識(shí)點(diǎn):等差數(shù)列的通項(xiàng)公式)
4.A(知識(shí)點(diǎn):平面直線的夾角)
5.B(知識(shí)點(diǎn):復(fù)數(shù)的模)
6.B(知識(shí)點(diǎn):向量的夾角)
7.A、B、C(知識(shí)點(diǎn):函數(shù)的極值和拐點(diǎn))
8.B(知識(shí)點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)性)
9.C(知識(shí)點(diǎn):等差數(shù)列的求和公式)
10.A(知識(shí)點(diǎn):等比數(shù)列的求和公式)
二、多項(xiàng)選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解:
1.B、C、D、E(知識(shí)點(diǎn):平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo))
2.A、B、C(知識(shí)點(diǎn):函數(shù)的極值和拐點(diǎn))
3.C、D(知識(shí)點(diǎn):矩陣的性質(zhì))
4.A、C、D(知識(shí)點(diǎn):等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式)
5.A、C、D(知識(shí)點(diǎn):復(fù)數(shù)的性質(zhì))
三、填空題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解:
1.$f'(x)=6x^2-12x+11$(知識(shí)點(diǎn):函數(shù)的導(dǎo)數(shù))
2.$|A|=1$(知識(shí)點(diǎn):矩陣的行列式)
3.$a_{10}=39$(知識(shí)點(diǎn):等差數(shù)列的通項(xiàng)公式)
4.$\theta=\frac{\pi}{3}$(知識(shí)點(diǎn):平面直線的夾角)
5.$|z|=\sqrt{2}$(知識(shí)點(diǎn):復(fù)數(shù)的模)
四、計(jì)算題答案及解題過(guò)程:
1.解:$f'(x)=3x^2-12x+11$,令$f'(x)=0$得$x=\frac{2}{3}$或$x=\frac{11}{3}$。當(dāng)$x\in(0,\frac{2}{3})$時(shí),$f'(x)>0$,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)$x\in(\frac{2}{3},\frac{11}{3})$時(shí),$f'(x)<0$,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)$x\in(\frac{11}{3},+\infty)$時(shí),$f'(x)>0$,函數(shù)單調(diào)遞增。因此,$x=\frac{2}{3}$是極大值點(diǎn),$x=\frac{11}{3}$是極小值點(diǎn)。又因?yàn)?f''(x)=6x-12$,當(dāng)$x=\frac{11}{3}$時(shí),$f''(x)<0$,故$x=\frac{11}{3}$是拐點(diǎn)。
2.解:$AB=\begin{bmatrix}11&14\\7&10\end{bmatrix}$,$BA=\begin{bmatrix}5&8\\7&10\end{bmatrix}$。由于$|A|=1$,$|B|=2$,所以$A$和$B$均可逆。
3.解:$S_n=5n^2+4n$,$a_{10}=S_{10}-S_9=(5\cdot10^2+4\cdot10)-(5\cdot9^2+4\cdot9)=39$。
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