復旦附中高二數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知函數$f(x)=\lnx+\sqrt{x}$，其中$x>0$。若函數在區間$(0,+\infty)$上單調遞增，則其導數$f'(x)$的符號為：

A.恒為正

B.恒為負

C.有正有負

D.不確定

2.設$A=\begin{bmatrix}1&-1\\1&0\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}$，則$A$與$B$的行列式分別為：

A.$|A|=2,|B|=1$

B.$|A|=1,|B|=2$

C.$|A|=1,|B|=1$

D.$|A|=2,|B|=2$

3.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=4n^2+5n$，求該數列的第10項$a_{10}$。

4.若平面直線$x-y+1=0$與平面直線$x+y-1=0$的夾角為$\frac{\pi}{3}$，則它們的法向量$\vec{n_1}$和$\vec{n_2}$滿足：

A.$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=1$

B.$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$

C.$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=-1$

D.$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=\frac{1}{2}$

5.已知復數$z=1+i$，求$z$的模和幅角。

6.設$a$和$b$為兩個非零向量，若向量$a+b$和$a-b$分別與$x$軸和$y$軸的正方向平行，則向量$a$和$b$的夾角$\theta$的取值范圍是：

A.$(0,\frac{\pi}{4})$

B.$(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$

C.$(\frac{\pi}{2},\pi)$

D.$(\pi,\frac{3\pi}{4})$

7.設函數$f(x)=x^3-3x^2+2x$，求$f(x)$的極值點和拐點。

8.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}$（$x>0$）在區間$(0,1)$上的圖形如下，則下列結論正確的是：

A.函數$f(x)$在$(0,1)$上單調遞增

B.函數$f(x)$在$(0,1)$上單調遞減

C.函數$f(x)$在$(0,1)$上有極小值

D.函數$f(x)$在$(0,1)$上有極大值

9.設函數$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(0)=2$，$f(1)=3$，$f(2)=5$，則$a+b+c$的值為：

10.設等比數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_1=1$，$q=\frac{1}{2}$，則$S_5$的值為：

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列關于平面直角坐標系中點的坐標的描述正確的是：

A.所有在直線$x=0$上的點的坐標形式為$(x,0)$

B.所有在直線$y=0$上的點的坐標形式為$(0,y)$

C.點$(1,2)$位于第一象限

D.點$(-1,-2)$位于第三象限

E.點$(0,0)$是坐標原點

2.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，判斷以下說法正確的是：

A.函數$f(x)$在$x=1$處取得極大值

B.函數$f(x)$在$x=2$處取得極小值

C.函數$f(x)$的圖像在$x=0$處有一個拐點

D.函數$f(x)$的導數$f'(x)$在$x=1$處為0

E.函數$f(x)$的導數$f'(x)$在$x=2$處為0

3.下列關于矩陣的運算和性質描述正確的是：

A.矩陣的轉置不改變矩陣的行列式

B.兩個同階矩陣相乘不改變矩陣的行列式

C.兩個可逆矩陣相乘仍然是可逆矩陣

D.兩個同階矩陣相加不改變矩陣的行列式

E.兩個同階矩陣相減不改變矩陣的行列式

4.已知等差數列$\{a_n\}$的首項$a_1=3$，公差$d=2$，判斷以下說法正確的是：

A.第$n$項$a_n=3+2(n-1)$

B.前$n$項和$S_n=\frac{n(3+a_n)}{2}$

C.第$n$項$a_n=3+(n-1)\cdot2$

D.前$n$項和$S_n=\frac{n(3+3+2(n-1))}{2}$

E.前$n$項和$S_n=\frac{n(3+3n-2)}{2}$

5.下列關于復數的性質描述正確的是：

A.復數$a+bi$的模為$\sqrt{a^2+b^2}$

B.復數$a+bi$的幅角為$\arctan\left(\frac{b}{a}\right)$

C.復數$a+bi$的共軛復數為$a-bi$

D.復數$a+bi$與其模的乘積等于原復數

E.復數$a+bi$與其模的商等于原復數

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數$f(x)=2x^3-6x^2+9x-1$，則$f'(x)=\boxed{\text{______}}$。

2.設矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，則$A$的行列式$|A|=\boxed{\text{______}}$。

3.等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=4n^2+5n$，則該數列的第10項$a_{10}=\boxed{\text{______}}$。

4.平面直線$x-y+1=0$與平面直線$x+y-1=0$的夾角$\theta=\boxed{\text{______}}$。

5.復數$z=1+i$的模$|z|=\boxed{\text{______}}$。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算函數$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$的導數，并求出函數的極值點和拐點。

2.已知矩陣$A=\begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix}$和$B=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求矩陣$AB$和$BA$，并判斷矩陣$A$和$B$是否可逆。

3.求等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=5n^2+4n$的第10項$a_{10}$，并求出該數列的通項公式。

4.求解平面直線$x-2y+3=0$與平面直線$2x+y-1=0$的交點坐標。

5.求解復數方程$z^2-3iz+2=0$，并寫出方程的解。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解：

1.A（知識點：函數的單調性）

2.A（知識點：矩陣的行列式）

3.C（知識點：等差數列的通項公式）

4.A（知識點：平面直線的夾角）

5.B（知識點：復數的模）

6.B（知識點：向量的夾角）

7.A、B、C（知識點：函數的極值和拐點）

8.B（知識點：函數的單調性）

9.C（知識點：等差數列的求和公式）

10.A（知識點：等比數列的求和公式）

二、多項選擇題答案及知識點詳解：

1.B、C、D、E（知識點：平面直角坐標系中點的坐標）

2.A、B、C（知識點：函數的極值和拐點）

3.C、D（知識點：矩陣的性質）

4.A、C、D（知識點：等差數列的通項公式和求和公式）

5.A、C、D（知識點：復數的性質）

三、填空題答案及知識點詳解：

1.$f'(x)=6x^2-12x+11$（知識點：函數的導數）

2.$|A|=1$（知識點：矩陣的行列式）

3.$a_{10}=39$（知識點：等差數列的通項公式）

4.$\theta=\frac{\pi}{3}$（知識點：平面直線的夾角）

5.$|z|=\sqrt{2}$（知識點：復數的模）

四、計算題答案及解題過程：

1.解：$f'(x)=3x^2-12x+11$，令$f'(x)=0$得$x=\frac{2}{3}$或$x=\frac{11}{3}$。當$x\in(0,\frac{2}{3})$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增；當$x\in(\frac{2}{3},\frac{11}{3})$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減；當$x\in(\frac{11}{3},+\infty)$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增。因此，$x=\frac{2}{3}$是極大值點，$x=\frac{11}{3}$是極小值點。又因為$f''(x)=6x-12$，當$x=\frac{11}{3}$時，$f''(x)<0$，故$x=\frac{11}{3}$是拐點。

2.解：$AB=\begin{bmatrix}11&14\\7&10\end{bmatrix}$，$BA=\begin{bmatrix}5&8\\7&10\end{bmatrix}$。由于$|A|=1$，$|B|=2$，所以$A$和$B$均可逆。

3.解：$S_n=5n^2+4n$，$a_{10}=S_{10}-S_9=(5\cdot10^2+4\cdot10)-(5\cdot9^2+4\cdot9)=39$。