第39講空間角與距離的計算鏈教材夯基固本激活思維1.(人A選必一P38練習T1)在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA＝90°，D1，F1分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是(A)A.eq\f(\r(30),10) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(30),15) D.eq\f(\r(15),10)【解析】如圖，建立空間直角坐標系．設BC＝CA＝CC1＝1，則A(1，0，1)，B(0，1，1)，D1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，所以eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，－1))，eq\o(AF1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，－1))，所以|cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AF1,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AF1,\s\up6(→))|,|\o(BD1,\s\up6(→))||\o(AF1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(3,4),\r(\f(1,4)＋\f(1,4)＋1)×\r(\f(1,4)＋1))＝eq\f(\r(30),10).(第1題答)2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中點，則直線DC1與平面ACE所成角的正弦值為(A)A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(3),3)【解析】以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．設正方體的棱長為2，則D(0，0，0)，C1(0，2，2)，A(2，0，0)，E(2，1，2)，C(0，2，0)，所以eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0，2，2)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0，1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0).設平面ACE的法向量為m＝(x，y，z)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AE,\s\up6(→))＝y＋2z＝0，,m·\o(AC,\s\up6(→))＝－2x＋2y＝0，))取z＝1，得m＝(－2，－2，1).設直線DC1與平面ACE所成的角為θ，則sinθ＝eq\f(|\o(DC1,\s\up6(→))·m|,|\o(DC1,\s\up6(→))||m|)＝eq\f(|－4＋2|,\r(4＋4)×\r(4＋4＋1))＝eq\f(\r(2),6).(第2題答)3.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別在BB1，DD1上，且A1C⊥平面AEF，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，則平面AEF和平面D1B1BD夾角的余弦值為(C)(第3題)A.eq\f(\r(2),25) B.eq\f(6\r(2),25)C.eq\f(12\r(2),25) D.eq\f(3,4)【解析】以A為坐標原點，以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(4，0，0)，D(0，3，0)，D1(0，3，5)，A1(0，0，5)，C(4，3，0)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4，3，0)，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝(0，0，5).設平面DBB1D1的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DD1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BD,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5z＝0，,－4x＋3y＝0，))取x＝3，得n＝(3，4，0).由于A1C⊥平面AEF，所以平面AEF的一個法向量為eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(4，3，－5).設平面AEF和平面D1B1BD的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(|n·\o(A1C,\s\up6(→))|,|n||\o(A1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(12\r(2),25)，所以平面AEF和平面D1B1BD夾角的余弦值為eq\f(12\r(2),25).(第3題答)4.(人A選必一P35T2(1)改)如圖，在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A1B1C1D1，已知AB＝1，BC＝2，AA1＝3，則點B到直線A1C的距離為(B)(第4題)A.eq\f(2,7) B.eq\f(2\r(35),7)C.eq\f(\r(35),7) D.1【解析】由題意知A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(1，2，－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，2，0)，eq\o(A1C,\s\up6(→))方向上的單位向量為μ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(14))，\f(2,\r(14))，－\f(3,\r(14))))，所以點B到直線A1C的距離為eq\r(|\o(BC,\s\up6(→))|2－(\o(BC,\s\up6(→))·μ)2)＝eq\r(4－\f(8,7))＝eq\f(2\r(35),7).5.(人A選必一P35T2(3)改)若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，O是A1C1的中點，則點O到平面ABC1D1的距離為(B)A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),3)【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則D1(0，0，0)，A(1，0，1)，B(1，1，1)，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，C1(0，1，0)，eq\o(D1A,\s\up6(→))＝(1，0，1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，1，0)，eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0)).設平面ABC1D1的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(D1A,\s\up6(→))＝x＋z＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝y＝0，))令x＝1，得n＝(1，0，－1)為平面ABC1D1的一個法向量，故點O到平面ABC1D1的距離為d＝eq\f(|n·\o(OC1,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(\f(1,2),\r(2))＝eq\f(\r(2),4).(第5題答)聚焦知識1.兩條異面直線所成角的求法設a，b分別是兩條異面直線l1，l2的方向向量．l1與l2所成的角θa與b的夾角β范圍eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))(0，π)求法cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)2.直線與平面所成角的求法設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).3.平面與平面的夾角的求法如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角．設平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).4.點P到直線l的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，點P到直線l的距離為PQ＝_eq