高三江蘇二模數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖像開口向上，則下列選項中一定正確的是（）

A.$a>0$，$b>0$，$c>0$

B.$a>0$，$b<0$，$c>0$

C.$a>0$，$b>0$，$c<0$

D.$a>0$，$b<0$，$c<0$

2.已知復數$z=a+bi$（$a$，$b$為實數），若$\bar{z}=2z$，則下列選項中正確的是（）

A.$a=1$，$b=2$

B.$a=1$，$b=-2$

C.$a=-1$，$b=2$

D.$a=-1$，$b=-2$

3.設$a>0$，$b>0$，則下列不等式中恒成立的是（）

A.$a+b\geq2\sqrt{ab}$

B.$a^2+b^2\geq2ab$

C.$a^3+b^3\geq3ab$

D.$a^4+b^4\geq2a^2b^2$

4.若$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\sin2\alpha$的值為（）

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C.$1$

D.$-1$

5.設函數$f(x)=x^3-3x+2$，則下列選項中正確的是（）

A.$f(x)$在實數域上單調遞增

B.$f(x)$在實數域上單調遞減

C.$f(x)$在實數域上存在極值

D.$f(x)$在實數域上無極值

6.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+1$，則下列選項中正確的是（）

A.$\lim_{n\to\infty}a_n=1$

B.$\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty$

C.$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=0$

D.$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=1$

7.設函數$f(x)=\lnx$，$g(x)=\frac{1}{x}$，則下列選項中正確的是（）

A.$f(x)$在定義域上單調遞增，$g(x)$在定義域上單調遞減

B.$f(x)$在定義域上單調遞增，$g(x)$在定義域上單調遞增

C.$f(x)$在定義域上單調遞減，$g(x)$在定義域上單調遞增

D.$f(x)$在定義域上單調遞減，$g(x)$在定義域上單調遞減

8.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,-1)$，則$\vec{a}$與$\vec{b}$的夾角$\theta$的余弦值$\cos\theta$等于（）

A.$\frac{1}{5}$

B.$\frac{2}{5}$

C.$\frac{3}{5}$

D.$\frac{4}{5}$

9.若$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\sinA$的值等于（）

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{5}{5}$

D.$\frac{6}{5}$

10.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$，則下列選項中正確的是（）

A.$f(x)$在實數域上單調遞增

B.$f(x)$在實數域上單調遞減

C.$f(x)$在實數域上存在極值

D.$f(x)$在實數域上無極值

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.若函數$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a\neq0$）的圖像在$x$軸上有兩個交點，則下列選項中正確的是（）

A.$a>0$，$b>0$，$c>0$，$d>0$

B.$a>0$，$b<0$，$c<0$，$d<0$

C.$a<0$，$b>0$，$c>0$，$d<0$

D.$a<0$，$b<0$，$c<0$，$d>0$

2.已知復數$z=a+bi$（$a$，$b$為實數），若$|z|=1$，則下列選項中正確的是（）

A.$a^2+b^2=1$

B.$a^2+b^2=-1$

C.$a^2-b^2=1$

D.$a^2-b^2=-1$

3.設$a>0$，$b>0$，$c>0$，則下列不等式中正確的是（）

A.$a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$

B.$a^2+b^2+c^2\geqab+bc+ca$

C.$(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)$

D.$(a+b+c)^3\geq27abc$

4.若$\sin\alpha$，$\cos\alpha$，$\tan\alpha$均為正數，則下列選項中正確的是（）

A.$\alpha$在第一象限

B.$\alpha$在第二象限

C.$\alpha$在第三象限

D.$\alpha$在第四象限

5.設函數$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$，則下列選項中正確的是（）

A.$f(x)$在$x=1$處取得極小值

B.$f(x)$在$x=1$處取得極大值

C.$f(x)$在$x=0$處取得極小值

D.$f(x)$在$x=0$處取得極大值

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若復數$z=a+bi$（$a$，$b$為實數）滿足$|z|=1$，則$z$的共軛復數$\bar{z}$的模為______。

2.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+2$，則數列$\{a_n\}$的通項公式為______。

3.若函數$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$的定義域為$\{x|x\neq1\}$，則$f(x)$的值域為______。

4.在直角坐標系中，點$A(2,3)$關于直線$y=x$的對稱點為______。

5.若$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，$\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$，則$\tan\alpha$的值為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求$f(x)$在$x=1$處的導數$f'(1)$。

2.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^2}$。

3.已知函數$f(x)=\ln(x-1)+\frac{1}{x-1}$，求$f(x)$的極值。

4.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(2,-1,4)$，求向量$\vec{a}$與$\vec{b}$的點積$\vec{a}\cdot\vec{b}$。

5.解下列方程組：

\[

\begin{cases}

2x+3y-5z=8\\

3x-y+2z=1\\

-x+2y-z=0

\end{cases}

\]

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B

2.A

3.C

4.C

5.D

6.A

7.A

8.A

9.B

10.C

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.A,B

2.A,C

3.A,B,C

4.A

5.A,C

三、填空題（每題4分，共20分）

1.1

2.$a_n=n^2+n$

3.$\{x|x\neq1\}$

4.(3,2)

5.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解：$f'(x)=3x^2-6x+2$，所以$f'(1)=3(1)^2-6(1)+2=-1$。

2.解：$a_n=a_1+2(1)+2(2)+\ldots+2(n-1)=1+2(1+2+\ldots+(n-1))=1+2\frac{(n-1)n}{2}=n^2-n+1$，所以$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2-n+1}{n^2}=1$。

3.解：$f'(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^2}$，令$f'(x)=0$得$x=2$，在$x=2$處$f''(x)=\frac{2}{(x-1)^3}$，所以$f''(2)=\frac{2}{(2-1)^3}=2>0$，因此$f(x)$在$x=2$處取得極小值$f(2)=\ln(2-1)+\frac{1}{2-1}=1$。

4.解：$\vec{a}\cdot\vec{b}=(1)(2)+(2)(-1)+(3)(4)=2-2+12=12$。

5.解：將方程組轉換為增廣矩陣形式：

\[

\left[\begin{array}{ccc|c}

2&3&-5&8\\

3&-1&2&1\\

-1&2&-1&0

\end{array}\right]

\]

通過行變換，得到：

\[

\left[\begin{array}{ccc|c}

1&1&-2&4\\

0&-4&11&-11\\

0&3&-3&3

\end{array}\right]

\]

繼續行變換，得到：

\[

\left[\begin{array}{ccc|c}

1&0&-1&1\\

0&1&-\frac{11}{4}&\frac{11}{4}\\

0&0&0&0

\end{array}\right]

\]

所以方程組的解為$x=1$，$y=\frac{11}{4}$，$z=\frac{3}{4}$。

知識點總結：

1.復數：復數的定義、性質、運算、模、共軛復數。

2.數列：數列的定義、通項公式、極限、數列的收斂與發散。

3.函數：函數的定義、性質、圖像、導數、極值、值域。

4.向量：向量的定義、運算、模、點積、向量與數的乘積