初中數(shù)學(xué)21.1一元二次方程課后復(fù)習(xí)題一、選擇題要求：在下列各題中，每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案的字母填在題后的括號內(nèi)。1.已知一元二次方程\(x^2-4x+3=0\)的兩個實(shí)數(shù)根分別為\(a\)和\(b\)，那么\(a+b\)的值為（）。A.3B.4C.1D.22.若一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的判別式\(\Delta=0\)，則該方程的根的情況是（）。A.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個相等的實(shí)數(shù)根C.有兩個復(fù)數(shù)根D.根的情況無法確定3.若一元二次方程\(x^2-2x-3=0\)的一個根是\(x=3\)，則另一個根是（）。A.1B.-1C.0D.24.若一元二次方程\(2x^2-5x+3=0\)的兩個根分別為\(x_1\)和\(x_2\)，那么\(x_1\cdotx_2\)的值為（）。A.2B.3C.5D.15.若一元二次方程\(x^2-3x+k=0\)有兩個實(shí)數(shù)根，則\(k\)的取值范圍是（）。A.\(k<3\)B.\(k>3\)C.\(k=3\)D.\(k\neq3\)二、填空題要求：在下列各題中，每小題給出的空格內(nèi)填寫一個正確的數(shù)。6.若一元二次方程\(x^2+2x+1=0\)的兩個實(shí)數(shù)根分別為\(a\)和\(b\)，則\(a^2+b^2\)的值為________。7.若一元二次方程\(2x^2-5x+3=0\)的兩個根的和為\(-\frac{5}{2}\)，則另一個根為________。8.若一元二次方程\(x^2-3x+2=0\)的兩個根的積為2，則該方程的判別式的值為________。9.若一元二次方程\(x^2-4x+4=0\)的兩個根相等，則該方程的系數(shù)\(a\)的值為________。10.若一元二次方程\(x^2+5x+6=0\)的兩個根的差的絕對值為3，則該方程的判別式的值為________。三、解答題要求：解答下列各題。11.解一元二次方程\(2x^2-3x-2=0\)。12.若一元二次方程\(x^2-3x+k=0\)的兩個實(shí)數(shù)根的乘積為2，求\(k\)的值。13.若一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的兩個實(shí)數(shù)根為\(x_1\)和\(x_2\)，且\(x_1+x_2=4\)，\(x_1\cdotx_2=3\)，求該方程的系數(shù)\(a\)、\(b\)和\(c\)的值。四、計算題要求：下列各題中，每小題給出四個選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案的字母填在題后的括號內(nèi)。14.若一元二次方程\(3x^2-2x-5=0\)的兩個根的倒數(shù)之和為\(-\frac{1}{2}\)，求該方程的兩個根。15.已知一元二次方程\(x^2-4x+4=0\)的一個根為\(x=2\)，求另一個根，并判斷該方程的根的情況。16.若一元二次方程\(x^2-6x+k=0\)的兩個根都是整數(shù)，且根的差的絕對值為2，求\(k\)的可能取值。17.若一元二次方程\(ax^2-2x+b=0\)的兩個實(shí)數(shù)根之和為3，且根的積為2，求\(a\)和\(b\)的值。五、證明題要求：下列各題要求證明，請給出證明過程。18.證明：若一元二次方程\(x^2-4x+3=0\)的兩個實(shí)數(shù)根\(a\)和\(b\)滿足\(a+b=4\)，則\(a^2+b^2=16\)。19.證明：若一元二次方程\(x^2+px+q=0\)的兩個根的乘積等于根的和，則該方程的判別式\(\Delta=0\)。20.證明：若一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的兩個根\(x_1\)和\(x_2\)滿足\(x_1\cdotx_2>0\)，則\(a\)和\(c\)同號。六、應(yīng)用題要求：下列各題要求解決實(shí)際問題，請給出解題過程。21.一個一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的兩個根\(x_1\)和\(x_2\)滿足\(x_1+x_2=3\)，\(x_1\cdotx_2=4\)，且\(a,b,c\)都是正整數(shù)。求\(a\)、\(b\)和\(c\)的值。22.一個工廠計劃生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)第一種產(chǎn)品每件利潤為5元，生產(chǎn)第二種產(chǎn)品每件利潤為10元。若工廠每天最多可以使用40小時，第一種產(chǎn)品每小時可生產(chǎn)4件，第二種產(chǎn)品每小時可生產(chǎn)3件。設(shè)生產(chǎn)第一種產(chǎn)品的數(shù)量為\(x\)件，第二種產(chǎn)品的數(shù)量為\(y\)件，要使總利潤最大，求\(x\)和\(y\)的值。23.一輛汽車行駛了\(t\)小時，已知它的速度\(v\)與行駛的距離\(s\)的關(guān)系為\(s=vt\)，其中\(zhòng)(v\)的單位為km/h，\(s\)的單位為km。如果汽車的速度是每小時60公里，那么4小時后汽車行駛的距離是多少？本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.4解析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有\(zhòng)(a+b=-\frac{b}{a}\)，代入\(a=1\)，\(b=-4\)，得到\(a+b=-\frac{-4}{1}=4\)。2.B.有兩個相等的實(shí)數(shù)根解析：判別式\(\Delta=b^2-4ac\)，當(dāng)\(\Delta=0\)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根。3.B.-1解析：已知一個根為\(x=3\)，代入方程\(x^2-2x-3=0\)，得到\(3^2-2\cdot3-3=0\)，解得另一個根為\(x=-1\)。4.A.2解析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有\(zhòng)(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}\)，代入\(a=2\)，\(c=3\)，得到\(x_1\cdotx_2=\frac{3}{2}=1.5\)，故答案為2。5.A.\(k<3\)解析：一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根的條件是判別式\(\Delta>0\)，即\(b^2-4ac>0\)，代入\(a=1\)，\(b=-3\)，\(c=k\)，得到\(9-4k>0\)，解得\(k<\frac{9}{4}\)。二、填空題6.5解析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有\(zhòng)(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)，代入\(a+b=-2\)，\(ab=1\)，得到\(a^2+b^2=(-2)^2-2\cdot1=4-2=2\)。7.1解析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有\(zhòng)(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)，代入\(a=2\)，\(b=-5\)，\(x_1=3\)，得到\(x_2=-\frac{5}{2}-3=-\frac{11}{2}\)，故另一個根為1。8.1解析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有\(zhòng)(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}\)，代入\(a=1\)，\(c=2\)，得到\(x_1\cdotx_2=\frac{2}{1}=2\)，故判別式\(\Delta=b^2-4ac=9-4\cdot1\cdot2=1\)。9.1解析：一元二次方程\(x^2-4x+4=0\)的判別式\(\Delta=0\)，根據(jù)判別式的性質(zhì)，方程的兩個根相等，所以\(a=1\)。10.1解析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有\(zhòng)(x_1-x_2=\sqrt{\Delta}/a\)，代入\(a=1\)，\(\Delta=5^2-4\cdot1\cdot6=1\)，得到\(x_1-x_2=\sqrt{1}/1=1\)，故判別式\(\Delta=1\)。三、解答題11.解：\(2x^2-3x-2=0\)，使用配方法或公式法求解，得到\(x_1=2\)，\(x_2=-\frac{1}{2}\)。12.解：\(x^2-3x+k=0\)，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有\(zhòng)(x_1\cdotx_2=\frac{k}{1}\)，代入\(x_1\cdotx_2=2\)，得到\(k=2\)。13.解：\(ax^2+bx+c=0\)，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有\(zhòng)(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)，\(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}\)，代入\(x_1+x_2=4\)，\(x_1\cdotx_2=3\)，解得\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)。四、計算題14.解：\(3x^2-2x-5=0\)，使用公式法求解，得到\(x_1=\frac{1}{3}\)，\(x_2=-5\)，故兩個根的倒數(shù)之和為\(\frac{1}{\frac{1}{3}}+\frac{1}{-5}=3-\frac{1}{5}=\frac{14}{5}\)。15.解：已知一個根為\(x=2\)，代入方程\(x^2-4x+4=0\)，得到\(2^2-4\cdot2+4=0\)，解得另一個根為\(x=2\)，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根。16.解：\(x^2-6x+k=0\)，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有\(zhòng)(x_1+x_2=6\)，\(x_1\cdotx_2=k\)，且根的差的絕對值為2，解得\(k\)的可能取值為8或20。17.解：\(ax^2-2x+b=0\)，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有\(zhòng)(x_1+x_2=\frac{2}{a}\)，\(x_1\cdotx_2=\frac{b}{a}\)，代入\(x_1+x_2=3\)，\(x_1\cdotx_2=2\)，解得\(a=1\)，\(b=2\)。五、證明題18.證明：設(shè)一元二次方程\(x^2-4x+3=0\)的兩個實(shí)數(shù)根為\(a\)和\(b\)，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有\(zhòng)(a+b=4\)，\(ab=3\)，則\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2\cdot3=16-6=10\)，因此\(a^2+b^2=16\)。19.證明：設(shè)一元二次方程\(x^2+px+q=0\)的兩個根為\(x_1\)和\(x_2\)，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有\(zhòng)(x_1\cdotx_2=q\)，\(x_1+x_2=-p\)，若\(x_1\cdotx_2=x_1+x_2\)，則\(q=-p\)，代入判別式\(\Delta=p^2-4q\)，得到\(\Delta=p^2-4(-p)=p^2+4p\)，因?yàn)閈(p\)為實(shí)數(shù)，所以\(\Delta=p^2+4p\geq0\)，所以\(\Delta=0\)。20.證明：設(shè)一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的兩個根為\(x_1\)和\(x_2\)，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有\(zhòng)(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}\)，若\(x_1\cdotx_2>0\)，則\(\frac{c}{a}>0\)，所以\(a\)和\(c\)同號。六、應(yīng)用題21.解：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有\(zhòng)(x_1+x_2=3\)，\(x_1\cdotx_2=4\)，且\(a,b,c\)都是正整數(shù)，解得\(a=1\