階段提升突破練(四)(立體幾何)(60分鐘100分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則()A.m∥l B.m∥nC.n⊥l D.m⊥n【解題導引】根據線、面垂直的定義判斷.【解析】選C.由題意知,α∩β=l,所以l?β,因為n⊥β,所以n⊥l.2.(2017·長沙二模)如圖是一個四面體的三視圖,這個三視圖均是腰長為2的等腰直角三角形,正視圖和俯視圖中的虛線是三角形的中線,則該四面體的體積為()A.23 B.43 C.83【解析】選A.由四面體的三視圖得該四面體為棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中的三棱錐C1BDE,其中點E是CD中點,△BDE面積S=12×1三棱錐C1BDE的高h=CC1=2,所以該四面體的體積:V=13Sh=23.(2017·全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形,這些梯形的面積之和為()A.10 B.12C.14 D.16【解題導引】主要考查如何將三視圖轉化為幾何體問題,突出考查考生的空間想象能力.【解析】選B.由三視圖可畫出立體圖,該立體圖各面中只有兩個相同的梯形的面,S梯=2+4×2÷2=6,S全梯=6×【加固練習】(2017·黃岡二模)某一簡單幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的外接球的表面積是()A.13π B.16π C.25π D.27π【解析】選C.幾何體為底面為正方形的長方體,底面對角線為4,高為3,所以長方體底面邊長為22,則長方體外接球半徑為r,則2r=(22)所以長方體外接球的表面積S=4πr2=25π.4.(2017·合肥二模)若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形,則該三棱錐與平面α平行的棱有()A.0條 B.1條C.2條 D.1條或2條【解析】選C.如圖所示,四邊形EFGH為平行四邊形,則EF∥GH,因為EF?平面BCD,GH?平面BCD,所以EF∥平面BCD,因為EF?平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,所以EF∥CD,所以CD∥平面EFGH,同理AB∥平面EFGH.5.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分別為AA1,AB,BB1,B1CA.45° B.60° C.90° D.120°【解析】選B.如圖,取A1B1的中點M,連接GM,HM.由題意易知EF∥GM,且△GMH為正三角形.所以異面直線EF與GH所成的角即為GM與GH的夾角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM=60°.6.(2017·全國卷Ⅲ)在正方體ABCDA1B1C1D1A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC【解析】選C.根據三垂線逆定理,平面內的線垂直過平面的斜線,那也垂直于斜線所在平面內的射影.A.若A1E⊥DC1,那么D1E⊥DC1,顯然不成立;B.若A1E⊥BD,那么BD⊥AE,顯然不成立;C.若A1E⊥BC1,那么BC1⊥B1C成立,反過來BC1⊥B1C,也能推出A1E⊥BCD.若A1E⊥AC,那么AE⊥AC,顯然不成立.7.(2017·洛陽二模)一個透明密閉的正方體容器中,恰好盛有該容器一半容積的水,任意轉動這個正方體,則水面在容器中的形狀可以是:(1)三角形;(2)四邊形;(3)五邊形;(4)六邊形.其中正確的結論是()A.(1)(3) B.(2)(4)C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)【解析】選B.正方體容器中盛有一半容積的水,無論怎樣轉動,其水面總是過正方體的中心.三角形截面不過正方體的中心,故(1)不正確;過正方體的一對棱和中心可作一截面,截面形狀為長方形,故(2)正確;正方體容器中盛有一半容積的水,任意轉動這個正方體,則水面在容器中的形狀不可能是五邊形,故(3)不正確;過正方體一面上相鄰兩邊的中點以及正方體的中心得截面形狀為正六邊形,故(4)正確.8.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=1,將△ACD沿AC折起,使得D折起的位置為D1,且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上,在四面體D1ABC的四個面中,其中有n對平面相互垂直,則n等于()導學號46854221A.2 B.3 C.4 【解析】選B.設D1在平面ABC的射影為E,連接D1E,則D1E⊥平面ABC,因為D1E?平面ABD1,所以平面ABD1⊥平面ABC.因為D1E⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以D1E⊥BC,又因為AB⊥BC,D1E∩AB=E,所以BC⊥平面ABD1,又因為BC?平面BCD1,所以平面BCD1⊥平面ABD1,因為BC⊥平面ABD1,AD1?平面ABD1,所以BC⊥AD1,又因為CD1⊥AD1,BC∩CD1=C,所以AD1⊥平面BCD1,又因為AD1?平面ACD1,所以平面ACD1⊥平面BCD1.所以共有3對平面互相垂直.二、填空題(每小題5分,共20分)9.(2017·山東高考)由一個長方體和兩個14圓柱構成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為________【解析】由三視圖可知長方體的體積為V1=2×1×1=2,兩個四分之一圓柱的體積之和為V2=14×π×12×1×2=π2,所以該幾何體的體積為V=2+π答案:2+π【加固訓練】(2017·大慶二模)一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為________.【解析】由三視圖可知:該幾何體為三棱錐PABC,其中底面是底邊與底邊上的高都為2的等腰三角形△ABC,側面PAC⊥底面ABC,高為2.所以這個幾何體的體積V=13×12×22×2=答案:410.(2017·全國卷Ⅰ)已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐SABC的體積為9,則球O的表面積為________.【解析】取SC的中點O,連接OA,OB,因為SA=AC,SB=BC,所以OA⊥SC,OB⊥SC.因為平面SAC⊥平面SBC,所以OA⊥平面SBC.設OA=rVASBC=13×S△SBC×OA=13×12×2r×r×r=1所以13r3=9?所以球的表面積為4πr2=36π.答案:36π11.(2017·本溪二模)已知a,b表示兩條不同直線,α,β,γ表示三個不同平面,給出下列命題:①若α∩β=a,b?α,a⊥b,則α⊥β;②若a?α,a垂直于β內的任意一條直線,則α⊥β;③若α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,則a⊥b;④若a不垂直于平面α,則a不可能垂直于平面α內的無數條直線;⑤若a⊥α,a⊥β,則α∥β.上述五個命題中,正確命題的序號是________.【解析】對于①,根據線面垂直的判定定理,需要一條直線垂直于同一平面內兩條相交的直線,故a⊥b,a不一定垂直平面β,故不正確,對于②,a?α,a垂直于β內的任意一條直線,滿足線面垂直的定理,即可得到a⊥β,又a?α,則α⊥β,故正確,對于③,α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,則a⊥b或a∥b,或相交,故不正確,對于④,若a不垂直于平面α,則a可能垂直于平面α內的無數條直線,故不正確,對于⑤,根據線面垂直的性質,若a⊥α,a⊥β,則α∥β,故正確.答案:②⑤12.在長方體ABCDA1B1C1D1中,B1C和C1D與底面A1B1C1D1所成的角分別為45°和60°,則異面直線B1C和C導學號46854222【解析】設B1B=a,因為B1C和C1D與底面A1B1C1D1所成的角分別為45°和60所以BC=a,DC=33所以A1D=2a,DC1=233a,A1C1由余弦定理得:cos∠C1DA1=A1D2答案:6三、解答題(每小題10分,共40分)13.(2017·江蘇高考)如圖,在三棱錐ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.導學號46854223求證:(1)EF∥平面ABC.(2)AD⊥AC.【解題導引】(1)利用AB∥EF及線面平行判定定理可得結論.(2)利用面面垂直的性質得BC⊥AD,又AB⊥AD,從而得到AD⊥平面ABC,即可得AD⊥AC.【證明】(1)在平面ABD內,因為AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因為EF?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因為平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC?平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因為AD?平面ABD,所以BC⊥AD.又因為AB⊥AD,BC∩AB=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC,所以AD⊥平面ABC,又因為AC?平面ABC,所以AD⊥AC.14.如圖,在三棱錐PABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點,已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.導學號46854224求證:(1)直線PA∥平面DEF.(2)平面BDE⊥平面ABC.【證明】(1)在△PAC中,D,E分別為PC,AC的中點,則PA∥DE,PA?平面DEF,DE?平面DEF,因此PA∥平面DEF.(2)在△DEF中,DE=12PA=3,EF=1所以DF2=DE2+EF2,所以DE⊥EF,又因為PA⊥AC,所以DE⊥AC.因為EF∩AC=E,所以DE⊥平面ABC,所以平面BDE⊥平面ABC.【加固訓練】1.如圖,在三棱錐SABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.過點A作AF⊥SB,垂足為F,點E,G分別是棱SA,SC的中點.求證:(1)平面EFG∥平面ABC.(2)BC⊥SA.【證明】(1)因為AS=AB,AF⊥SB,垂足為F,所以點F是SB的中點.又因為點E是SA的中點,所以EF∥AB.因為EF?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又因為EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因為平面SAB⊥平面SBC,且交線為SB,又因為AF?平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因為BC?平面SBC,所以AF⊥BC.又因為AB⊥BC,AF∩AB=A,AF?平面SAB,AB?平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因為SA?平面SAB,所以BC⊥SA.2.如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點,求證:(1)MN∥平面PAD.(2)平面PMC⊥平面PDC.【證明】如圖所示,建立空間直角坐標系,設PA=AD=a,AB=b.(1)易知AB→為平面PAD的一個法向量,又因為MN→=所以AB→·MN→=0,所以又因為MN?平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)由(1)知P(0,0,a),C(b,a,0),Mb2所以PC→=(b,a,a),PM→=設平面PMC的一個法向量為n1=(x1,y1,z1),由QUOTEn1·PC→=0,n1所以x令z1=b,則n1=(2a,b,b),設平面PDC的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),則QUOTEn2·PC→=0,n2解得x令z2=1,則n2=(0,1,1),由于n1·n2=0b+b=0,所以n1⊥n2,所以平面PMC⊥平面PDC.15.如圖,在四棱錐PABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.導學號46854225(1)求證:DC⊥平面PAC.(2)求證:平面PAB⊥平面PAC.【解題指南】(1)證明DC⊥PC,又因為DC⊥AC,從而DC⊥平面PAC.(2)只需證明AB⊥平面PAC.【證明】(1)因為PC⊥平面ABCD,DC?平面ABCD,所以PC⊥DC.又因為DC⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC?平面PAC,所以DC⊥平面PAC.(2)因為AB∥DC,DC⊥平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又因為AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.16.如圖①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中點,O是AC與BE的交點,將△ABE沿BE折起到圖②中△A1BE的位置,得到四棱錐A導學號46854226(1)證明:CD⊥平面A1OC.(2)當平面A1BE⊥平面BCDE時,四棱錐A1BCDE的體積為362,求a的值.【解析】(1)在