湖南省瀏陽市2023-2024學年高一下學期期末質量監測數學試卷1．已知向量a=(1,2),b=(3,m)，若aA．?4 B．4 C．?6 D．62．復數z=2?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．邊長為2的正三角形的直觀圖的面積是（）A．64 B．62 C．324．已知圓錐的底面圓周在球O的球面上，頂點為球心O，圓錐的高為3，且圓錐的側面展開圖是一個半圓，則球O的表面積為（）A．24π B．36π C．48π D．64π5．下列說法正確的是（）①已知a,b,c為三條直線，若a,b異面，b,c異面，則a,c異面；②若a不平行于平面α，且a?α，則③兩兩相交且不公點的三條直線確定一個平面；④若△ABC在平面α外，它的三條邊所在的直線分別交α于P、Q、R，則P、Q、R，三點共線．A．①② B．③④ C．①③ D．②④6．已知某樣本的容量為50，平均數為70，方差為75.現發現在收集這些數據時，其中的兩個數據記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90.在對錯誤的數據進行更正后，重新求得樣本的平均數為x，方差為s2，則（）A．x=70,s2C．x=70,s27．如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別交AB,AC兩邊于M,N兩點，且AM=xAB，AN=yA．22+33 B．228．某工業園區有A、B、C共3個廠區，其中AB=63km，BC=10km，∠ABC=90°，現計劃在工業園區內選擇P處建一倉庫，若∠APB=120°，則A．6km B．8km C．43km 9．給定一組數5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則（）A．平均數為3 B．標準差為8C．眾數為2 D．85%分位數為510．有6個相同的小球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.用x表示第一次取到的小球的標號，用y表示第二次取到的小球的標號，記事件A：x+y為偶數，B：xy為偶數，C：x>2，則（）A．PB=34 B．C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立11．正多面體也稱柏拉圖立體（被譽為最有規律的立體結構），是所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形）．數學家已經證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．已知一個正八面體ABCDEF的棱長都是2（如圖），則（）A．BE//平面ADFB．直線BC與平面BEDF所成的角為60°C．若點P為棱EB上的動點，則AP+CP的最小值為2D．若點P為棱EB上的動點，則三棱錐F?ADP的體積為定值412．如圖，某學校共有教師200人，按老年教師、中年教師、青年教師的比例用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個60人的樣本，則被抽到的青年教師的人數為.13．拋兩枚質地均勻的骰子，向上的點數分別為x，y，則x，y，3能夠構成三角形三邊長的概率為.14．在△ABC中，點D,E分別在邊BC和邊AB上，且DC=2BD=2,BE=2AE,AD交CE于點P，設BC=a,BA=b.用a,b表示BP為；若M為15．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東23km/?.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250316．在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手（1到5號）登臺演唱，由現場數百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中選3名歌手．（1）求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；（2）X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和，求“X≥2”的事件概率．17．為了落實習主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環境治理要求，某市政府積極鼓勵居民節約用水.計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照[0,1),[1,2),?,[8,9)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中0.4a=b.（1）求直方圖中a,b的值，并由頻率分布直方圖估計該市居民用水的平均數（每組數據用該組區間中點值作為代表）；（2）設該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于2噸的人數；（3）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x（噸），估計x的值.18．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中點.（1）求證：AM⊥平面PCD；（2）求異面直線CD與BM所成角的正切值；（3）求直線CD與平面ACM所成角的正弦值.19．任意一個復數z的代數形式都可寫成復數三角形式，即z=a+bi=rcosθ+isinθ，其中i為虛數單位，r=z=a2+b2≥0,θ∈（1）試將z=3?3（2）試應用復數乘方公式推導三倍角公式：sin3θ=3sinθ?4sin（3）計算：cos4

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：由向量a=(1,2),b=(3,m)因為a⊥(a+b)故答案為：A.【分析】根據題意結合向量垂直的坐標表示，從而列出方程得出實數m的值.2．【答案】D【解析】【解答】解：z=2?i1+i=故答案為：D.【分析】根據復數代數形式的除法運算求z，再結合復數的幾何意義判斷即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：易知正三角形的面積為：S=3則直觀圖的面積為：3×故答案為：A.【分析】先求正三角形的面積，再由直觀圖和原圖的面積比為2:44．【答案】C【解析】【解答】解：設圓錐的底面半徑為r，因為圓錐的高為3，所以圓錐母線長l=3又因為圓錐的側面展開圖是一個半圓，所以πrl=12π即2r=9+r2，解得r=故球O的表面積為S表故答案為：C.【分析】設出圓錐的底面半徑，結合圓錐底面半徑、母線及高的關系與側面面積計算即可得其母線長，再結合球的表面積計算公式計算即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：①、直線a、b異面，b、c異面，則a、c可能平行、相交或異面，故①錯誤；②、易知a與α相交，設a∩α=P，在α內過點P的直線l與a共面，故②錯誤；③、兩條相交直線確定一個平面，第三條直線與前面兩條直線的交點在此平面內，故③正確；④、設平面α∩平面ABC=l，因為P∈α,P∈平面ABC，所以P∈l，同理Q∈l,R∈l，故P、Q、R三點共線，故④正確.故答案為：B．

【分析】利用空間中直線、平面的位置關系逐項判斷即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：由題意可知：更正后樣本的均值為x=設收集的48個準確數據分別記為x1則75==1s=150x故答案為：A．【分析】根據平均數、方差公式計算即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：點G是△ABC的重心，則AG?因為AM?=xAB又因為M,G,N三點共線，所以13x+13y當且僅當2x3y=y3x，即x=2+26故答案為：A.【分析】利用重心的性質結合平面向量共線定理得到13x8．【答案】B【解析】【解答】解：法一：設∠BAP=θ，0°<θ<60°，則∠ABP=60°?θ，∠PBC=90°?60°?θ在△BAP中，由正弦定理BPsin∠BAP=ABsin∠APB，在△PBC中，

C=144=144=144=264=232?1211cos2θ+5所以，當2θ+φ=90°時CP2min=232?12×14=64，

所以法二：如圖，因為∠APB=120°，

所以點P在如圖所示的圓O上，則圓O的直徑為R=1由圓周角的性質可得∠ADB=180°?120°=60°，

所以∠AOB=120°，∠OBA=30°．連接OC，可得OP+CP≥OC（當P為OC與圓O的交點時取等號），在△OBC中，OB=6，BC=10，∠OBC=120°，根據余弦定理可知OC即OC=14，所以CP的最小值為14?6=8km故答案為：B.

【分析】設∠BAP=θ，0°<θ<60°，利用正弦定理得到BP=12sinθ，在△PBC中利用余弦定理得到CP2，再由三角恒等變換公式和三角函數的性質，從而求出9．【答案】A,D【解析】【解答】解：由平均數的計算公式，可得x=由方程的公式，可得s2所以標準差為85由眾數的定義，可得數據的眾數為2和3，所以C錯誤；將數據從小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得i=10×85%所以第85百分位數為5，所以D正確.故答案為：AD.【分析】根據平均數、方差、眾數和百分位數的概念與計算方法，逐項判定，從而找出正確的選項.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、由題意，可得PBB、PA=3則PA?PB=1C、PC=4則PA?PC=1D、PBC則PB?PC=3故答案為：ACD.【分析】由題意，根據獨立事件乘法公式計算即可判斷A；根據相互獨立事件定義，分別計算出PA、PB、PAB11．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、連接BD,EF，如圖所示：

由正八面體ABCDEF的性質可知，EF⊥平面ABCD，

且EF,BD相交于點O，O為BD和EF的中點，因為BE=DE=BF=DF=2，所以四邊形BFDE為菱形，所以BE//DF，又因為DF?平面ADF，BE?平面ADF，所以BE//平面ADF，故A正確；B、連接AC，如圖所示：

則AC,BD相交于點O，因為四邊形ABCD為正方體，所示AC⊥BD，由A選項，同理可得四邊形AECF為菱形，故AC⊥EF，又因為BD∩EF=O，BD,EF?平面BEDF，所以AC⊥平面BEDF，即直線BC與平面BEDF所成的角為∠CBO，由題意得BD=AB2+AD2=2C、由題意得，AP=CP，故只需AP最小，在等邊三角形ABE中，當P為BE的中點時，AP⊥BE，此時AP最小，且AP=3，故若點P為棱EB上的動點，則AP+CP的最小值為2D、VF?ADP=VA?FDP，其中A到平面設菱形BFDE的面積為S，則S=12BD?EF=若點P為棱EB上的動點，則三棱錐F?ADP的體積為定值13故答案為：AC.【分析】由對稱性可得四邊形BFDE為菱形，故BE//DF，從而得到線面平行即可判斷A；作出輔助線，得到直線BC與平面BEDF所成的角為∠CBO，求出邊長，得到夾角即可判斷B；AP=CP，故只需AP最小，當P為BE的中點時，AP⊥BE，此時AP最小，且AP=3，從而求出AP+CP的最小值即可判斷C；等體積法得到三棱錐F?ADP的體積為定值212．【答案】18???????【解析】【解答】解：易知青年教師的比例為30%，則青年教師被抽出的人數為60×30故答案為：18.【分析】根據青年教師的比例計算即可．13．【答案】7【解析】【解答】解：易知拋兩枚骰子，共有36種結果，

因為x，y，3構成三角形的三邊長，所以|x?y|<3<x+y，當x=y，有5種情況：x=2,3,4,5,6；當x<y（x>y的情況只需x與y互換即可，即兩種情況相同）時，x=1,y=3；x=2，y=3,4；x=3，y=4,5；x=4，y=5,6；x=5，y=6，

共有5+2×8=21（種）情況，則所求概率為P=21故答案為：712【分析】由題意，利用列舉法、結合古典概型概率公式計算即可.14．【答案】BP=1【解析】【解答】解：如圖所示：

因為DC=2BD，BE=2AE，所以BD=13BC設DP=λDA，

=1設EP=μEC=2由平面向量基本定理得，1?λ3=μλ=則BP=以B為原點，BC所在直線為x軸，垂直于BC方向為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：

則B(0,0),C(3,0),D(1,0)，因為∠ECB=30°，所以直線CE的斜率為所以直線CE的方程為：y=?3設點M的坐標為(a,3?BM=(a,3?則BM?當a=98時，BM?故答案為：BP=17【分析】利用向量的線性運算及平面向量的基本定理求解即可；以B為原點，建立平面直角坐標系，由∠ECB=30°，得直線CE的斜率，求得直線CE的方程，再由點M在直線CE上，設點M的坐標(a,315．【答案】由題意，作出圖形，如圖所示：

易知AB=250m=0.250km,BC=2503m=3則∠CAB=60°，即合速度的方向與水流的方向成150°的角，設小貨船的速度為v1，水流速度為v2，合速度為v，則v1則小船航行速度的大小為221【解析】【分析】由題意，作出圖形，利用直角三角形結合余弦定理求解即可．16．【答案】解：（1）設A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”則PA=C21C32=23，PB=C42C53=35

∵事件A與B相互獨立，A與B相互獨立

則AB表示事件“甲選中3號歌手，且乙沒選中3號歌手”

∴PAB=PA?PB=PA?1?PB=23×25=415

即觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中【解析】【分析】（1）根據古典概型計算公式（一個事件的概率等于該事件包含的基本事件數除以樣本空間中所有可能的基本事件數）分別求出甲、乙選中3號歌手的概率；利用PAB=PA?PB求得結果；

（2）根據17．【答案】（1）解：由頻率分布直方圖各矩形面積和為1，可得0.04+0.08+a+0.20+0.26+a+b+0.04+0.02=1，因為0.4a=b，所以a=0.15，b=0.06，則該市居民用水的平均數估計為：x=0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26

+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02=4.07（2）解：由頻率分布直方圖可得：月均用水量不超過2噸的頻率為：0.04+0.08=0.12，則月均用水量不低于2噸的頻率為：1?0.12=0.88，即全市40萬居民中月均用水量不低于2噸的人數為：40×0.88=35.2（萬）；（3）解：由頻率分布直方圖知月均用水量不超過6噸的頻率為：0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88，月均用水量不超過5噸的頻率為：0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73，則85%的居民每月的用水量不超過的標準x（噸），5<x<6，0.73+0.15(x?5)=0.85，解得x=5.8，即標準為5.8噸.【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖各矩形面積和為1以及0.4a=b列方程組求得a,b的值，并由頻率分布直方圖中間值作為代表，計算平均數即可；（2）計算不低于2噸人數對應的頻率，求出對應的人數即可；（3）由頻率分布直方圖計算頻率，可判斷5<x<6，再根據頻率列出方程，求x的值即可.（1）由頻率分布直方圖可得0.04+0.08+a+0.20+0.26+a+b+0.04+0.02=1，又0.4a=b，則a=0.15，b=0.06，該市居民用水的平均數估計為：x=0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02=4.07（2）由頻率分布直方圖可得，月均用水量不超過2噸的頻率為：0.04+0.08=0.12，則月均用水量不低于2噸的頻率為：1?0.12=0.88，所以全市40萬居民中月均用水量不低于2噸的人數為：40×0.88=35.2（萬）；（3）由頻率分布直方圖知月均用水量不超過6噸的頻率為：0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88，月均用水量不超過5噸的頻率為：0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73，則85%的居民每月的用水量不超過的標準x（噸），5<x<6，∴0.73+0.15(x?5)=0.85，解得x=5.8，即標準為5.8噸.18．【答案】（1）證明：在四棱錐P?ABCD中，因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，

又因為底面ABCD是矩形，所以CD⊥DA，

因為DA∩PA=A，所以CD⊥平面PAD，

因為AM?平面PAD，所以CD⊥AM，

又因為M是PD的中點，PA=AD=4，所以AM⊥PD，

又因為CD∩PD=D，所以AM⊥平面PCD；（2）解：因為底面ABCD是矩形，所以CD//BA，則異面直線CD與BM所成角即為直線BA與直線BM所成的角，

由（1）得CD⊥平面PAD，則BA平面PAD，

因為AM?平面PAD，所以BA⊥AM，所以△BAM為直角三角形，

又因為M是PD的中點，PA=AD=4，所以AM=22，

在Rt△BAM中，∠ABM即為異面直線CD與BM所成角，tan∠ABM=AMAB=2，

即異面直線（3）解：取AD中點為N，連接MN，AC，如圖所示：

在△PAD中，M,N分別為線段PD,AD的中點，故MN//PA,MN=12PA=2，

因為PA⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，

所以VM?ACD=13×MN×12×AD×CD=83，

由（1）得AM⊥平面PCD，因為MC?平面PCD，所以AM⊥MC，

因為PA=AD=4，所以PD=42,MD=22，又因為AB=CD=2，所以MC=23，

所以S△AMC=12×AM×MC=26，

設點D到平面AMC的距離為?，直線CD與平面【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明CD⊥平面PAD，證明CD⊥AM，再利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）根據題意可得異面直線CD與BM所成角即為直線BA與直線BM所成的角，利用線面垂直可證△BAM為直角三角形，求∠ABM的正切值即可；（3）利用等體積法求解點D到平面AMC的距離?，直線CD與平面ACM所成角為θ，sinθ=?CD，再求解直線CD（1）解：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥DA，∵DA∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，∵AM?平面PAD，∴CD⊥AM，又M是PD的中點，PA=AD=4，∴AM⊥PD，∵CD∩