高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)綜合檢測卷（基礎(chǔ)A卷）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．若直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】計(jì)算得到結(jié)合線面位置關(guān)系即得解.【詳解】由題得，所以.所以或.故選：D2．已知常數(shù)，直線：，：，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先利用兩直線平行的公式求出，再確定充分性和必要性即可.【詳解】因?yàn)橹本€：，：，當(dāng)時(shí)，解得，所以是的充分不必要條件.故選：A3．已知點(diǎn)，若直線與線段有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意知A、B兩點(diǎn)在直線的異側(cè)或在直線上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．【詳解】根據(jù)題意，若直線l：kx﹣y﹣1＝0與線段AB相交，則A、B在直線的異側(cè)或在直線上，則有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，即k的取值范圍是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查直線與線段AB相交的應(yīng)用問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．4．過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知，先求出，從而可求得結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，因?yàn)椋?故選：A.5．橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上且軸，則到直線的距離為（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】先求出、的坐標(biāo)，再由軸，可求出，再由勾股定理可求出，然后利用等面積法可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，所以，，當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)檩S，所以，所以，設(shè)到直線的距離為，因?yàn)椋?，解得，故選：A6．若曲線表示雙曲線，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由方程表示雙曲線求解實(shí)數(shù)k的取值范圍即可.【詳解】曲線表示雙曲線，所以即可.解得或，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是：.故選：B.7．頂點(diǎn)在原點(diǎn)、坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的拋物線，過點(diǎn)，則它的方程是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】分焦點(diǎn)在軸和軸上討論，并利用待定系數(shù)法即可得到答案.【詳解】當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為．因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，所以．所以拋物線的方程為；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，所以，所以拋物線的方程為，即，綜上拋物線的方程為或.故選：A.8．正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將平面與平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，建立空間直角坐標(biāo)系，，然后用空間向量求解【詳解】由正方體的性質(zhì)：∥,∥，，，且平面，平面，平面，平面，所以平面平面，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面的距離．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由正方體的棱長為1，所以，，，，，所以，，，．連接，由，，所以，且，可知平面，得平面的一個(gè)法向量為，則兩平面間的距離：．故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（

）A．B．平面C．平面D．直線與直線所成角的余弦值為【答案】AD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，由空間向量的關(guān)系判斷空間位置關(guān)系，A選項(xiàng)，根據(jù)得到A正確；B選項(xiàng)，求出平面的法向量，由得到B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)，得到直線與直線不垂直；D選項(xiàng)，利用空間向量夾角余弦公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則..A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，A正確.B選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則，令得，，故，因?yàn)?，所以與不垂直，則直線與平面不平行，錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若平面，則.因?yàn)?，所以直線與直線不垂直，矛盾，C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，D正確.故選：AD10．下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．橢圓的離心率越大橢圓越扁，離心率越小橢圓越圓B．直線的傾斜角越大，它的斜率就越大C．到兩定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓D．若直線：，：，且，則【答案】BCD【分析】對(duì)于A：根據(jù)離心率的幾何意義直接判斷；對(duì)于B：取特殊例子的傾斜角為120°，的傾斜角為60°，進(jìn)行判斷；對(duì)于C：按照橢圓的定義進(jìn)行判斷；對(duì)于D：取重合情況進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A：根據(jù)離心率的幾何意義，橢圓的離心率越大橢圓越扁，離心率越小橢圓越圓.故A正確；對(duì)于B：對(duì)于直線：，：，取的傾斜角為120°，的傾斜角為60°，則，.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：按照橢圓的定義，到兩定點(diǎn)距離之和為定值（大于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：對(duì)于直線：，：，，若則重合.故D錯(cuò)誤.故選：BCD11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P是這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．的周長為16C．的面積為 D．【答案】AB【分析】根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)即可求解拋物線的定義，即可判斷A，聯(lián)立雙曲線方程與拋物線方程，即可求解交點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)點(diǎn)距離即可求解長度，即可判斷BC,由余弦定理即可判斷D.【詳解】由已知，雙曲線右焦點(diǎn)，即，故A項(xiàng)正確．且拋物線方程為．對(duì)于B項(xiàng)，聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，整理可得．，解得或（舍去負(fù)值），所以，代入可得，．設(shè)，又，所以，，，則的周長為16，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，易知，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由余弦定理可得，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AB

12．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（

）A．兩圓外離 B．的最大值為9C．的最小值為1 D．兩個(gè)圓的一條公切線方程為【答案】ABC【分析】將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出兩圓的圓心和半徑，再逐項(xiàng)分析.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)，半徑，圓，即的圓心坐標(biāo)，半徑，所以圓心距，因?yàn)?，所以兩圓外離．故A正確；因?yàn)樵趫A上，在圓上，所以，故B、C正確；因?yàn)閳A心到直線的距離，所以不是兩圓公切線，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知兩直線，．若直線與，不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)．【答案】或或【分析】分別討論或或過與的交點(diǎn)時(shí)，即可求解.【詳解】由題意可得，①當(dāng)時(shí)，不能構(gòu)成三角形，此時(shí)：，解得：；②當(dāng)時(shí)，不能構(gòu)成三角形，此時(shí)：，解得：；③當(dāng)過與的交點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成三角形，此時(shí)：聯(lián)立與，得，解得，所以與過點(diǎn)，將代入得：，解得；綜上：當(dāng)或或時(shí)，不能構(gòu)成三角形.故答案為：或或.14．已知平面的一個(gè)法向量為，則x軸與面所成的角的大小為

.【答案】【分析】取軸的方向向量，再利用線面角的空間向量求法即可得到答案.【詳解】軸的方向向量取，設(shè)x軸與面所成的角的大小，則，因?yàn)?，則.故答案為：.15．雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.【答案】1【分析】根據(jù)雙曲線離心率式，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以有，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，該雙曲線的漸近線方程為，所以該雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故答案為：16．橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形.若該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則該橢圓的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)題意，利用面積關(guān)系建立等式，即可求出離心率.【詳解】由橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積，周長為.由題意可得，得，所以，因此該橢圓的離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求法，解題的關(guān)鍵是建立與相關(guān)的方程，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在直三棱柱中，，分別為，，的中點(diǎn)，分別記，，為，，.(1)用，，表示，；(2)若，，求.【答案】(1)；.(2).【分析】（1）用空間向量的加減運(yùn)算分別表示，，，，再轉(zhuǎn)化為，，表示即可；（2）先把用，，表示，然后平方，把向量的模和數(shù)量積分別代入，計(jì)算出結(jié)果后再進(jìn)行開方運(yùn)算求得.【詳解】（1）連結(jié).在直三棱柱中，，，，則..（2）如圖，在直三棱柱中，，，，所以，，又，所以，，.，所以.18．已知圓，直線.(1)證明：直線和圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)若直線和圓交于兩點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)直線的方程.【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，此時(shí)直線方程為【分析】（1）先求直線所過定點(diǎn)，然后判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)即可得證；（2）根據(jù)直線垂直于時(shí)，有最小值可解.【詳解】（1）直線，即，聯(lián)立解得所以不論取何值，直線必過定點(diǎn).圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，則直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn).（2）直線經(jīng)過圓內(nèi)定點(diǎn)，圓心，記圓心到直線的距離為d.因?yàn)椋援?dāng)d最大時(shí)，取得最小值，所以當(dāng)直線時(shí)，被圓截得的弦最短，此時(shí)，因?yàn)?，所以直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的方程為，即，綜上：最小值為，此時(shí)直線方程為.

19．已知多面體中，四邊形是邊長為4的正方形，四邊形是直角梯形，，，．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）先證明出，由勾股逆定理得到⊥，證明出⊥平面，從而⊥，證明出⊥平面及面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦值.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问沁呴L為4的正方形，所以⊥，⊥，因?yàn)樗倪呅问侵苯翘菪?，，所以⊥，⊥，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，由勾股定理得，，因?yàn)椋?，由勾股定理逆定理得⊥，因?yàn)椤?，，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）由（1）知，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.20．平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在軸右側(cè)，且到的距離比到軸的距離大1.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求線段的長.【答案】(1)，(2)8【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式列等量關(guān)系，平方化簡得軌跡的方程，（2）根據(jù)拋物線定義得線段的長為，再將直線點(diǎn)斜式方程代入拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理得，即得線段的長.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為，由題意.

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式，得，所以，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）由題意可得直線的方程為，由，得，設(shè)，則，結(jié)合拋物線定義，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．2．若為拋物線上一點(diǎn)，由定義易得；若過焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為，則弦長為可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點(diǎn)弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到．21．已知橢圓的上頂點(diǎn)與橢圓的左，右頂點(diǎn)連線的斜率之積為．(1)求橢圓C的離心率；(2)若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，可知，可得，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，由此即可求出離心率；（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到，，再根據(jù)弦長公式，建立方程，即可求出的值，進(jìn)而求出橢圓方程.【詳解】（1）解：由題意可知，橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，左右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，∴，即，則．又，∴，所以橢圓的離心率；（2）解：設(shè)，，由得：，∴，，，∴，解得，∴，滿足，∴，∴橢圓C的方程為．22．已知雙曲線的漸近線為，左焦點(diǎn)為經(jīng)過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線在軸上截距