習題課圓周運動[學習目標]1.熟練掌握圓周運動各物理量的關系以及向心力、向心加速度的公式.2.會分析圓周運動所需向心力來源.3.會分析圓錐擺在水平面內的圓周運動.4.會分析汽車過拱(凹)形橋問題．一、描述圓周運動的各物理量間的關系例1如圖1所示，光滑的水平面上固定著一個半徑逐漸減小的螺旋形光滑水平軌道，一個小球以一定速度沿軌道切線方向進入軌道，下列物理量中數值將減小的是()圖1A．周期 B．線速度C．角速度 D．向心加速度(1)線速度v、角速度ω以及周期T之間的關系：v＝eq\f(2πr,T)＝ωr.(2)角速度ω與轉速n的關系：ω＝2πn(注：n的單位為r/s)．這些關系不僅在物體做勻速圓周運動中適用，在變速圓周運動中也適用，此時關系中各量是瞬時對應的．二、分析圓周運動問題的基本方法例2如圖2所示，兩根長度相同的輕繩(圖中未畫出)，連接著相同的兩個小球，讓它們穿過光滑的桿在水平面內做勻速圓周運動，其中O為圓心，兩段細繩在同一直線上，此時，兩段繩子受到的拉力之比為多少？圖2分析圓周運動問題的基本方法(1)首先要明確物體做圓周運動的軌道平面、圓心和半徑．(2)其次，準確受力分析，弄清向心力的來源，不能漏力或添力(向心力)．(3)然后，由牛頓第二定律F＝ma列方程，其中F是指向圓心方向的合外力，a是指向心加速度，即用ω2R或用周期T來表示的形式．針對訓練1(多選)如圖3所示，在粗糙水平板上放一個物塊，使水平板和物塊一起在豎直平面內沿逆時針方向做勻速圓周運動，ab為水平直徑，cd為豎直直徑，在運動中木板始終保持水平，物塊相對于木板始終靜止，則()圖3A．物塊始終受到三個力作用B．物塊受到的合外力始終指向圓心C．在c、d兩個位置，支持力N有最大值，摩擦力f為零D．在a、b兩個位置摩擦力提供向心力，支持力N＝mg三、水平面內的常見圓周運動模型例3如圖4所示，已知繩長為L＝20cm，水平桿長為L′＝0.1m，小球質量m＝0.3kg，整個裝置可繞豎直軸轉動．(g取10m/s2)問：(結果均保留三位有效數字)圖4(1)要使繩子與豎直方向成45°角，試求該裝置必須以多大的角速度轉動才行？(2)此時繩子的張力多大？1．模型特點：(1)運動平面是水平面．(2)合外力提供向心力，且沿水平方向指向圓心．2．常見裝置：運動模型飛機在水平面內做圓周運動火車轉彎圓錐擺向心力的來源圖示運動模型飛車走壁汽車在水平平路面轉彎水平轉臺向心力的來源圖示針對訓練2質量為m的飛機，以速率v在水平面內做半徑為R的勻速圓周運動，空氣對飛機作用力的大小等于()A．meq\r(g2＋\f(v4,R2))B．meq\f(v2,R)C．meq\r(\f(v4,R2)－g2)D．mg四、汽車過橋問題例4如圖5所示，質量m＝2.0×104kg的汽車以不變的速率先后駛過凹形橋面和凸形橋面，兩橋面的圓弧半徑均為20m．如果橋面承受的壓力不得超過3.0×105N，g取10m/s2，則：圖5(1)汽車允許的最大速度是多少？(2)若以所求速度行駛，汽車對橋面的最小壓力是多少？1.汽車過拱形橋(如圖6)圖6汽車在最高點滿足關系：mg－N＝meq\f(v2,R)，即N＝mg－meq\f(v2,R).(1)當v＝eq\r(gR)時，N＝0.(2)當0≤v<eq\r(gR)時，0<N≤mg.(3)當v>eq\r(gR)時，汽車將脫離橋面做平拋運動，發生危險．2.汽車過凹形橋(如圖7)圖7汽車在最低點滿足關系：N－mg＝eq\f(mv2,R)，即N＝mg＋eq\f(mv2,R).由此可知，汽車對橋面的壓力大于其自身重力，故凹形橋易被壓垮，因而實際中拱形橋多于凹形橋．針對訓練3在較大的平直木板上相隔一定距離釘幾個釘子，將三合板彎曲成拱橋形卡入釘子內形成拱形橋，三合板上表面事先鋪上一層牛仔布以增加摩擦，這樣玩具慣性車就可以在橋面上跑起來了．把這套系統放在電子秤上做實驗，如圖8所示，關于實驗中電子秤的示數下列說法正確的是()圖8A．玩具車靜止在拱橋頂端時的示數小一些B．玩具車運動通過拱橋頂端時的示數大一些C．玩具車運動通過拱橋頂端時處于超重狀態D．玩具車運動通過拱橋頂端時速度越大(未離開拱橋)，示數越小1.(圓周運動各物理量之間的關系)(多選)如圖9所示，一小物塊以大小為a＝4m/s2的向心加速度做勻速圓周運動，半徑R＝1m，則下列說法正確的是()圖9A．小物塊運動的角速度為2rad/sB．小物塊做圓周運動的周期為πsC．小物塊在t＝eq\f(π,4)s內通過的位移大小為eq\f(π,20)mD．小物塊在πs內通過的路程為零2．(水平面內的圓周運動)兩個質量相同的小球，在同一水平面內做勻速圓周運動，懸點相同，如圖10所示，A運動的半徑比B的大，則()圖10A．A所需的向心力比B的大B．B所需的向心力比A的大C．A的角速度比B的大D．B的角速度比A的大3．(汽車過橋問題)城市中為了解決交通問題，修建了許多立交橋．如圖11所示，橋面是半徑為R的圓弧形的立交橋AB橫跨在水平路面上，一輛質量為m的小汽車，從A端沖上該立交橋，小汽車到達橋頂時的速度大小為v1，若小汽車在上橋過程中保持速率不變，則()圖11A．小汽車通過橋頂時處于失重狀態B．小汽車通過橋頂時處于超重狀態C．小汽車在上橋過程中受到橋面的支持力大小為N＝mg－meq\f(v\o\al(2,1),R)D．小汽車到達橋頂時的速度必須大于eq\r(gR)4．(圓周運動中的受力分析)質量為25kg的小孩坐在質量為5kg的秋千板上，秋千板離拴繩子的橫梁2.5m．如果秋千板擺動經過最低點的速度為3m/s，這時秋千板所受的壓力是多大？每根繩子對秋千板的拉力是多大？(g取10m/s2)

答案精析重點知識探究一、例1A[軌道對小球的支持力與速度方向垂直，軌道的支持力只改變速度的方向不改變速度的大小，即小球的線速度大小不變，故B錯誤；根據v＝ωr，線速度大小不變，轉動半徑減小，故角速度變大，故C錯誤；根據T＝eq\f(2π,ω)，角速度增大，故周期減小，故A正確；根據a＝eq\f(v2,r)，轉動半徑減小，故向心加速度增大，故D錯誤．]二、例23∶2解析對兩小球受力分析如圖所示，設每段繩子長為l，對球2有F2＝2mlω2對球1有：F1－F2＝mlω2由以上兩式得：F1＝3mlω2故eq\f(F1,F2)＝eq\f(3,2).針對訓練1BD三、例3(1)6.44rad/s(2)4.24N解析小球繞豎直軸做圓周運動，其軌道平面在水平面內，軌道半徑r＝L′＋Lsin45°.對小球受力分析，設繩對小球拉力為T，小球重力為mg，則繩的拉力與重力的合力提供小球做圓周運動的向心力．對小球利用牛頓第二定律可得：mgtan45°＝mω2r ①r＝L′＋Lsin45° ②聯立①②兩式，將數值代入可得ω≈6.44rad/sT＝eq\f(mg,cos45°)≈4.24N.針對訓練2A

四、例4(1)10m/s(2)1×105N解析(1)汽車在凹形橋最低點時存在最大允許速度，由牛頓第二定律得：N－mg＝me