靈光一閃試題及答案高中

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(m\)的值為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.-\(\frac{1}{2}\)3.直線\(3x-4y+5=0\)與圓\(x^{2}+y^{2}=4\)的位置關系是（）A.相離B.相切C.相交且過圓心D.相交不過圓心4.設\(a=\log_{3}2\)，\(b=\log_{5}2\)，\(c=\log_{2}3\)，則（）A.\(a>c>b\)B.\(b>c>a\)C.\(c>b>a\)D.\(c>a>b\)5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.-\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.-\(\frac{3}{4}\)6.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)這\(5\)個數字中任取\(3\)個數字組成一個沒有重復數字的三位數，這個三位數是偶數的概率為（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)7.等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，若\(a_{3}=5\)，\(S_{5}=25\)，則\(a_{7}\)的值為（）A.9B.11C.13D.158.函數\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+1\)的單調遞減區間是（）A.\((0,2)\)B.\((-\infty,0)\)C.\((2,+\infty)\)D.\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)9.拋物線\(y^{2}=8x\)的焦點到準線的距離是（）A.1B.2C.4D.810.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，則\(z=3x-y\)的最大值為（）A.1B.3C.5D.7二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln(x^{2}+1)\)D.\(y=e^{x}\)2.一個正方體的表面展開圖如圖所示，則在原正方體中（）A.\(AB\)與\(CD\)平行B.\(AB\)與\(CD\)異面C.\(AB\)與\(CD\)相交D.\(AB\)與\(CD\)所成角為\(60^{\circ}\)3.已知函數\(f(x)=\sin(2x+\varphi)(0\lt\varphi\lt\pi)\)，若\(f(x)\)的圖象關于點\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱，則\(\varphi\)的值可以是（）A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{2\pi}{3}\)D.\(\frac{5\pi}{6}\)4.下列說法正確的是（）A.若\(a\gtb\)，則\(ac^{2}\gtbc^{2}\)B.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)C.若\(a\gtb\)，\(c\gt0\)，則\(ac\gtbc\)D.若\(a\gtb\)，\(c\lt0\)，則\(ac\ltbc\)5.已知\(\{a_{n}\}\)是等比數列，公比\(q\neq1\)，其前\(n\)項和為\(S_{n}\)，則下列說法正確的是（）A.\(S_{4}\)，\(S_{8}-S_{4}\)，\(S_{12}-S_{8}\)成等比數列B.\(S_{4}\)，\(S_{8}-S_{4}\)，\(S_{12}-S_{8}\)成等差數列C.\(a_{1}\)，\(a_{3}\)，\(a_{5}\)成等比數列D.\(a_{2}\)，\(a_{6}\)，\(a_{10}\)成等比數列6.已知直線\(l_{1}:ax+y-1=0\)，\(l_{2}:x+ay+1=0\)，則下列說法正確的是（）A.若\(l_{1}\parallell_{2}\)，則\(a=1\)或\(a=-1\)B.若\(l_{1}\perpl_{2}\)，則\(a=0\)C.當\(a=1\)時，\(l_{1}\)與\(l_{2}\)之間的距離為\(\sqrt{2}\)D.當\(a=1\)時，\(l_{1}\)與\(l_{2}\)關于直線\(x+y=0\)對稱7.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則下列說法正確的是（）A.\(xy\)的最大值為\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為\(4\)C.\(x^{2}+y^{2}\)的最小值為\(\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)的最大值為\(\sqrt{2}\)8.已知橢圓\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，點\(P\)在橢圓\(C\)上，\(\angleF_{1}PF_{2}=60^{\circ}\)，若\(\triangleF_{1}PF_{2}\)的面積為\(\sqrt{3}\)，則下列說法正確的是（）A.\(b=1\)B.\(a=2\)C.\(|PF_{1}|+|PF_{2}|=4\)D.橢圓\(C\)的離心率為\(\frac{1}{2}\)9.已知函數\(f(x)=2\cos^{2}x+\sqrt{3}\sin2x\)，則下列說法正確的是（）A.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)B.\(f(x)\)的圖象關于直線\(x=\frac{\pi}{6}\)對稱C.\(f(x)\)在\((0,\frac{\pi}{2})\)上單調遞增D.\(f(x)\)的值域為\([-1,3]\)10.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)是空間中的三條直線，下列說法正確的是（）A.若\(a\parallelb\)，\(b\parallelc\)，則\(a\parallelc\)B.若\(a\)與\(b\)相交，\(b\)與\(c\)相交，則\(a\)與\(c\)相交C.若\(a\)，\(b\)是異面直線，\(b\)，\(c\)是異面直線，則\(a\)，\(c\)是異面直線D.若\(a\perpb\)，\(b\perpc\)，則\(a\)與\(c\)可能平行三、判斷題（每題2分，共20分）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(z=a+bi(a,b\inR)\)，則當\(a=0\)時，\(z\)為純虛數。（）3.函數\(y=\tanx\)在其定義域內是增函數。（）4.若向量\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)。（）5.若\(a\gtb\gt0\)，\(c\ltd\lt0\)，則\(ac\ltbd\)。（）6.直線\(x=1\)的傾斜角為\(90^{\circ}\)。（）7.函數\(y=\cosx\)的圖象向右平移\(\frac{\pi}{2}\)個單位長度得到\(y=\sinx\)的圖象。（）8.若\(x\)，\(y\)滿足\(x^{2}+y^{2}=1\)，則\(x+y\)的最大值為\(\sqrt{2}\)。（）9.等比數列\(\{a_{n}\}\)的首項\(a_{1}=1\)，公比\(q=2\)，則\(a_{4}=8\)。（）10.若函數\(y=f(x)\)在區間\((a,b)\)內有\(f(a)\cdotf(b)\lt0\)，則\(y=f(x)\)在區間\((a,b)\)內一定有零點。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數\(y=\log_{2}(x^{2}-3x+2)\)的定義域。答案：要使函數有意義，則\(x^{2}-3x+2\gt0\)，即\((x-1)(x-2)\gt0\)，解得\(x\lt1\)或\(x\gt2\)，所以定義域為\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)。2.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，\(a_{3}=5\)，\(S_{5}=25\)，求\(\{a_{n}\}\)的通項公式。答案：設等差數列公差為\(d\)，由\(S_{5}=\frac{5(a_{1}+a_{5})}{2}=5a_{3}=25\)，得\(a_{3}=5\)。又\(a_{3}=a_{1}+2d=5\)，且\(S_{5}=25\)可推出\(a_{1}=1\)，則\(d=2\)，所以\(a_{n}=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)垂直的直線方程。答案：直線\(2x-y+1=0\)斜率為\(2\)，與其垂直的直線斜率\(k=-\frac{1}{2}\)。由點斜式可得所求直線方程為\(y-2=-\frac{1}{2}(x-1)\)，整理得\(x+2y-5=0\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\tan\alpha\)的值。答案：因為\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，根據\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\frac{4}{5}\)，則\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.在高中數學中，函數這一板塊非常重要，討論一下函數的單調性在解題中的應用。答案：函數單調性可用于比較函數值大小，如已知單調性和自變量大小關系可判斷函數值大小。還能求解不等式，將不等式轉化為函數值大小比較。在求函數最值中也常用，利用單調性確定函數在區間端點或極值點處取得最值。2.立體幾何中，如何培養空間想象能力來更好地解決問題？答案：可以通過觀察生活中的立體實物，增強對空間圖形的感性認識。多畫立體圖形，包括直觀圖和三視圖，在畫圖過程中理解圖形結構。做一些空間模型，動手操作感受空間關系，從而更好解決立體幾何問題。3.數列是高中數學的重要內容，說說數列通項公式的常見求法。答案：常見方法有觀察法，直接觀察數列規律得出通項。公式法，利用等差數列或等比數列通項公式。累加法適用于\(a_