/第12講 圖形思想課--相似三角形的判定知識梳理（一）相似三角形的概念對應角相等，對應邊之比相等的三角形叫做相似三角形．1、相似三角形是相似多邊形中的一種；2、應結合相似多邊形的性質來理解相似三角形；3、相似三角形應滿足形狀一樣，但大小可以不同；4、相似用“∽”表示，讀作“相似于”；5、相似三角形的對應邊之比叫做相似比，書寫對應邊的比時，一定要找準對應邊。（二）相似三角的判定方法1、如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．2、如果一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．3、如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似．（三）相似三角形基本類型1、平行線型：常見的有如下兩種，DE∥BC，則△ADE∽△ABC2、相交線型：常見的有如下四種情形（1）如圖，已知∠1=∠B，則由公共角∠A得，△ADE∽△ABC（2）如下左圖，已知∠1=∠B，則由公共角∠A得，△ADC∽△ACB（3）如下右圖，已知∠B=∠D，則由對頂角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC3、旋轉型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，下圖為常見的基本圖形．4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，則△CBD∽△ABC∽△ACD．5、斜交型：如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、“蝶型”）6、垂直型：有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型（也稱“射影定理型”\“三垂直型”）

01.三角形相似判定方法的運用01.三角形相似判定方法的運用例題精講 例題精講例1、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，則圖中相似三角形共有（）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對例2、如圖，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD?AC D．=例3、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中點，連接AE、AC．（1）點F是DC上一點，連接EF，交AC于點O（如圖1），求證：△AOE∽△COF；（2）若點F是DC的中點，連接BD，交AE與點G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．

例4、如圖，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC邊上截取AD=BC，連接BD．（1）通過計算，判斷AD2與AC?CD的大小關系；（2）求∠ABD的度數．02.網格圖中相似三角形的判定02.網格圖中相似三角形的判定例題精講 例題精講例1、下列四個三角形中，與圖中的三角形相似的是（）A． B．C．D．例2、在研究相似問題時，甲、乙同學的觀點如下：甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似．對于兩人的觀點，下列說法正確的是（）兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對

例3、如圖，方格紙中每個小正方形的邊長為1，△ABC和△DEF的頂點都在方格紙的格點上．（1）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF邊上的7個格點，請在這7個格點中選取3個點作為三角形的頂點，使構成的三角形與△ABC相似（要求寫出2個符合條件的三角形，并在圖中連接相應線段，不必說明理由）03.動態幾何探究03.動態幾何探究例題精講 例題精講例1、如圖，點A，B，C，D的坐標分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，則點E的坐標不可能是（）A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/秒的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/秒的速度移動，如果P、Q同時出發，用t（秒）表示運動時間（0≤t≤6），那么當t為何值時，△APQ與△ABD相似？說明理由．

舉一反三 舉一反三1、下列命題中，是真命題的為（）A．銳角三角形都相似 B．直角三角形都相似C．等腰三角形都相似D．等邊三角形都相似2、如圖，平行四邊形ABCD中，過點B的直線與對角線AC、邊AD分別交于點E和F．過點E作EG∥BC，交AB于G，則圖中相似三角形有（）A．4對 B．5對 C．6對 D．7對 第2題圖 第3題圖 第4題圖3、如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MD交AC于點D、交AB于點M．下列結論：①BD是∠ABC的平分線；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD．正確的有（）個．A．4 B．3 C．2 D．14、如圖，在平面直角坐標系中，A（0，4），B（2，0），點C在第一象限，若以A、B、C為頂點的三角形與△AOB相似（不包括全等），則點C的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．45、如圖，點C是線段AB上一點，△ACD和△BCE都是等邊三角形，連結AE，BD，設AE交CD于點F．（1）求證：△ACE≌△DCB；（2）求證：△ADF∽△BAD．

6、如圖：已知AB⊥DB于B點，CD⊥DB于D點，AB=6，CD=4，BD=14，在DB上取一點P，使以CDP為頂點的三角形與以PBA為頂點的三角形相似，則DP的長．課后鞏固 課后鞏固1、下列命題中，真命題是（）①同旁內角互補，兩直線平行．②三角形任意兩邊之和不小于第三邊；③兩條對角線平分的四邊形是平行四邊形；④兩邊及其中一角對應相等的兩個三角形全等；⑤兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．A．①③⑤ B．①④⑤ C．②③④ D．①②③④⑤2、如圖，ABCD是正方形，E是CD的中點，P是BC邊上的一點，下列條件中，不能推出△ABP與△ECP相似的是（）∠APB＝∠EPCB.∠APE＝90°C.P是BC的中點D.BP︰BC＝2︰3 第2題圖 第3題圖 第4題圖3、如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點，連接BE、AF，他們相交于G，延長BE交CD的延長線于點H，則圖中的相似三角形共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對4、下列4×4的正方形網格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網格圖形是（）A． B． C． D．5、如圖，在正五邊形ABCDE中，對角線AD，AC與EB分別相交于點M，N．下列結論錯誤的是（）A．四邊形EDCN是菱形 B．四邊形MNCD是等腰梯形C．△AEM與△CBN相似 D．△AEN與△EDM全等第5題圖 第6題圖6、如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論中正確的個數有（）①∠EAF=45°；②△ABE∽△ACD；③AE平分∠CAF；④BE2+DC2=DE2．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7、如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE=ED，DF=DC，連接EF并延長交BC的延長線于點G．（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．

直擊中考 直擊中考1、如圖，點P是?ABCD邊AB上的一點，射線CP交DA的延長線于點E，則圖中相似的三角形有（）A．0對 B．1對 C．2對 D．3對 第1題圖 第2題圖 第3題圖2、如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A．B． C．D．3、如圖，M是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一定點，過M點作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線共有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條/

第12講圖形思想課--相似三角形的判定知識梳理（一）相似三角形的概念對應角相等，對應邊之比相等的三角形叫做相似三角形．1、相似三角形是相似多邊形中的一種；2、應結合相似多邊形的性質來理解相似三角形；3、相似三角形應滿足形狀一樣，但大小可以不同；4、相似用“∽”表示，讀作“相似于”；5、相似三角形的對應邊之比叫做相似比，書寫對應邊的比時，一定要找準對應邊。（二）相似三角的判定方法1、如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．2、如果一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．3、如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似．（三）相似三角形基本類型1、平行線型：常見的有如下兩種，DE∥BC，則△ADE∽△ABC2、相交線型：常見的有如下四種情形（1）如圖，已知∠1=∠B，則由公共角∠A得，△ADE∽△ABC（2）如下左圖，已知∠1=∠B，則由公共角∠A得，△ADC∽△ACB（3）如下右圖，已知∠B=∠D，則由對頂角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC3、旋轉型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，下圖為常見的基本圖形．4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，則△CBD∽△ABC∽△ACD．5、斜交型：如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、“蝶型”）6、垂直型：有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型（也稱“射影定理型”）”“三垂直型”） 01.三角形相似判定方法的運用01.三角形相似判定方法的運用例題精講 例題精講例1、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，則圖中相似三角形共有（）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【解析】C△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD，所以有三對相似三角形．例2、如圖，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD?AC D．=【解析】D．根據有兩個角對應相等的三角形相似，以及根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，分別判斷得出即可．例3、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中點，連接AE、AC．（1）點F是DC上一點，連接EF，交AC于點O（如圖1），求證：△AOE∽△COF；（2）若點F是DC的中點，連接BD，交AE與點G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．【解析】（1）由點E是BC的中點，BC=2AD，可證得四邊形AECD為平行四邊形，即可得△AOE∽△COF；（2）連接DE，易得四邊形ABED是平行四邊形，又由∠ABE=90°，可證得四邊形ABED是矩形，根據矩形的性質，易證得EF=GD=GE=DF，則可得四邊形EFDG是菱形．例4、如圖，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC邊上截取AD=BC，連接BD．（1）通過計算，判斷AD2與AC?CD的大小關系；（2）求∠ABD的度數．【解析】（1）（1）先求得AD、CD的長，然后再計算出AD2與AC?CD的值，從而可得到AD2與AC?CD的關系；（2）∵AD=BC，AD2=AC?CD，∴BC2=AC?CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．設∠A=x，則∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．本題主要考查的是相似三角形的性質和判定、等腰三角形的性質、三角形內角和定理的應用．02.網格圖中相似三角形的判定02.網格圖中相似三角形的判定例題精講 例題精講例1、下列四個三角形中，與圖中的三角形相似的是（）A． B．C．D．【解析】B.此題考查三邊對應成比例，兩三角形相似判定定理的應用．例2、在研究相似問題時，甲、乙同學的觀點如下：甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似．對于兩人的觀點，下列說法正確的是（）A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對【解析】A．例3、如圖，方格紙中每個小正方形的邊長為1，△ABC和△DEF的頂點都在方格紙的格點上．（1）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF邊上的7個格點，請在這7個格點中選取3個點作為三角形的頂點，使構成的三角形與△ABC相似（要求寫出2個符合條件的三角形，并在圖中連接相應線段，不必說明理由）【解析】（1）首先根據小正方形的邊長，求出△ABC和△DEF的三邊長，然后判斷它們是否對應成比例.（2）答案不唯一，下面6個三角形中的任意2個均可；△DP2P5，△P5P4F，△DP2P4，△P5P4D，△P4P5P2，△FDP1．03.動態幾何探究03.動態幾何探究例題精講 例題精講例1、如圖，點A，B，C，D的坐標分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，則點E的坐標不可能是（）A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）【解析】B．例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/秒的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/秒的速度移動，如果P、Q同時出發，用t（秒）表示運動時間（0≤t≤6），那么當t為何值時，△APQ與△ABD相似？說明理由．【解析】由題意可設AP=2tcm，DQ=tcm，又由AB=12cm，AD=6cm，即可求得AQ的值，①當=時，△APQ∽△ABD，∴=，解得：t=3；②當=時，△APQ∽△ADB，∴=，解得：t=1.2．∴當t=3或1.2時，△APQ與△ABD相似．舉一反三 舉一反三1、下列命題中，是真命題的為（）A．銳角三角形都相似 B．直角三角形都相似C．等腰三角形都相似D．等邊三角形都相似【解析】D．2、如圖，平行四邊形ABCD中，過點B的直線與對角線AC、邊AD分別交于點E和F．過點E作EG∥BC，交AB于G，則圖中相似三角形有（）A．4對 B．5對 C．6對 D．7對【解析】圖中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5對．4、如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MD交AC于點D、交AB于點M．下列結論：①BD是∠ABC的平分線；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD．正確的有（）個．A．4 B．3 C．2 D．1【解析】B．①②③正確；④錯誤．首先由AB的中垂線MD交AC于點D、交AB于點M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度數，又由AB=AC，即可求得∠ABC與∠C的度數，則可求得所有角的度數，可得△BCD也是等腰三角形，則可證得△ABC∽△BCD．此題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，以及相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，但難度不大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．5、如圖，在平面直角坐標系中，A（0，4），B（2，0），點C在第一象限，若以A、B、C為頂點的三角形與△AOB相似（不包括全等），則點C的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】D．如圖①，∠OAB=∠BAC1，∠AOB=∠ABC1時，△AOB∽△ABC1．如圖②，AO∥BC，BA⊥AC2，則∠ABC2=∠OAB，故△AOB∽△BAC2；如圖③，AC3∥OB，∠ABC3=90°，則∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△C3BA；如圖④，∠AOB=∠BAC4=90°，∠ABO=∠ABC4，則△AOB∽△C4AB．6、如圖，點C是線段AB上一點，△ACD和△BCE都是等邊三角形，連結AE，BD，設AE交CD于點F．（1）求證：△ACE≌△DCB；（2）求證：△ADF∽△BAD．【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質．有兩組邊對應相等，并且它們所夾的角也相等，那么這兩個三角形全等；有兩組角分別相等，且其中一組角所對的邊對應相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應邊相等，對應角相等．7、如圖：已知AB⊥DB于B點，CD⊥DB于D點，AB=6，CD=4，BD=14，在DB上取一點P，使以CDP為頂點的三角形與以PBA為頂點的三角形相似，則DP的長．【解析】根據已知可以分△PDC∽△ABP或△PCD∽△PAB兩種情況進行分析．∵AB⊥DB，CD⊥DB∴∠D=∠B=90°，設DP=x，當PD：AB=CD：PB時，△PDC∽△ABP，∴=，解得DP=2或12，當PD：PB=CD：AB時，△PCD∽△PAB，∴=，解得DP=5.6∴DP=5.6或2或12．課后鞏固 課后鞏固1、下列命題中，真命題是（）①同旁內角互補，兩直線平行．②三角形任意兩邊之和不小于第三邊；③兩條對角線平分的四邊形是平行四邊形；④兩邊及其中一角對應相等的兩個三角形全等；⑤兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．A．①③⑤ B．①④⑤ C．②③④ D．①②③④⑤【解析】A．2、如右圖，ABCD是正方形，E是CD的中點，P是BC邊上的一點，下列條件中，不能推出△ABP與△ECP相似的是（）∠APB＝∠EPCB.∠APE＝90°C.P是BC的中點D.BP︰BC＝2︰3【解析】C4、如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點，連接BE、AF，他們相交于G，延長BE交CD的延長線于點H，則圖中的相似三角形共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【解析】△AGB∽△FGH，△HED∽△HBC，△HED∽△BEA，△AEB∽△HBC，共4對．故選C．5、下列4×4的正方形網格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網格圖形是（）A． B． C． D．【解析】B．6、如圖，在正五邊形ABCDE中，對角線AD，AC與EB分別相交于點M，N．下列結論錯誤的是（）A．四邊形EDCN是菱形 B．四邊形MNCD是等腰梯形C．△AEM與△CBN相似 D．△AEN與△EDM全等【解析】D．首先由正五邊形的性質可得AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證得A正確，根據等腰梯形的判定方法即可證得B正確，利用SSS即可判定D正確，利用排除法即可求得答案．7、如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到