/重難點(diǎn)06兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型1.識別幾何模型。2.利用“兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形”模型解決問題分類討論:若AB=AC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)A為圓心,線段AB的長為半徑的圓上;若BA=BC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心,線段AB的長為半徑的圓上;若CA=CB,則點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡稱“兩圓一中垂”“兩圓一中垂”上的點(diǎn)能構(gòu)成等腰三角形,但是要除去原有的點(diǎn)A,B,還要除去因共線無法構(gòu)成三角形的點(diǎn)MN以及線段AB中點(diǎn)E(共除去5個點(diǎn))需要注意細(xì)節(jié)一．選擇題（共5小題）1．（2021?無棣縣二模）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2），若點(diǎn)P在x軸上，且△APO是等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能是（）A．（2，0） B．（4，0） C．（﹣，0） D．（3，0）2．（2022?建湖縣一模）如圖，每個小方格的邊長為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，并且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022?青島二模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），M為x軸上一點(diǎn)，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)M的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2020?武漢模擬）平面直角坐標(biāo)系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．75．（2020?龍崗區(qū)模擬）平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，2）、B（3，0）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8二．解答題（共1小題）6．（2022?開州區(qū)模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，D是BC的中點(diǎn)，E為AC邊上任意一點(diǎn)，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF，交AB于點(diǎn)G．（1）如圖1，若AB＝6，AE＝，求ED的長；（2）如圖2，點(diǎn)G恰好是EF的中點(diǎn)，連接BF，求證：CD＝BF；（3）如圖3，若AB＝4，連接CF，當(dāng)CF+BF取得最小值時．請直接寫出S△CEF的值．一．選擇題（共5小題）1．已知直線y＝﹣x+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在拋物線y＝﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個數(shù)有（）A．8個 B．4個 C．5個 D．6個2．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)有（）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，3），B（0，5），若在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)C有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個4．平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．85．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個二．填空題（共1小題）6．如圖，已知點(diǎn)A（1，2）是反比例函數(shù)y＝圖象上的一點(diǎn)，連接AO并延長交雙曲線的另一分支于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)；若△PAB是等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．

重難點(diǎn)06兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型1.識別幾何模型。2.利用“兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形”模型解決問題分類討論:若AB=AC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)A為圓心,線段AB的長為半徑的圓上;若BA=BC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心,線段AB的長為半徑的圓上;若CA=CB,則點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡稱“兩圓一中垂”“兩圓一中垂”上的點(diǎn)能構(gòu)成等腰三角形,但是要除去原有的點(diǎn)A,B,還要除去因共線無法構(gòu)成三角形的點(diǎn)MN以及線段AB中點(diǎn)E(共除去5個點(diǎn))需要注意細(xì)節(jié)一．選擇題（共5小題）1．（2021?無棣縣二模）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2），若點(diǎn)P在x軸上，且△APO是等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能是（）A．（2，0） B．（4，0） C．（﹣，0） D．（3，0）【分析】先根據(jù)勾股定理求出OA的長，再根據(jù)①AP＝PO；②AO＝AP；③AO＝OP分別算出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2），根據(jù)勾股定理可得：OA＝2，①若AP＝PO，可得：P（2，0），②若AO＝AP可得：P（4，0），③若AO＝OP，可得：P（2，0）或（﹣2，0），∴P（2，0），（4，0），（﹣2，0），故點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能是：（3，0）．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定：有兩邊相等的三角形是等腰三角形，再分情況討論．2．（2022?建湖縣一模）如圖，每個小方格的邊長為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，并且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)“兩圓一線”畫圖找點(diǎn)即可．【解答】解：如圖，C點(diǎn)與P、Q、R重合時，均滿足△ABC是等腰三角形，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查“兩圓一線”構(gòu)造等腰三角形的方法，熟練使用兩圓一線的方法是解題關(guān)鍵．3．（2022?青島二模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），M為x軸上一點(diǎn)，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)M的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分別以O(shè)、A為圓心，以O(shè)A長為半徑作圓，與x軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M，再作線段OA的垂直平分線，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也是所求的點(diǎn)M，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解即可．【解答】解：如圖，滿足條件的點(diǎn)M的個數(shù)為2．故選B．【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．4．（2020?武漢模擬）平面直角坐標(biāo)系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．7【分析】由于沒有說明△ABC的腰長，故需要分三種情況進(jìn)行討論，分別是AB＝AC，AB＝BC，AC＝BC，【解答】解：當(dāng)AC＝CB時，作AB的垂直平分線，交x軸于C1，交y軸于點(diǎn)C2當(dāng)AB＝AC時，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓A，交y軸于C3，交x軸于C4、C5，當(dāng)AB＝BC時，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓B，交y軸于點(diǎn)C6、C7故選：D．【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分三種情況進(jìn)行討論，本題屬于中等題型．5．（2020?龍崗區(qū)模擬）平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，2）、B（3，0）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得到AB＝2，然后分類討論：若AC＝AB；若BC＝AB；若CA＝CB，確定C點(diǎn)的個數(shù)．【解答】解：∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，2）、B（3，0）．∴AB＝2，①若AC＝AB，以A為圓心，AB為半徑畫弧與坐標(biāo)軸有3個交點(diǎn)（B點(diǎn)除外），即（﹣1，0）、（0，2+）、（0，2﹣），即滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有3個；②若BC＝AB，以B為圓心，BA為半徑畫弧與坐標(biāo)軸有2個交點(diǎn)，即滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有2個；③若CA＝CB，作AB的垂直平分線與坐標(biāo)軸有2個交點(diǎn)，即滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有2個．綜上所述：點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，△ABC是等腰三角形，符合條件的點(diǎn)C共有7個．故選：C．【點(diǎn)評】本題主考查了等腰三角形的判定以及分類討論思想的運(yùn)用，分三種情況分別討論，注意等腰三角形頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上．二．解答題（共1小題）6．（2022?開州區(qū)模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，D是BC的中點(diǎn)，E為AC邊上任意一點(diǎn)，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF，交AB于點(diǎn)G．（1）如圖1，若AB＝6，AE＝，求ED的長；（2）如圖2，點(diǎn)G恰好是EF的中點(diǎn)，連接BF，求證：CD＝BF；（3）如圖3，若AB＝4，連接CF，當(dāng)CF+BF取得最小值時．請直接寫出S△CEF的值．【分析】（1）過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，得∠CHE＝90°，在等腰直角三角形ABC中，求出BC＝6，AC＝，再證明△CHE也是等腰直角三角形，最后在Rt△DHE中，求出DE即可；（2）過點(diǎn)E作EM∥BF于AB交點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥BC交AC于N，得出△CDN為等腰直角三角形，再證明△BFD≌NED（SAS），△EMG≌△FBG（AAS），最后在等腰Rt△CDN中，求出CD與BF關(guān)系；（3）如圖3﹣1中，取AC的中點(diǎn)T，連接DT，BT，則△BDT是等腰直角三角形．首先證明點(diǎn)F在直線BT上運(yùn)動，如圖3﹣2中，取AT的中點(diǎn)Q，連接BQ，作FH⊥BQ于點(diǎn)H，CJ⊥BQ于點(diǎn)J，交BT于點(diǎn)R．再證明當(dāng)點(diǎn)F與R重合時，CF+BF的值最小，即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，∴∠CHE＝90°，在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝6，∴BC＝6，AC＝，∵D為BC中點(diǎn)，∴CD＝BC，∵AE＝，∴CE＝AC﹣CE＝，∵∠C＝45°，∴△CHE也是等腰直角三角形，∴CH＝EH＝5，∴HD＝CH﹣CD＝2，∴在Rt△DHE中，DE＝＝．（2）如圖，過點(diǎn)E作EM∥BF于AB交點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥BC交AC于N，∴△CDN為等腰直角三角形，∴CD＝ND，∵BD＝CD，∴BD＝DN，∵∠5+∠BDE＝∠6+∠BDE，∴∠5＝∠6，在△BFD和△NED中，，∴△BFD≌NED（SAS），∴BF＝EN，∠3＝∠4，在．△EMG和△FBG中，，∴△EMG≌△FBG（AAS），∴ME＝BF，∴ME＝EN，∵∠2+∠3＝45°，∴∠1+∠4＝45°，∴∠MEN＝∠1+∠4+∠FED＝90°，∴∠AEM＝90°，∴△AEM是等腰直角三角形，∴AE＝ME＝BF＝EN，∴BF＝AN，∵DN∥BC，D是BC的中點(diǎn)，∴CN＝AN，∴BF＝CN，又∵在等腰Rt△CDN中，CD＝CN，∴CD＝BF．（3）如圖3﹣1中，取AC的中點(diǎn)T，連接DT，BT，則△BDT是等腰直角三角形．∵∠EDF＝∠TDB＝90°，∴∠BDF＝∠TDE，∵DB＝DT，DF＝DE，∴△BDF≌△TDE（SAS），∴∠DBF＝∠DTE＝135°，∵∠DBT＝135°，∴F，B，T共線，∴點(diǎn)F在直線BT上運(yùn)動，如圖3﹣2中，取AT的中點(diǎn)Q，連接BQ，作FH⊥BQ于點(diǎn)H，CJ⊥BQ于點(diǎn)J，交BT于點(diǎn)R．∵tan∠FBH＝＝＝，∴FH＝BF，∴CF+BF＝CF+FH≤CJ，∴當(dāng)點(diǎn)F與R重合時，CF+BF的值最小，∵∠BTQ＝∠CTR＝90°，BT＝CT，∠QBT＝∠RCT，∴△BTQ≌△CTR（ASA），∴TR＝QT，∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝AB＝8，∴AT＝CT＝BT＝4，QT＝RT＝2，∴BF＝TE＝2，∴S△CEF＝?CE?FT＝×2×2＝2．【點(diǎn)評】本題考查了幾何變換的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，能判定出全等三角形，解直角等腰三角形．一．選擇題（共5小題）1．已知直線y＝﹣x+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在拋物線y＝﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個數(shù)有（）A．8個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】分三種情況考慮：①以點(diǎn)B為圓心，AB長度為半徑作圓可找出兩個點(diǎn)P；②以點(diǎn)A為圓心，AB長度為半徑作圓可找出四個點(diǎn)P；③作線段AB的垂直平分線可找出兩個點(diǎn)P．綜上即可得出結(jié)論．【解答】解：分三種情況考慮：①以點(diǎn)B為圓心，AB長度為半徑作圓，交拋物線于點(diǎn)P1、P2；②以點(diǎn)A為圓心，AB長度為半徑作圓，交拋物線于點(diǎn)P3、P4、P5、P6；③作線段AB的垂直平分線，交拋物線于點(diǎn)P7、P8．綜上所述：能使△ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個數(shù)為8個．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等腰三角形的判定，依照題意畫出圖形，利用數(shù)形解決問題是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)有（）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個【分析】本題是開放性試題，根據(jù)題意，畫出圖形結(jié)合求解．【解答】解：第1個點(diǎn)在AC上，作線段AB的垂直平分線，交AC于點(diǎn)P，則有PA＝PB；第2個點(diǎn)是以A為圓心，以AB長為半徑截取AP＝AB，交AC延長線上于點(diǎn)P；第3個點(diǎn)是以A為圓心，以AB長為半徑截取AP＝AB，在上邊于CA延長線上交于點(diǎn)P；第4個點(diǎn)是以B為圓心，以BA長為半徑截取BP＝BA，與AC的延長線交于點(diǎn)P；第5個點(diǎn)是以B為圓心，以BA長為半徑截取BP＝BA，與BC在左邊交于點(diǎn)P；第6個點(diǎn)是以A為圓心，以AB長為半徑截取AP＝AB，與BC在右邊交于點(diǎn)P；∴符合條件的點(diǎn)P有6個點(diǎn)．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定來解決實(shí)際問題，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，再利用數(shù)學(xué)知識來求解．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，3），B（0，5），若在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)C有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【分析】本題是開放性試題，由題意知A、B是定點(diǎn)，C是動點(diǎn)，所以要分情況討論：以AC、AB為腰、以AC、BC為腰或以BC、AB為腰．則滿足條件的點(diǎn)C可求．【解答】解：由題意可知：以AC、AB為腰的三角形有3個；以AC、BC為腰的三角形有2個；以BC、AB為腰的三角形有2個．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；分類別尋找是正確解答本題的關(guān)鍵．4．平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得到AB＝2，然后分類討論：若AC＝AB；若BC＝AB；若CA＝CB，確定C點(diǎn)的個數(shù)．【解答】解：∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，2）、B（4，0）．∴AB＝2，①若AC＝AB，以A為圓心，AB為半徑畫弧與坐標(biāo)軸有3個交點(diǎn)（含B點(diǎn)），即（0，0）、（4，0）、（0，4），∵點(diǎn)（0，4）與直線AB共線，∴滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有1個；②若BC＝AB，以B為圓心，BA為半徑畫弧與坐標(biāo)軸有2個交點(diǎn)（A點(diǎn)除外），即滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有2個；③若CA＝CB，作AB的垂直平分線與坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn)，即滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有2個；綜上所述：點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，△ABC是等腰三角形，符合條件的點(diǎn)C共有5個．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定，也考查了通過坐標(biāo)確定圖形的性質(zhì)以及分類討論思想的運(yùn)用．5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡稱：在同一三角形中，等邊對等角）”分三種情況解答即可．【解答】解：如圖，①AB的垂直平分線交AC一點(diǎn)P1（PA＝PB），交直線BC于點(diǎn)P2；②以A為圓心，AB為半徑畫圓，交A