/第02講根的判別式、根與系數關系【學習目標】1.探索一元二次方程的根與系數的關系.（重點）2.不解方程利用一元二次方程的根與系數的關系解決問題.（難點）【基礎知識】一．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．二．根與系數的關系（1）若二次項系數為1，常用以下關系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數確定根的相關問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數．（2）若二次項系數不為1，則常用以下關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2，x1x2=ca，反過來也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根與系數的關系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數．③不解方程求關于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數的關系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．【考點剖析】一．根的判別式（共4小題）1．（2022?東坡區校級模擬）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．不能確定2．（2022?興化市模擬）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），當a+b+c＝0時，方程有兩個相等的實數根，則下列結論正確的是（）A．b＝c≠a B．a＝b≠c C．a＝c≠b D．a＝b＝c3．（2022?南京一模）若關于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有兩個相等的實數根，則c的最小值是．4．（2022?邗江區校級開學）已知關于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．（1）求證：無論k取何值，方程總有實數根；（2）若等腰三角形的底邊長3，另兩邊長恰好是這個方程的兩根，求此三角形的周長．二．根與系數的關系（共6小題）5．（2021秋?泰興市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的兩個根為x1、x2，則x1+x2的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．56．（2022?工業園區校級模擬）已知關于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一個根為2，則另一個根是．7．（2021秋?鼓樓區期末）已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常數，a≠0）的兩個實數根分別為x1，x2，證明：x1+x2，x1?x2．8．（2021秋?東臺市期末）已知關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有實數根，求實數m的取值范圍；（2）當該方程的一個根為﹣1時，求m的值及方程的另一根．9．（2021秋?南關區校級期末）已知關于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求證：不論k取何實數，該方程總有兩個不相等的實數根；（2）若該方程的一個根為2，求它的另一個根．10．（2022春?宜秀區校級月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據“差根方程”的定義，解決下列問題：（1）通過計算，判斷下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；（2）已知關于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若關于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數，a＞0）是“差根方程”，請探索a與b之間的數量關系式．三．一元二次方程的整數根與有理根（共3小題）11．小明到商場購買某個牌子的鉛筆x支，用了y元（y為整數）．后來他又去商場時，發現這種牌子的鉛筆降價20%，于是他比上一次多買了10支鉛筆，用了4元錢，那么小明兩次共買了鉛筆支．12．若關于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7＝0的根是正整數，則整數r的值可以是．13．（2020?儀征市一模）定義：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數）的根均為整數，稱該方程為“全整方程”，規定T（a，b，c）為該“全整方程”的“全整數”．（1）判斷方程x2x﹣1＝0是否為“全整方程”，若是，求出該方程的“全整數”，若不是，請說明理由；（2）若關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m為整數，且滿足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整數”．【過關檢測】一．選擇題（共5小題）1．（2019秋?蘇州期末）關于x的一元二次方程ax2﹣2ax﹣b＝0有一個實數根x＝1，則下面關于該方程根的判別式△的說法正確的是（）A．Δ＞0 B．Δ＝0 C．Δ＜0 D．無法確定2．（2021秋?儀征市期末）關于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有兩個不相等實數根，則整數a最大是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣13．（2021秋?寶應縣期末）方程x2﹣x＝﹣2的根的情況為（）A．沒有實數根 B．只有一個實數根 C．有兩個相等的實數根 D．有兩個不相等的實數根4．（2021秋?儀征市期末）已知方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，則下列式子中一定正確的是（）A．m＜b＜n＜c B．b＜m＜n＜c C．m＜n＜b＜c D．m＜b＜c＜n5．（2020?南通模擬）已知數m滿足6＜m＜20，如果關于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（）A．11 B．12 C．m有無數個解 D．13二．填空題（共10小題）6．（2019?京口區校級開學）已知關于x的方程x2+px+q＝0的兩根為﹣4和﹣1，則p＝，q＝．7．（2022?秦淮區一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，則x+y﹣2xy的值是．8．（2022?鼓樓區一模）已知關于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，則m+n＝．9．（2021秋?東西湖區期中）設x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩實數根，則x1+x2的值為．10．（2021?棲霞區開學）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩個實數根，則x1+x2﹣x1x2＝．11．（2020秋?姜堰區期中）若關于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一個正整數解，則正整數a＝．12．（2022春?崇川區校級月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的兩個根，則（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝．13．（2022?海安市模擬）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩實根是x1，x2，則x1+x2﹣x1?x2的值是．14．（2021?棲霞區二模）已知關于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整數；若k為整數，則k的值為．15．（2020春?崇川區校級月考）使得關于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0與x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整數的整數m值是．三．解答題（共9小題）16．（2020春?張家港市期末）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數根，第三邊BC的長為5，當△ABC是直角三角形時，求k的值．17．（2021秋?沭陽縣期末）關于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求證：方程總有兩個實數根；（2）若方程有一根小于2，求k的取值范圍．18．（2021秋?鼓樓區校級月考）已知關于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0（1）求證：無論m取任何實數，方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程的兩個實數根x1，x2滿足x1﹣x2＝2，求m的值．19．（2021秋?海州區校級期中）已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．（1）求證：不論m為何值，該方程總有兩個實數根；（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根．20．（2021秋?梁溪區校級期中）已知關于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．（1）求證：不論a取何實數，該方程都有兩個實數根；（2）若該方程的一個根為2，求a的值及該方程的另一根．21．（2021秋?阜寧縣期末）定義新運算：對于任意實數m，n都有m★n＝m2n+n，等式右邊是常用的加法、減法、乘法及乘方運算．例如：﹣3★2＝（﹣3）2×2+2＝20．根據以上知識解決問題：（1）若（x+1）★3＝15，求x的值．（2）若2★a的值小于0，請判斷關于x的方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情況．22．（2021秋?大豐區期末）已知關于x的一元二次方程：x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0．（1）當k＝2時，求方程的根；（2）求證：這個方程總有兩個不相等的實數根．23．（2021春?東臺市月考）已知關于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有實數根．（1）求證：方程總有兩個實數根；（2）若x1+x2﹣3x1x2＝2，求k的值．24．（2021秋?東海縣期中）如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，那么稱這樣的方程為“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩個根是2和4，則方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．請解決下列問題：（1）若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，則c＝；（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代數式的值．

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第02講根的判別式、根與系數關系【學習目標】1.探索一元二次方程的根與系數的關系.（重點）2.不解方程利用一元二次方程的根與系數的關系解決問題.（難點）【基礎知識】一．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．二．根與系數的關系（1）若二次項系數為1，常用以下關系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數確定根的相關問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數．（2）若二次項系數不為1，則常用以下關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2，x1x2，反過來也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根與系數的關系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數．③不解方程求關于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數的關系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．【考點剖析】一．根的判別式（共4小題）1．（2022?東坡區校級模擬）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．不能確定【分析】根據根的判別式公式，求該方程的判別式，根據結果的正負情況即可得到答案．【解答】解：根據題意得：Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣1）＝49+8＝57＞0，即該方程有兩個不相等的實數根，故選：A．【點評】本題考查了根的判別式，正確掌握根的判別式公式是解題的關鍵．2．（2022?興化市模擬）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），當a+b+c＝0時，方程有兩個相等的實數根，則下列結論正確的是（）A．b＝c≠a B．a＝b≠c C．a＝c≠b D．a＝b＝c【分析】利用根的判別式的意義得到Δ＝b2﹣4ac＝0，再把b＝﹣（a+c）代入得到（a+c）2﹣4ac＝0，所以a＝c，b＝﹣2a，由于a≠0，則a≠b，從而可對各選項進行判斷．【解答】解：∵方程有兩個相等的實數根，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，∵a+b+c＝0，即b＝﹣（a+c），∴（a+c）2﹣4ac＝0，∴（a﹣c）2＝0，∴a﹣c＝0，即a＝c，∴b＝﹣2a，而a≠0，∴a≠b．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．3．（2022?南京一模）若關于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有兩個相等的實數根，則c的最小值是．【分析】由方程有兩個相等的實數根可得出Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，解之即可得出結論．【解答】解：∵方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，∴（m﹣2）2，∵（m﹣2）2≥0，∴0，∴c的最小值是．故答案為：．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根”是解題的關鍵．4．（2022?邗江區校級開學）已知關于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．（1）求證：無論k取何值，方程總有實數根；（2）若等腰三角形的底邊長3，另兩邊長恰好是這個方程的兩根，求此三角形的周長．【分析】（1）通過計算Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣1）2，由偶次方的非負性可證明結論；（2）由等腰三角形的性質可得該方程由兩個相等的實數根，結合根的判別式可求解k值，再將k值代入方程，得到x2﹣4x+4＝0，解方程求出兩腰的長為2，又已知底邊是3，則根據三角形的周長公式即可求解．【解答】（1）證明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4?（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴無論k取何值，方程總有實數根；（2）解：∵等腰三角形的底邊長3，∴另兩邊長即為等腰三角形的腰長，∵另兩邊長恰好是這個方程的兩根，∴該方程有兩個相等的實數根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4?（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2＝0，解得k＝1，將k＝1代入方程，得x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2．此時△ABC三邊為3，2，2；所以周長為3+2+2＝7．【點評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式及三角形的周長，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數根；（3）Δ＜0?方程沒有實數根．二．根與系數的關系（共6小題）5．（2021秋?泰興市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的兩個根為x1、x2，則x1+x2的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5【分析】根據根與系數的關系x1+x2代入計算可得．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的兩個根，∴x1+x22，故選：B．【點評】本題主要考查根與系數的關系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2，x1x2．6．（2022?工業園區校級模擬）已知關于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一個根為2，則另一個根是﹣4．【分析】設另一個根為a，利用根與系數的關系求出a的值即可．【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一個根為2，另一個根為a，∴2+a＝﹣2，解得：a＝﹣4，則另一根是﹣4．故答案為：﹣4．【點評】此題考查了根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解本題的關鍵．7．（2021秋?鼓樓區期末）已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常數，a≠0）的兩個實數根分別為x1，x2，證明：x1+x2，x1?x2．【分析】利用求根公式表示出方程的兩個根，進而求出兩根之和與兩根之積，即可即可得證．【解答】證明：∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常數，a≠0）的兩個實數根分別為x1，x2，∴當b2﹣4ac≥0時，x1，x2，則x1+x2，x1?x2?．【點評】此題考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根是x1，x2，則有x1+x2，x1?x2．8．（2021秋?東臺市期末）已知關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有實數根，求實數m的取值范圍；（2）當該方程的一個根為﹣1時，求m的值及方程的另一根．【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式Δ≥0，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出實數m的取值范圍；（2）將x＝﹣1代入原方程可求出m的值，進而可得出原方程為x2﹣4x﹣5＝0，設另一根為x1，利用根與系數的關系可得出關于x1的方程，解之即可求出x1的值．【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有實數根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×m≥0，解得：m≤4，∴實數m的取值范圍為m≤4．（2）把x＝﹣1代入原方程得：（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m＝0，解得：m＝﹣5，∴原方程為x2﹣4x﹣5＝0．設另一根為x1，則x1+（﹣1）＝4，∴x1＝5，∴m的值為﹣5，方程的另一根為5．【點評】本題考查了根與系數的關系、根的判別式以及一元二次方程的解，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ≥0時，方程有兩個實數根”；（2）牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”．9．（2021秋?南關區校級期末）已知關于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求證：不論k取何實數，該方程總有兩個不相等的實數根；（2）若該方程的一個根為2，求它的另一個根．【分析】（1）首先計算△，再根據非負數的性質可判斷出Δ＞0，進而得到結論；（2）根據根與系數的關系即可即可得到結論．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝k，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝k2+8，∵不論k取何實數，k2≥0，∴k2+8＞0，即b2﹣4ac＞0，∴不論k取何實數，該方程總有兩個不相等的實數根；（2）設方程的另一個根為β，∴2β＝﹣2，∴β＝﹣1，∴另一個根為﹣1．【點評】此題主要考查了根的判別式，以及根與系數的關系，關鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數根；（3）Δ＜0?方程沒有實數根．10．（2022春?宜秀區校級月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據“差根方程”的定義，解決下列問題：（1）通過計算，判斷下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；（2）已知關于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若關于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數，a＞0）是“差根方程”，請探索a與b之間的數量關系式．【分析】（1）據“差根方程”定義判斷即可；（2）根據x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，從而得到a＝±；（3）設x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數，a＞0）的兩個實數根，根據根與系數的關系得到1，整理即可得到b2＝a2+4a．【解答】解：（1）①設x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的兩個實數根，∴x1+x2＝4，x1?x2＝﹣5，∴|x1﹣x2|6，∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；②設x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的兩個實數根，∴x1+x2，x1?x2，∴|x1﹣x2|1，∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；（2）x2+2ax＝0，因式分解得：x（x+2a）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2a，∵關于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，∴2a＝±1，即a＝±；（3）設x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數，a＞0）的兩個實數根，∴x1+x2，x1?x2，∵關于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數，a＞0）是“差根方程”，∴|x1﹣x2|＝1，∴|x1﹣x2|1，即1，∴b2＝a2+4a．【點評】本題考查了一元二次方程的解，根與系數的關系，正確的理解“差根方程”的定義是解題的關鍵．三．一元二次方程的整數根與有理根（共3小題）11．小明到商場購買某個牌子的鉛筆x支，用了y元（y為整數）．后來他又去商場時，發現這種牌子的鉛筆降價20%，于是他比上一次多買了10支鉛筆，用了4元錢，那么小明兩次共買了鉛筆40或90支．【分析】根據題意，求出降價前后的一支鉛筆的價格，然后再根據題意列出二元一次方程；最后根據x、y的取值范圍來解答．【解答】解：y元買了x只鉛筆，則每只鉛筆元；降價20%后，每只鉛筆的價格是（1﹣20%），即，依題意得：（x+10）＝4∴y（x+10）＝5x∴x∴5﹣y＞0，即y＜5；又∵x、y均是正整數，∴y的取值為1，2，3，4；∴y只能取3和4；①當y＝3時，x，即x＝15，小明兩次共買了鉛筆：15+15+10＝40（支）②當y＝4時，x，即x＝40，小明兩次共買了鉛筆：40+（40+10）＝90（支）故答案為：40或90．【點評】本題主要考查了一元二次方程的應用及一元二次方程的整數根．解答此題時，要根據一元二次方程x的y的取值范圍及生活實際中的y的取值范圍來確定x的值．12．若關于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7＝0的根是正整數，則整數r的值可以是0或1或7．【分析】利用根與系數的關系，得出方程的根，在進行分析得出整數解．【解答】解：當r＝0時，方程為﹣7x+7＝0顯然符合題意當r≠0時，x1+x2x1x2，∴x1x2﹣（x1+x2）＝﹣1（x1﹣1）（x2﹣1）＝0∴x1＝1，x2＝1．可知方程必有一根為1，則另一根為1，是正整數，∴r是7的正約數，即r＝7或1，∴r＝7，0，1故填：7或0或1．【點評】此題主要考查了一元二次方程根與系數的應用，題目比較新穎．13．（2020?儀征市一模）定義：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數）的根均為整數，稱該方程為“全整方程”，規定T（a，b，c）為該“全整方程”的“全整數”．（1）判斷方程x2x﹣1＝0是否為“全整方程”，若是，求出該方程的“全整數”，若不是，請說明理由；（2）若關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m為整數，且滿足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整數”．【分析】（1）解出方程x2x﹣1＝0，即可得出結論；（2）先求出b2﹣4ac＝4m+29，再利用“全整方程”判斷出4m+29是完全平方數，即可得出結論．【解答】解（1）是，理由：∵解方程x2x﹣1＝0得x1＝﹣1，x2＝3，∴兩個根均為整數，滿足定義，∴方程為“全整方程”，∴T（a，b，c）；（2）∵一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0，∴b2﹣4ac＝4m+29，∵5＜m＜22，即：49＜4m+29＜117，∵關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0是“全整方程”，∴b2﹣4ac是完全平方數，即4m+29是完全平方數，∴4m+29＝64或81或100，∵m為整數，∴m（舍去），m＝13，m（舍去），即原方程為x2﹣23x+112＝0，∴T（a，b，c）．【點評】此題主要考查了解一元二次方程的方法，完全平方數的特征，判斷出49＜4m+29＜117是解本題的關鍵．【過關檢測】一．選擇題（共5小題）1．（2019秋?蘇州期末）關于x的一元二次方程ax2﹣2ax﹣b＝0有一個實數根x＝1，則下面關于該方程根的判別式△的說法正確的是（）A．Δ＞0 B．Δ＝0 C．Δ＜0 D．無法確定【分析】先將x＝1代入方程得出a+b＝0，再依據判別式Δ＝b2﹣4ac計算可得．【解答】解：將x＝1代入方程，得：a﹣2a﹣b＝0，則a+b＝0，Δ＝（﹣2a）2﹣4a?（﹣b）＝4a2+4ab＝4a（a+b）＝0，故選：B．【點評】本題主要考查根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當Δ＜0時，方程無實數根．2．（2021秋?儀征市期末）關于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有兩個不相等實數根，則整數a最大是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】若一元二次方程有兩不等實數根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立關于a的不等式，求出a的取值范圍．還要注意二次項系數不為0．【解答】解：∵關于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有兩個不相等實數根，∴Δ＝4﹣4a＞0且a≠0，解得a＜1且a≠0，則a的最大整數值是﹣1．故選：D．【點評】考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數根；（3）Δ＜0?方程沒有實數根．3．（2021秋?寶應縣期末）方程x2﹣x＝﹣2的根的情況為（）A．沒有實數根 B．只有一個實數根 C．有兩個相等的實數根 D．有兩個不相等的實數根【分析】先把方程化為一般式，然后進行判別式的值，再根據判別式的意義判斷方程根的情況即可．【解答】解：方程整理得，x2﹣x+2＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴方程無實數根．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．4．（2021秋?儀征市期末）已知方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，則下列式子中一定正確的是（）A．m＜b＜n＜c B．b＜m＜n＜c C．m＜n＜b＜c D．m＜b＜c＜n【分析】畫出函數y（x﹣b）（x﹣c）與函數y＝x+1的圖象，根據圖象可得結論．【解答】解：由題意，畫出函數y（x﹣b）（x﹣c）與函數y＝x+1的圖象如圖，∴拋物線開口向下，與x軸的交點為（b，0），（c，0），函數y＝x+1隨x的增大而增大，且經過點（﹣1，0），∵方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，∴兩函數的交點的橫坐標為m和n，∵m＜n．b＜﹣1＜0＜c，由圖象可知，m＜b＜n＜c，故選：A．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點及一元二次方程的關系，利用數形結合的思想解決問題，注意理解“函數y（x﹣b）（x﹣c）與函數y＝x+1交點的橫坐標為m和n”，結合圖象得出結論．5．（2020?南通模擬）已知數m滿足6＜m＜20，如果關于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（）A．11 B．12 C．m有無數個解 D．13【分析】由題意得m≠0，若關于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有理根，則△≥0，并且△為有理數的平方．而△＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，再由m滿足6＜m＜20，確定出△的范圍，即可得出結論．【解答】解：∵關于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0是一元二次方程，∴m≠0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，又∵6＜m＜20，∴25＜4m+1＜81，∵如果關于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，∴△為有理數的平方，∴有無數個有理數m，使（4m+1）是有理數的平方，（如△＝6或7或8或30.25或36或37.21或42.25等），故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程有理根的判斷方法，掌握判別式是有理數的平方，此一元二次方程的根是有理數是解本題的關鍵．二．填空題（共10小題）6．（2019?京口區校級開學）已知關于x的方程x2+px+q＝0的兩根為﹣4和﹣1，則p＝5，q＝4．【分析】由根與系數的關系可得出關于p與q的一元一次方程，解之即可得出結論．【解答】解：∵關于x的方程x2+px+q＝0的兩根為﹣4和﹣1，∴﹣4+（﹣1）＝﹣p，（﹣4）×（﹣1）＝q，∴p＝5，q＝4．故答案為：5；4．【點評】本題考查了根與系數的關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2，x1?x2．根據根與系數的關系得出﹣4+（﹣1）＝﹣p，（﹣4）×（﹣1）＝q是解題的關鍵．7．（2022?秦淮區一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，則x+y﹣2xy的值是﹣2．【分析】根據已知等式得到x，y為一元二次方程a2﹣4a+3＝0的兩根，利用根與系數的關系求出x+y與xy的值，代入原式計算即可得到結果．【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，∴x，y為方程a2﹣4a+3＝0的兩根，∴x+y＝4，xy＝3，則原式＝4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】此題考查了根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解本題的關鍵．8．（2022?鼓樓區一模）已知關于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，則m+n＝﹣10．【分析】先利用根與系數的關系得﹣1+3，﹣1×3，則可分別求出m、n的值，然后計算它們的和即可．【解答】解：根據根與系數的關系得﹣1+3，﹣1×3，解得m＝﹣4，n＝﹣6，所以m+n＝﹣4﹣6＝﹣10．故答案為：﹣10．【點評】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2，x1x2．9．（2021秋?東西湖區期中）設x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩實數根，則x1+x2的值為5．【分析】由根與系數的關系可直接求得x1+x2的值．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩實數根，∴x1+x2＝5，故答案為5．【點評】本題主要考查根與系數的關系，掌握一元二次方程的兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關鍵．10．（2021?棲霞區開學）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩個實數根，則x1+x2﹣x1x2＝1．【分析】根據根與系數的關系得到x1+x2＝4，x1x2＝3，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：根據題意得x1+x2＝4，x1x2＝3，所以x1+x2﹣x1x2＝（x1+x2）﹣x1x2＝4﹣3＝1．故答案為1．【點評】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2，x1x2．11．（2020秋?姜堰區期中）若關于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一個正整數解，則正整數a＝1或2．【分析】由一元二次方程的定義可得出a≠0，因式分解法得到（2x﹣1）（ax﹣2）＝0，再根據正整數解的定義，即可求出正整數a的值．【解答】解：∵方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0是關于x的一元二次方程，∴a≠0，2ax2﹣（a+4）x+2＝0，（2x﹣1）（ax﹣2）＝0，解得x1，x2，∵關于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一個正整數解，∴正整數a＝1或2．故答案為：1或2．【點評】本題考查了一元二次方程的整數根與有理根．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，由方程有一個正整數解確定a的值是難點．12．（2022春?崇川區校級月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的兩個根，則（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝1．【分析】利用一元二次方程解的定義得到α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0；根據根與系數的關系得到：αβ＝1，然后將其代入（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）進行求值即可．【解答】解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的兩個根，∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）＝（0+α）（0+β）＝αβ＝1．故答案是：1．【點評】本題主要考查了一元二次方程解和根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．13．（2022?海安市模擬）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩實根是x1，x2，則x1+x2﹣x1?x2的值是4．【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2，x1?x2即可直接得出答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩實根是x1，x2，∴x1+x2＝3，x1?x2＝﹣1，∴x1+x2﹣x1?x2＝3+1＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2，x1?x2．14．（2021?棲霞區二模）已知關于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整數；若k為整數，則k的值為0或±1．【分析】①當k＝0時，此方程為一元一次方程，求解判斷即可得出結論；②當k≠0時，此方程為一元二次方程，先用判別式判斷出k為非0實數，然后利用根與系數的關系，即可得出結論．【解答】解：①當k＝0時，原方程可化為﹣x+2＝0，∴x＝2，此種情況符合題意；②當k≠0時，原方程為一元二次方程，∵關于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0有根，∴△＝[﹣（3k+1）]2﹣4k（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴k為非0實數，設關于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0的兩根為x1，x2，根據根與系數的關系得，x1+x23，x1x22，∵關于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整數，∴x1+x2，x1x2也是整數，∴和也是整數，∵k為整數，∴k＝±1，即滿足條件的k為0或±1，故答案為0或±1．【點評】此題主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，用分類討論的思想是解本題的關鍵．15．（2020春?崇川區校級月考）使得關于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0與x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整數的整數m值是1．【分析】先根據一元二次方程根的判別式確定出m的范圍，進而求出m的值，最后，將m代入方程中，求出方程的解判斷即可得出結論．【解答】解：∵關于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0有實數根，∴△＝16﹣16m≥0，且m≠0，∴m≤1且m≠0，∵關于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0有實數根，∴△＝16m2﹣4（4m2﹣4m﹣5）＝16m+20≥0，∴m，∴m≤1且m≠0，∵m為整數，∴m＝﹣1或m＝1，當m＝1時，一元二次方程mx2﹣4x+4＝0，即為x2﹣4x+4＝0，解得，x1＝x2＝2，一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0，即為x2﹣4x﹣5＝0，解得，x1＝5，x2＝﹣1，兩方程的解都為整數，符合題意，當m＝﹣1時，一元二次方程mx2﹣4x+4＝0，即為x2+4x﹣4＝0，解得，x2±2，方程的解不是整數，不符合題意，即滿足條件的整數m的值為1，故答案為1．【點評】此題主要考查了一元二次方程的意義，根的判別式，解一元二次方程，確定出m的范圍是解本題的關鍵．三．解答題（共9小題）16．（2020春?張家港市期末）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數根，第三邊BC的長為5，當△ABC是直角三角形時，求k的值．【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式，可得出Δ＝1＞0，進而可證出方程有兩個不相等的實數根；（2）利用因式分解法可求出AB，AC的長，分BC為直角邊及BC為斜邊兩種情況，利用勾股定理可得出關于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三邊關系判定其是否構成三角形）即可得出結論．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，∴方程有兩個不相等的實數根．（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，解得：x1＝k，x2＝k+1．當BC為直角邊時，k2+52＝（k+1）2，解得：k＝12；當BC為斜邊時，k2+（k+1）2＝52，解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合題意，舍去）．答：k的值為12或3．【點評】本題考查了根的判別式、三角形三邊關系以及勾股定理，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根”；（2）利用勾股定理，找出關于k的方程．17．（2021秋?沭陽縣期末）關于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求證：方程總有兩個實數根；（2）若方程有一根小于2，求k的取值范圍．【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ≥0，進而可證出方程總有兩個實數根；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出原方程的兩個根，結合方程有一根小于2，即可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣（k+1），c＝2k﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（2k﹣2）＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，∴方程總有兩個實數根．（2）解：∵x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0，即[x﹣（k﹣1）]（x﹣2）＝0，∴x1＝2，x2＝k﹣1，又∵方程有一個根小于2，∴k﹣1＜2，∴k＜3，即k的取值范圍為k＜3．【點評】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ≥0時，方程有兩個實數根”；（2）利用因式分解法，求出方程的兩根．18．（2021秋?鼓樓區校級月考）已知關于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0（1）求證：無論m取任何實數，方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程的兩個實數根x1，x2滿足x1﹣x2＝2，求m的值．【分析】（1）根據題意求出△的值，判斷出△的符號即可；（2）根據一元二次方程根與系數得到兩根之和和兩根之積，然后把（x1﹣x2）2轉化成（x1+x2）2﹣4x1x2，再代入求解即可．【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4．∵無論m為任何實數，（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0．∴無論m為任何實數，方程總有兩個不相等的實數根；（2）解：由x1﹣x2＝2可得（x1﹣x2）2＝4，∵x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝2m﹣1，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣4m+8，即m2﹣4m+8＝4，解得m1＝m2＝2，答：當x1﹣x2＝2時，m的值是2．【點評】本題考查的是根與系數的關系，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac的關系是解答此題的關鍵．19．（2021秋?海州區校級期中）已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．（1）求證：不論m為何值，該方程總有兩個實數根；（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根．【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m﹣2）2≥0，進而可證出：不論m為何值，該方程總有兩個實數根；（2）將x＝1代入原方程可求出m的值，再利用兩根之積等于，即可求出方程的另一個根．【解答】（1）證明：a＝1，b＝﹣（m+2），c＝2m．∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×2m＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴不論m為何值，該方程總有兩個實數根．（2）解：將x＝1代入原方程得：1﹣（m+2）+2m＝0，∴m＝1，∴原方程為x2﹣3x+2＝0．∵2÷1＝2，∴方程的另一個根為2．【點評】本題考查了根的判別式以及根與系數的關系，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ≥0時，方程有兩個實數根”；（2）牢記兩根之積等于．20．（2021秋?梁溪區校級期中）已知關于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．（1）求證：不論a取何實數，該方程都有兩個實數根；（2）若該方程的一個根為2，求a的值及該方程的另一根．【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（a﹣2）2≥0，進而可證出：不論a取何實數，該方程都有兩個實數根；（2）代入x＝2可求出m值，再利用兩根之積等于可求出方程的另一根．【解答】（1）證明：∵Δ＝a2﹣4×1×（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，∴不論a取何實數，該方程都有兩個實數